初一數(shù)學第二學期期末總復習

初一數(shù)學第二學期期末總復習

第六章一元一次方程

《一元一次方程》知識梳理

一、知識要點

（-）方程

1.定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2.方程的解：使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解。

3.解方程：求方程的解的過程。

（二）方程的變形

方程的變形1：方程兩邊都加上或都減去同一個數(shù)或同一個整式，方程的解不變。

方程的變形2：方程兩邊都乘以或都除以同一個不為0的數(shù)，方程的解不變。

（三）一元一次方程

1.定義：只含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣

的方程叫一元一次方程。

一般形式：ax+b=O（aWO）,最簡形式：ax=b（aWO）。

2.移項：將方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊的變形叫做移項。

3.去分母：方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，使方程中的系數(shù)不出現(xiàn)分數(shù)。這樣的變

形叫做去分母。

（四）解一元一次方程的一般步驟

1.變形：利用分數(shù)的基本性質(zhì)或比例的基本性質(zhì)化分母為1或整數(shù)。

2.去分母：

（1）方程的各項都乘以公分母；

（2）分子是多項式時應加括號。

3.去括號：

（1）去括號法則；

（2）乘法分配律。

4.移項：

（1）所要移的項應變號；

（2）從方程的一邊移到另一邊。

5.合并同類項：

（1）系數(shù)相加，字母及指數(shù)不變；

（2）化成最簡方程ax=b的形式。

6.系數(shù)化為1：

（1）方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)；

（2）字母系數(shù)應加以討論。

7.檢驗：把未知數(shù)的值代入原方程，若方程左邊=右邊，則該值是原方程的解；若方程左

邊右邊，則原方程無解或該值是錯解。

解方程時，上述步驟有些可能用不到，并且也不一定按照這樣的順序，要根據(jù)方程的特

點靈活安排求解步驟。熟練后，有些步驟及檢驗可以合并簡化。

二、典型例題

例1填空題：

1.方程3x—l=4x+2的最簡形式是或。

2.方程0.5(4y-3)=2的一般形式是。

3.方程-2k(x—2)—1=0的根為x=l,貝ijk=。

4.已知方程2*3-2，》+1=0是關(guān)于x的一元一次方程，則0!=,X=。

5.已知代數(shù)式8X—7與6—2x的值互為相反數(shù)，則x的值是。

6.如果一3x5/m+i與0.5x3nTy3的和是單項式，那么m=,n=,單項式的和等

于。

說明：掌握好一元一次方程的定義、一般形式、最簡形式和方程解的定義是解本組題的

關(guān)鍵。

例2選擇題:

1.下列各式為方程的是()

A.2+3=5B.2x-3C.4xW3yD.x=0

2.下列說法正確的是()

A.代數(shù)式是整式B.等式是代數(shù)式C.方程是等式D.等式是方程

3.下列方程屬于一元一次方程的是()

A.x+y=lB.——3x=0C.—+4=0D.(x—1)(x+2)=0

2x

4.下列方程中根為2的是()

x2x327、1

A.x+4=3x—2B.2(x-2)=4C.------=1D.—(―x---)=一

632364

5.方程Ix|=x的解是()

A.x=0B.x為任何數(shù)C.x為非負數(shù)D.x為正數(shù)

6.若方程(2a+l)x2+5xb7—7=0是一元一次方程，則方程ax+b=l的解是()

A.x=-6B.x=6C.x=_8D.x=8

說明：方程思想是解決數(shù)學問題的重要思想。許多問題常需要通過方程來幫助解決。用

“回到定義上去”的方法來說明代數(shù)式、等式和方程這些概念的重要，在學習過程中不可忽

視。中考常將一元一次方程的解法與其它問題綜合在一起進行考查。

例3解方程：y一生匚=1+互二1

34

解：去分母得12y-4(2y-l)=12+3(3y-l)

