考點(diǎn)08立體幾何（文科）【真題模擬練】（解析版）-【過(guò)高考】2023年高考數(shù)學(xué)大一輪單元復(fù)習(xí)課件與檢測(cè)（全國(guó)通用）

考點(diǎn)08立體幾何（文科）（解析版）-【過(guò)高考】2023年高考數(shù)學(xué)大一

輪單元復(fù)習(xí)課件與檢測(cè)（全國(guó)通用）

膜揪締…

一、單選題

1.（2022?湖北?天門(mén)市教育科學(xué)研究院模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐的側(cè)面積為6岳，高為石，則該圓錐

底面圓的半徑為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)該圓錐底面圓的半徑為r,再結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式求解即可

【詳解】

設(shè)該圓錐底面圓的半徑為"，則m行=6名乃，故/（，+3）=108,B|J（r-9）（r2+12）=0,解得

r=3

故選：B

2.（2022.河南安陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)（文））己知圓柱的底面半徑為1,高為2,AB,CD分別為上、下

底面圓的直徑，ABYCD,則四面體4BC。的體積為（）

124

A.-B.C.1D.一

333

【答案】D

【解析】

【分析】

易ill：ABJ_T'|l!|CDO],然后由匕3CD=匕-Sq+Vfi-CDOi求解.

【詳解】

解：如圖所示：

C

連接CO、DO\,

因?yàn)锳BLCD,ABJ.002，且。。2八0）=02,

所以AB_L平面8。，

所以^ABCD=匕一CDO]+%-Cg>

=—Srna-/1B=—x—x2x2x2=—,

3cg323

故選：D

3.（2022.青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知某圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為2,母線(xiàn)與軸所在直線(xiàn)的夾角

是60。，且上、下底面的面積之比為1：4,則該圓臺(tái)外接球的表面積為（）

A.56萬(wàn)B.64萬(wàn)C.112萬(wàn)D.128萬(wàn)

【答案】C

【解析】

【分析】

作出圓臺(tái)的軸截面等腰梯形，其外接圓是圓臺(tái)外接球的大圓，在這個(gè)軸截面中進(jìn)行計(jì)算可得.

【詳解】

如圖等腰梯形ABCD是圓臺(tái)的軸截面，E尸是圓臺(tái)的對(duì)稱(chēng)軸，

圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1：4,則半徑比為1：2,設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為r,2廠(chǎng)，

因母線(xiàn)與軸的夾角是60。，母線(xiàn)長(zhǎng)為2,可得圓臺(tái)的高為1,r=逐，設(shè)圓臺(tái)外接球的半徑為R,球心到

下底面（大圓面）的距離為X,若球心在圓臺(tái)兩底面之間，如圖點(diǎn)”位置，則a=x2+（2>/i）2昆

7?2=（1-X）2+（V3）2,無(wú)解；

若圓臺(tái)兩底面在球心同側(cè)，如圖點(diǎn)。位置，則氏2=/+（26）2且/?2=（1+4+（省）2,解得X=4,則

R2=28，

則該圓臺(tái)外接球的表面積為物外=1127t.

故選：C.

4.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中4B8-A4CQ,E,G分別為AR，CQ的中點(diǎn)，則直線(xiàn)

AG,CE所成角的余弦值為（）

A病口病「4石nV145

10151515

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義，財(cái)8的中點(diǎn)F,則/ECF（或其補(bǔ)角）為直線(xiàn)AG與CE所成角，再解三

角形即可得解.

【詳解】

如圖所示：

取A8的中點(diǎn)尸，連接EF,CF,易知AQ〃CF,則NEC尸（或其補(bǔ)角）為宜線(xiàn)4G與CE所成角.不妨

設(shè)A8=2,則C尸=6，EF=顯,EC=3,由余弦定理得cosNECF=9+§二*=墳,即直線(xiàn)

2x3x，515

與CE所成角的余弦值為述.

15

故選：C.

5.（2022?上海金山?二模）設(shè)人〃是兩條不同的直線(xiàn)，以尸是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命

題為（）

A.若a,則相〃〃

B.若，〃_La,〃JLa,則加〃“

C.若，"〃《,”?〃",則a〃￡

D.若，”_La,a_L〃，則切0

【答案】B

【解析】

【分析】

在正方體中取直線(xiàn)和平面可排除ACD,由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得B正確.

