大學文科數(shù)學課件：隨機變量的數(shù)字特征

隨機變量的數(shù)字特征12.1數(shù)學期望12.2方差12.1數(shù)學期望

12.1.1離散型隨機變量的數(shù)學期望

定義12.1.1

設離散型隨機變量X的分布律為

pk=P{X=xk}(k=1,2,…)

若則稱為隨機變量X的數(shù)學期望，簡稱期望或均值，記為E(X)．即(12.1.1)期望公式（12.1.1）實際上是隨機變量X的取值以概率為權(quán)的加權(quán)平均，其物理意義為：質(zhì)量為單位1的一根金屬細棒，其質(zhì)量散布在坐標為x1,x2,…的質(zhì)點M1,M2,…上.

例12.1.1

設X服從參數(shù)為p的0-1分布，求E(X)．

解

X的分布律為

pk=P{X=k}=pk(1－p)1－k(k=0,1;0<p<1)

由公式（12.1.1）得

E(X)=0×(1－p)+1×p=p

例12.1.2

甲、乙兩人進行打靶，所得環(huán)數(shù)分別記為X1、X2，它們的分布律分別為試評定他們的成績的好壞．解由公式（12.1.1）得

E(X1)=7×0.2+8×0.2+9×0.2+10×0.4=8.8（環(huán)）

這意味著，如果甲進行多次射擊，則所得環(huán)數(shù)的平均值就接近于8.8．類似得

E(X2)=7×0.1+8×0.3+9×0.5+10×0.1=8.6(環(huán))

顯然，乙的成績不如甲的成績．

例12.1.3

設X~B(n,p)，求E(X)．

解X的分布律為由公式（12.1.1）得（令l=k－1）

例12.1.4

設X~π(λ)，求E(X)．

解X的分布律為由公式（12.1.1）得12.1.2連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望

定義12.1.2

設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)，若則稱積分的值為隨機變量X的數(shù)學期望，記為E(X)．即(12.1.2)

例12.1.5

設X~U(a,b)，求E(X)．

解

X的密度函數(shù)為由公式（12.1.2）得例12.1.6

設X~N(μ,σ2)，求E(X)．

解

X的密度函數(shù)為由公式（12.1.2）得12.1.3數(shù)學期望的幾個重要性質(zhì)

(1)設C是常數(shù)，則有E(C)=C；

(2)設X是一個隨機變量，C是常數(shù)，則有E(CX)=CE(X)；

(3)設X、Y是兩個隨機變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y),這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個隨機變量之和的情況;

(4)設X、Y是兩個相互獨立的隨機變量，則有E(XY)=E(X)E(Y),這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨機變量之積的情況;（5）若Y=g(X)，則當X為離散型隨機變量時，(12.1.3)當X為連續(xù)型隨機變量時，(12.1.4)

例12.1.7

將n個球隨機地放入m個盒子中去，設每個球放入各個盒子是等可能的，求有球的盒子數(shù)X的數(shù)學期望．

解記

則由題意知，任一個球不落入第i個盒子的概率為

1－1／m，因此n個球都不落入第i個盒子的概率為從而(i=1,2,…,m)于是(i=1,2,…,m)由數(shù)學期望的性質(zhì)（3），可得

12.2方差

12.2.1方差與標準差

定義12.2.1

設X是一隨機變量，若E{［X－E(X)］2}存在，則稱E{［X－E(X)］2}為X的方差，記為D(X)或Var(X)，即

(12.2.1)

由定義知，方差實際上就是隨機變量X的函數(shù)g(X)=［X－E(X)］2的數(shù)學期望．于是對于離散型隨機變量X，若其分布律為pk=P{X=xk},k=1,2,…，按式（12.1.3），則有(12.2.2)對于連續(xù)型隨機變量X，若其密度函數(shù)為f(x)，按式（12.1.4），則有(12.2.3)利用期望的性質(zhì)，容易得到計算方差的簡化公式：(12.2.4)

例12.2.3

設X~π(λ)，求D(X)．

解X的分布律為例12.1.4已經(jīng)算得E(X)=λ，而

例12.2.4

設X~U(a,b)，求D(X)．

解X的密度函數(shù)為例12.1.5已經(jīng)算得．故由式（12.2.4）得

例12.2.5

設隨機變量X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為求E(X)和D(X)．解于是由式（12.2.4）得即有，12.2.2方差的性質(zhì)

（1）設C是常數(shù)，則D(C)=0;

（2）設X是隨機變量，C是常數(shù)，則有D(CX)=C2D(X);

（3）設X、

Y是兩個隨機變量，則有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{［X－E(X)］［Y－E(Y)］}

(12.2.5)特別地，若X、Y相互獨立，則有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

(12.2.6)

這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況;

（4）D(X)=0的充分必要條件是X以概率1取常數(shù)C，即

P{X=C}=1

顯然，這里C=E(X)．

例12.2.6

設X~B(n,p)，求E(X)和D(X)．

解由二項分布的定義知，隨機變量X是n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，且在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p．設Xk為第k次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)（k=1,2,…,n），則Xk服從參數(shù)為p的0-1分布，且相互獨立，并有由例12.2.2知，E(Xk)=p，D(Xk)=p(1－p)，k=1,2,…,n．

故知又由方差性質(zhì)（3），可得即

E(X)=np，D(X)=np(1－p)

例12.2.7

設隨機變量X的密度函數(shù)為已知E(X)=0.5,D(X)=0.15，求常數(shù)a、b、c．解由E(X)=0.5，E(X2)=D(X)+［E(X)］2=0.4得關(guān)于a、b、c的方程組解得a=12,b=