【詳解】

在正方體ABCD-EFG”中，記底面A8C。為a,EF為m,EH為n,顯然A不正確；記底面A8CC為“，

EF為m,平面C￡>，G為夕，故排除C：記底面A8CD為a,BF為平面A8FE為￡,可排除D；由線(xiàn)面

垂克的性質(zhì)可知B正確.

故選：B

6.(2022.青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))已知在正四而體P-ABC中，D,E,尸分別在棱

PA,PB,PC上，若PE=4,PF=P￡>=2,則點(diǎn)P到平面OEF的距離為()

AEo4722r3>/5n2V5

21143

【答案】B

【解析】

【分析】

取。尸的中點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)尸作EG的垂線(xiàn)交EG的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,根據(jù)勾股定理，幾何國(guó)-S=￡G列式求解

P”即可

【詳解】

如圖，由題意，ZDPE=ZDPF=ZEPF=60°,易知正-PDF,結(jié)合余弦定理

DE2=DP2+EP2-2DP-EPCOS60°.可得。尸=2,DE=EF=26，取。尸的中點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)P作EG的垂線(xiàn)

交EG的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)4,易知點(diǎn)P到平面OE尸的距離為尸”的長(zhǎng)，因?yàn)镋H-GH=EG,則

yJPE2-PH2->JPG2-PH2=yjEF2-GF2.即J16-PH273-PH2=而,即川6-PH?=%+，3-PH。,

兩邊平方16-PH2=11+3-P"2+2"7J3-PH2,化簡(jiǎn)得PH=生/型.

故選：B

7.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖，在正方體A8C￡>-481G4中，M,N分別為AC,4臺(tái)的中點(diǎn)，則

異面直線(xiàn)與CG所成角的大小為()

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)平移，轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)的夾角，利用異面直線(xiàn)的求法即可.

【詳解】

如圖，在正方體中，連接80交AC于連接A。，因?yàn)镸,N分別為8。，AB的中點(diǎn)，所以

MNHA.D,所以異面直線(xiàn)MN與CG所成角即4Q與所成角，易知』4。。=45.

故選C.

8.(2022?上海靜安?二模)在下列判斷兩個(gè)平面a與夕平行的4個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是().

(1)夕都垂直于平面r,那么a〃夕.

(2)a、夕都平行于平面「，那么a〃夕.

(3)a、/都垂直于直線(xiàn)/,那么a〃夕.

(4)如果/、機(jī)是兩條異面直線(xiàn)，且/〃a,機(jī)〃a,/〃夕，機(jī)〃夕，那么a〃夕

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

由面面平行的判定定理及其相關(guān)結(jié)論分析可得結(jié)果.

【詳解】

由面面平行的判定定理分析可知(1)錯(cuò)，(2),(3),(4)正確.

故選：D

二、填空題

9.(2022?江西省豐城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))棱長(zhǎng)為友的正方體的展開(kāi)圖如圖所示.己知//為線(xiàn)段BF

的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng).則關(guān)于該正方體，下列說(shuō)法正確的有

①.8/與AN是異面直線(xiàn)②.AF與所成角為60。

③.平面COE/U平面④.若AM_L，P,則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為6

【答案】②③④

【解析】

【分析】

由展開(kāi)圖還原正方體，根據(jù)AN//BM可知①錯(cuò)誤；由可知異面直線(xiàn)AF與BM所成角為

ZNAF,由此可求得②正確：由線(xiàn)面垂直的判定可證得(T_L平面ABMN,由面面垂宜的判定可知③

正確：根據(jù)40，平1^^硒，平面SRHGQ77/平面C/W可得P點(diǎn)軌跡，進(jìn)而求得④正確.

【詳解】

由展開(kāi)圖還原正方體如下圖所示，

對(duì)于①：

■：MN//AB,MN=AB.,.四邊形為平行四邊形，.?.AN//8M,

與4N是共面直線(xiàn)，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②：

8A〃/4N,與所成角即為NNAF,

?;AN=NF=AF,.2ANF為等邊三角形,

:.ZNAF=60,即AF與BM所成角為60,②正確；

對(duì)于③：

QAB_L平面3CM/7,CFuT'-jffiBCMF..iABLCF；

又CFLBM,ABBM=B.AB,BMu平面ABM/V...CFL平面.

又CFu平面CDEF,.,.平而C￡>EFJL平面AfiMN,③正確；

對(duì)于④；

由正方體性質(zhì)可知AM_L平面CFN,

取BC,CD,DN,NS,EF中點(diǎn)、G,Q,T,S,R,連接HG,GQ,QT,ST,SR,RH,

則平面SRHGQTH平面CFN，二點(diǎn)P的軌跡為止六邊形SRHGQ7的邊，

...點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為6」（也］+f—1=6,④正確.

K2JI2J

故答案為：②③④.

10.（2022.河南?平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在三棱錐P-ABC中，平面/%8_1_平面

ABC,PAA.PB,AB=BC=AC=4,則該三棱錐外接球的表面積是.

【答案】—##—

33

【解析】

【分析】

設(shè)點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，。為AABC外接圓的圓心，則OC=OA=O8,證得CDJ?平面248,則

OA=O8=OP,。即為三棱錐尸-ABC外接球的球心，再由球的表面積公式求解即可.

【詳解】

OD=-CD=-xyl42-22=^-,

333

0C=0A=0B=2cD=t色，.?.C￡)_LAB,；平面R4B_L平面ABC,平面R4Bc平面ABC=AB,

33

CQu平面A8C,，C￡＞，平面PA8,

乂AB,DPu平面H48,/.CD1AB,CDA.DP,在△PAB中，PAYPB,。為48的中點(diǎn)，

:.DA=DB=DP,

：.OA=OB^OP=>JAD2+OD2=^-,，O即為三棱錐產(chǎn)一ABC外接球的球心，且外接球半徑

3

64"

，該三棱錐外接球的表面積S=41/?2=41X

故答案為：—^―-

三、解答題

11.（2023?廣西柳州?模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，在三棱錐P-A3C中,AB=BC=2,

PA=PB=PC=AC=20，。為AC的中點(diǎn).

（1）證明：P。，平面A8C；

（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析?；（2）亭L

【解析】

【分析】

（1）證明POLACPCOB,利用線(xiàn)面垂直判定定理求解；

（2）利用等體積法求點(diǎn)C到平面POM的距離即可.

（1）連接。8,如圖,

'：AB=BC=2,AC=2y12,AB2+BC2=AC2,即△ABC是直角三角形,

又。為AC的中點(diǎn)，AOA=OB=OC,又,：PA=PB=PC,

：.^POA=_POB=i.POC

：.NPOA=ZPOB=ZPOC=90.

PO±AC,PO1OB,OBC\AC=O,OB,ACu平面A8C

，PO_L平面48c.

(2)由(I)得P。，平面ABC,PO=yJPA1-AO2=76

在YCOM中，ZOCM=45,

OM=Sc2+CM2-20c?CMcos45=—.

3

SPOM=；XP°X°MJ*顯孚

<」2<-I

COM一Aso-§

設(shè)點(diǎn)C到平面POM的距離為d,由匕>_OMC=%JOMngxS/oM-d=；xS0cM義PO,

解得d=2叵，

5

.??點(diǎn)C到平面PO歷的距離為空°.

5

12.（2022.上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓錐的底面半徑04=2,高PO=6,點(diǎn)C是底面

直徑A8所對(duì)弧的中點(diǎn)，點(diǎn)。是母線(xiàn)R4的中點(diǎn).求：

D

B

c

(1)該圓錐的表面積：

(2)直線(xiàn)CQ與平面叢3所成角的正切值

【答案】⑴4(屈+1)兀

⑵叵

【解析】

【分析】

(1)求出圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)，求得圓錐側(cè)面積，即可求得答案；

(2)作輔助線(xiàn)，找到直線(xiàn)8與平面MB所成角，解直角三角形可得答案.

(1)

由己知，得0A=2,P()=6,則PA^y/PO^+OA1=2VlO-

所以圓錐的側(cè)面積為S=7tr/=7tx2x2屈=4何兀，

于是圓錐的表面積為5=4廂兀+4兀=4(痂+1卜，

即所求圓錐的表面積為4(癡+1)兀.

(2)連接0￡),由題意得P0_L平面ABC,因?yàn)镺Cu平面ABC,

所以「OLOC.又因?yàn)辄c(diǎn)C是底面直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，所以O(shè)C_LAB.

而P0、ABU平面ABC,POr\AB=O,所以O(shè)C_L平面R48,

即0D是8在平面R45上的射影，所以/COO是直線(xiàn)CD與平而R43所成角.

在RtzXCQ。中，OC=2,OD=-PA=4u),

2

則tan/CDO嗤=盍=萼

13.(2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))如圖，在三棱柱ABC-ABC中,

A.C=AA,=2AB=2AC=2BC=4,ZBAAt=60°.

(1)證明：平面A5CJ_平面朋耳8.

(2)設(shè)尸是棱CG上一點(diǎn)，且CP=2PG，求三棱錐A-P8C體積.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析(2)：

【解析】

【分析】

(1)先利用線(xiàn)面垂直判定定理證明平面ABC,再利用面面垂直判定定理證明平面ABC_L平面

A4百8；

(2)先求得三棱錐C-蟀的體積，再利用三棱柱4BC-AgG的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而可求得三棱錐

A-P8G體積.

⑴連接AB.

三棱柱4BC-AMG中，AC=AA=2AB=4,ZBA^=60°.

則城=匐+482-2吠488$600=42+22-2'4'2、3=12,

則48=26，WIJA,B2+AB2=AA[,：.A.BVAB,

XVA.B2+BC2=A,C2,AB_LBC,

又ABcBC=B,二MB,平面ABC,

；ABu平面平面ABC_L平面朋旦8.

(2)取48的中點(diǎn)D,連接CO,?/AC=BC,；?CDVAB,

又由(1)知平面A3CJ_平面AA^B,平面A8C=平面44］乃=4B

則CDJ?平面A44B,且C0=G.

則三棱錐C-ABA的體積為gxgx2x2Gx6=2,

則三棱柱ABC-A8C的體積為6,

vCP=2PC,,在四邊形CgBC中，SgB、c、:SWc=(，

又；四棱錐A-C超BC的體積為6-2=4,

112

三棱錐A-PB\C\的體積為1VA.WC=lx4=j.

14.(2022?內(nèi)蒙古?烏蘭浩特一中模擬預(yù)測(cè)(文))如圖在梯形中，BC//AD,AB=AD=2BC=2,

27r

ZABC=—,E為4。中點(diǎn),以的為折痕將△ABE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，連接PRPC,

(1)證明：平面尸EDJ_平面8CDE；(2)當(dāng)PC=2時(shí)，求點(diǎn)。到平面尸￡?的距離.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析⑵乎

【解析】

【分析】

(1)首先根據(jù)題意易證5E_LE￡>,BELPE,從而得到BE1平面PED,再根據(jù)面面垂直的判定即可

證明平面PED1平面BCDE.

(2)利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)換求解即可.

⑴在梯形ABCO中，乙48。=耳，所以Nfi4E=g,

在△ABE中，AB=2,AE=\,所以BE=卜?+F-2x2xlx；=6,

7T

所以4爐+8層=482,即/AE8=Q,梯形438為直角梯形.

因?yàn)?E_LE￡>,BELPE,PE(ED=E,

所以BE1平面莊D，

又因?yàn)锽Eu平面BCDE,所以平面PED1平面BCDE.

(2)因?yàn)槠矫鍼ED_L平面BCDE=E￡),CDA.ED,所以^>_1_平面PED,

又尸￡>u平面正D,所以Cr>_LPD,

所以戶(hù)Q=：22-(G)2=],即VPa為等邊三角形.

取ED的中點(diǎn)尸，連接PF,如圖所示：

因?yàn)槭珽=P￡>,尸為即中點(diǎn)，所以PF_LEL>.

因?yàn)槠矫媸珽￡>1平面BCDE=E￡),PF工ED,所以尸尸1.平面E8CO,

因?yàn)槭?/-(；)=等,5A￡BD=S^PEB=lx1x73=.

設(shè)。到平面PEB的距離為〃，

因?yàn)?一哂=%一加，所以k正xkk且x且，解得心走.

323222

即點(diǎn)D到平面PEB的距離為也.

2

真題紙T

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為3百和46，其頂點(diǎn)都在

同一球面上，則該球的表面積為（）

A.IOOTTB.128兀C.i44nD.192兀

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑小4,再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之

間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】

設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半在小4,所以24=色3-,2/;=業(yè)叵-,即｛=3,4=4,設(shè)球心到上

sin60sin60

下底面的距離分別為4,4，球的半徑為R，所以4=依-9,故|4-4|=1或

4+W=l,叫或病萬(wàn)+加灰=1，解得玄=25符合題意，所以球的表面

積為5=47^^=100兀.

故選:A.

2.（2022?浙江?高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位:

「22-16

A.22兀B.8兀C.—兀D.—n

33

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)三視圖還原幾何體可知，原幾何體是一個(gè)半球，一個(gè)圓柱，一個(gè)圓臺(tái)組合成的幾何體，即可根據(jù)

球，圓柱，圓臺(tái)的體積公式求出.

【詳解】

由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半球，一個(gè)圓柱，一個(gè)圓臺(tái)組合成的幾何體，球的半徑，圓柱的底面

半徑，圓臺(tái)的上底面半徑都為1cm,圓臺(tái)的下底面半徑為2cm,所以該幾何體的體積

1222223

V=—X—7rxr+7txlx2+-x2x（7tx2+itxI+7nx2xnxl）=Cm.

2331/3

故選：C.

3.（2022?全國(guó)?高考真題（理））如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊

長(zhǎng)為1,則該多面體的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】

由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】

由三視圖還原幾何體，如圖,

則該直四棱柱的體積V=-y-x2x2=12.

故選：B.

4.(2022.全國(guó).高考真題)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某

水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為MO.Okn?；水位為海拔1575m時(shí)，相應(yīng)水面

的面積為180.0km2，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升

到157.5m時(shí)，增加的水量約為(/x2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m'C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出.

【詳解】

依題意可知棱臺(tái)的高為MN=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積丫.

棱臺(tái)上底面積S=140.0km=140xl()6m2,下底面積￡=180.0km2=]80xl()6m2,

,76612

V=1/Z(S+S+>/SS)=1X9X(140X10+180X10+A/140X180X10)

=3X(320+60A/7)X10A?(96+18x2.65)xl07=1.437xl09=l4xlO^m3).

故選：C.

5.(2022?全國(guó)?高考真題(理))在長(zhǎng)方體ABC。-44Gq中，已知耳。與平面ABC。和平面

AAB|B所成的角均為30。，則()

A.AB=2ADB.A8與平面48?。所成的角為30。

c.AC=CBtD.4。與平面BBCC所成的角為45。

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)線(xiàn)面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】

如圖所示：

不妨設(shè)AB=a,AO=b,A41=c,依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，4。與平面48CZ）所成角為

cb

NBQB,B0與平面44,8產(chǎn)所成角為用4,所以sin30麗=麗，即以,，

B,D=2c=^ai+b1+c2,解得a=&c-

對(duì)于A,AB=a,AD=b,AB=-J1AD-A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,過(guò)8作BELAq于E,易知BE,平面A8￡。，所以A8與平面44Go所成角為血￡,因

>9tanZBA￡=-=—.所以N84EH30,B錯(cuò)誤；

a2

2222

對(duì)于C,AC=\/a+h=\[ic?CB]=\Jb+c=\[2c,ACw(74，c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,8Q與平面BgCC所成角為乙D8C，sinZDB,C=—,而0</。用。<90,所以

B.D2c2

ZDB,C=45.D正確.

故選：D.

6.（2022?全國(guó)?高考真題（文））在正方體A8CD-4AG。中，E,F分別為A8,8C的中點(diǎn)，則

（）

A.平面4EFL平面8。。B.平面B|EFJ.平面ABD

C.平面4E尸〃平面AACD.平面4EF//平面AC。

【答案】A

【解析】

【分析】

證明￡F_L平而B(niǎo)。2,即可判斷A；如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2,分別求

出平面耳EF,\BD,4G。的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.

【詳解】

解：在正方體4BCO-A4G。中，

AC_L必且DR1平面ABCD,

又EFu平面A8CD,所以

因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，所以EFAC,所以EFLBQ，

又BDDDt=D,所以EF平面BDDt,

又EFu平面所以平而平面B。。，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,如圖所示，設(shè)AB=EF\8￡>=N,則MV為平面片即與平面吊即的交線(xiàn)，

在ABMN內(nèi),作BPLMN于點(diǎn)P,在6EMN內(nèi)，作GP_LMN,交EN于點(diǎn)G,連結(jié)BG,

則ZBPG或其補(bǔ)角為平面BXEF與平面A.BD所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2,PG2+PN1=GN2,

底面正方形A8CZ）中，E,F為中點(diǎn)，則EF_L3r>,

由勾股定理可得+.

從而有：NB-+NG2=（PB。+PN2）+（PG2+PN?）=BG2,

據(jù)此可得PB2+PG2*BG2,即ZBPGh90，

據(jù)此可得平面BXEF±平面AtBD不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,取A4的中點(diǎn)“，則A"B]E,

由于AH與平面AAC相交，故平面旦EF〃平面AAC不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,取A。的中點(diǎn)M,很明顯四邊形為平行四邊形，則A”與F,

由于AM與平面ACQ相交，故平面瓦EF〃平面ACQ不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

故選:A.

7.（2022?浙江?高考真題）如圖，已知正三棱柱ABC-AMG，AC=AA，E,F分別是棱BC，AG上的

點(diǎn).記E尸與A4所成的角為a,EF與平面A8C所成的角為夕，二面角尸-5C-A的平面角為y,則

P<a<yC./3<y<aD.a<y</3

【答案】A

【解析】

【分析】

先用幾何法表示出a，仇Y，再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大小.

【詳解】

如圖所示，過(guò)點(diǎn)/作FPJ_AC『P,過(guò)P作PM_L3CTM,連接PE,

tana=笠二笠小…"二?二”“tan/=&2?=ta”,

FPABPEPEPMPE

所以

故選：A.

8.（2022?全國(guó)?高考真題（理））甲、乙兩個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2兀，側(cè)

面積分別為s單和S乙，體積分別為％和%.若￥=2,則》=（）

3乙V乙

A.舊B.2&C.5/10D.

4

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為片，乙圓錐底面圓半徑為4,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得弓=2々再

結(jié)合圓心角之和可將小4分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式

即可得解.

【詳解】

解：設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為4,乙圓錐底面圓半徑為小

則m=胃=2=2,所以（=24，

S乙仃21r2

『27vr.2兀八n5.

又丁+學(xué)s=2萬(wàn)，則rfil彳2=1,

所以所以甲圓錐的高九=J/2—

I-----:-rry-7tr^h-I2x-/

乙圓錐的高九=力2-,尸=笆/,所以廣=￥——}=T~'=河?故選：C.

一V93%：泡"x鳴

393

9.（2021?天津?高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為

岸32〃，兩個(gè)圓錐的高之比為1:3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）

A.34B.4%C.94D.124

【答案】B

【解析】

【分析】

作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再

利用錐體體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】

如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)。，

設(shè)圓錐AD和圓錐8。的高之比為3:1,即AD=3BD,

設(shè)球的半徑為R,則----=-—,可得R=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=\,AD=3,

CDA.AB,則NCAO+ZAC￡）=NBC￡）+ZACD=90,所以，ZCAD=ZBCD,

又因?yàn)镹A￡>C=NB￡>C,所以，

ADCD,-------

所以，,:.CD=VAD-BD=\Ir3,

因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為g?rxC￡）2.（A￡>+BQ）=g;rx3x4=4;r.

故選：B.

10.（2021?全國(guó)?高考真題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)

中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地

球表面的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為。，半徑，為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤

道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為a,記

衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為S=2萬(wàn)，（1-cosa）（單位：km2），則S占地球表面積的百分比約為

)

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】

由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：

?6400

1-------------------

2^r2(l-cosa)_1-cosa

.6400+36000.,042=42%.

4萬(wàn)，22

故選：C.

二、填空題

11.（2021.全國(guó).高考真題（文））己知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為307則該圓錐的側(cè)面積為

【答案】39萬(wàn)

【解析】

【分析】

利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線(xiàn)長(zhǎng)，最終利用側(cè)面積公式求出答案.

【詳解】

1,5

VV=-^62-/i=30zr.\/7=-

32

?*.I=y/h2+r+6°S惻=TZT/=;TX6X￡=39萬(wàn).故答案為：397.

12.（2021.全國(guó).高考真題（理））以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視

圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為（寫(xiě)出符合要求的一組

答案即可）.

【解析】

【分析】

由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.

【詳解】

選擇側(cè)視圖為③，俯視圖為④，

如圖所示，長(zhǎng)方體ABCO-ABGA中，AB=BC=2,BB『1,

E,尸分別為棱B儲(chǔ),BC的中點(diǎn)，

則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐E-ADF.

故答案為：③④.

【點(diǎn)睛】

三視圖問(wèn)題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線(xiàn)面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

三、解答題

13.(2022?全國(guó)?高考真題(理))如圖，四面體ABC。中，AD±CD,AD=CD,AADB=ZBDC,E

為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面BE。_L平面ACO；

(2)設(shè)A8=8O=2,NACB=60。，點(diǎn)尸在BO上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面9所成的角

的正弦值.

【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析

(2)CF與平面4中所成的角的正弦值為迪

7

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知關(guān)系證明瓦廷△CBO,得到A8=C8,結(jié)合等腰三角形三線(xiàn)合一得到垂直關(guān)系，結(jié)

合面面垂直的判定定理即可證明；

(2)根據(jù)勾股定理逆用得到BE_LZ)E,從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線(xiàn)面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即

可.

(1)因?yàn)锳D=CD,E為AC的中點(diǎn)，所以ACJLDE；

在AABD和工CBD中，因?yàn)锳D=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以△回/運(yùn)△CB。，所以AB=CB,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC_L3E：

又因?yàn)镈E,BEu平面BED,DEcBE=E,所以4(7_1平面8￡￡),

因?yàn)锳Cu平面AC。，所以平面BE￡>_L平面ACD.

(2)連接EF,由(1)知，AC!_平面BED,因?yàn)镋fu平面BED,

所以AO\所以SA"C=3AC，EF,

當(dāng)￡F_LBD時(shí)，EF最小，即△AFC的面積最小.

因?yàn)椤鰽BgZ\CB￡>,所以C8=AB=2,

又因?yàn)镹ACB=60。，所以，ABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE=6,

因?yàn)锳D_LCD,所以DE=LAC=I,

2

在.￡)E8中，DE2+BE2=BD\所以8E_LQE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間比角坐標(biāo)系E-沖z,

則4(1,0,0),川0,亞0),。(0,0,1),所以A0=(-1,0,1),A8=C，60),

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),

n-AD=-x+z=0

則取y=G，則”=@,6,3),

n?AB=-x+\/3y=0

又因?yàn)镃(-l,0,0),尸0當(dāng)B,所以CF=1當(dāng)§

n4#>

所以8e/-°7^\”_胸,CF二_不6

設(shè)C尸與平而謝所成的角的正弦值為外04

所以sin8=卜os(〃,C77)]=，

所以CF與平面的所成的角的正弦值為半

14.(2022?全國(guó)?高考真題(文))如圖，四面體ABCO中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E

為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面3E￡>_L平面4C￡>；

(2)設(shè)48=83=2,NACB=60。，點(diǎn)尸在上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求三棱錐尸一A8C的體積.

【答案】⑴證明詳見(jiàn)解析⑵也

4

【解析】

【分析】

(1)通過(guò)證明AC_L平而8匹來(lái)證得平面BED_L平面ACD.

(2)首先判斷出三角形AFC的面積最小時(shí)尸點(diǎn)的位置，然后求得尸到平面ABC的距離，從而求得三

棱錐F-ABC的體積.

(1)由于4)=8,E是AC的中點(diǎn)，所以ACL0E.

AD=CD

由于<BD=BD，所以=

N