去括號得12y-8y+4=12+9y-3

移項得12y_8y_9y=12—3_4

合并同類項得-5y=5

兩邊同除以一5得y=-l

說明：(1)若方程中含有分母，一般應先去分母，用公分母去乘方程兩邊的每一項，

特別要防止漏乘不含分母的項。分子是多項式時應注意添加括號。

(2)去括號時，應根據(jù)去括號法則和乘法分配律，特別要注意括號前面有數(shù)字或負號

的情況。

(3)所移的項耍變號，一般是把含未知數(shù)的項移到等號的左邊，常數(shù)項移到右邊。

(4)化系數(shù)為1時，若系數(shù)為整數(shù)宜用除法，若系數(shù)為分數(shù)宜乘以系數(shù)的倒數(shù)。

例4解方程一[—x—(—x)]=—x+1

23326

2115

解：去括號得士尤——x+-=-x+l

3346

…H215,1

移項得一X——Xx-1

3364

13

合并同類項得—上x=3

24

3

化系數(shù)為1得x=—3

2

說明：(1)括號里含有分母時，一般應先去括號，然后再去分母化簡。

(2)可根據(jù)方程的特點，靈活安排解方程的步驟。本題先去中括號較簡便。

(3)未知數(shù)的系數(shù)可化為同分母，便于合并的，可不必先去分母。

e0.lx—0.51-x人3

例5解方程----------------=2x—3

0.33

解法一：利用分數(shù)的基本性質(zhì)化分母中的小數(shù)為整數(shù)。

Y—51—x

原方程變形得=-=2x-3

33

去分母得(X—5)—(1—x)=3(2x—3)

去括號得X—5—l+x=6x—9

移項得x+x—6x=-9+5+1

合并同類項得-4x=-3

3

兩邊同除以一4得x=—

4

解法二：兩邊同乘以3,去分母得10(O.lx-0.5)-(1-x)=3(2x-3)

去括號得X—5—l+x=6x—9

下同解法一。

解法三：原方程變形得處'=2x-3

30.333

兩邊同乘以3,去分母得lOxO.lx-10x0.5-l+x=3(2x-3)

即x-5-1+x=6x-9

下同解法一。

說明：(1)利用分數(shù)的基本性質(zhì)化分母為整數(shù)時，不要將“分子、分母同乘以一個數(shù)”

與“方程兩邊同乘以一個數(shù)”相混淆。

(2)分母為小數(shù)需變形時，可利用分數(shù)的基本性質(zhì)、比例的基本性質(zhì)，化分母為整數(shù)

或lo

(3)分數(shù)線具有除號和括號的作用，去分母時，分子是多項式應加上括號。

(4)利用同分母分數(shù)相加減的逆運算，應注意各項的符號。

,..,1.2—x0.8—5x4x—1.5

例6解萬m程----------------=--------

0.10.20.5

解：原方程變形得10(1.2-x)-5(0.8-5x)=2(4x-1.5)

去括號得12-10x-4+25x=8x-3

移項得一10x+25x-8x=-3—12+4

合并同類項得7x=-ll

系數(shù)化為1得工=一〃

7

說明：化分母為整數(shù)或1時，不一定要同時乘以同一個整十、整百的數(shù)，應靈活處理，

不含未知數(shù)的小數(shù)一?般不變形。本題就是利用—=10,—=5,—=2去分母的。

0.10.20.5

例7解關(guān)于x的方程ax—b=cx+d

解：移項得ax—cx=b+d

合并同類項得（a—c）x=b+d

當a—cWO,即aWc時，原方程有惟一解x="＞；

a-c

當a—c=O,即a=c,且b+d=O時，原方程有無數(shù)多個解；

當a—c=0,即a=c,且b+dWO時，原方程無解。

說明：解含有字母系數(shù)的方程，一定要注意所給的條件，保證原方程化為ax=b的形式

后x的系數(shù)不為零，這樣才可以將方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)求得結(jié)果。

《一元一次方程》復習指導

《一元一次方程》這一章的知識可概括為：方程的基本變形，方程和它的解法及其應用。

其中，方程的基本變形、方程和它的解是本章的基礎(chǔ)，一元一次方程的解法及其應用是本章

的重點，列一元一次方程解應用題是本章的難點。

?、學習目標要求

1.了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本變形在解方程

中的作用。

2.會解一元一次方程，并經(jīng)歷和體驗解方程中“轉(zhuǎn)化”的過程和思想，了解一元一次

方程解法的一般步驟，并能正確、靈活地加以運用。

3.會根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元一次方程并求解，能根據(jù)問題的實際意義檢

驗所得結(jié)果是否合理。

4.結(jié)合“實踐與探索”，在經(jīng)歷“問題情境——建立數(shù)學模型——解釋、應用與拓展”

的過程中體會數(shù)學的價值，培養(yǎng)運用數(shù)學知識去分析、解決實際問題的意識與能力，提高思

維品質(zhì)。

二、基礎(chǔ)知識回顧

1.方程、方程的解與解方程

注意：方程的解與解方程是兩個不同的概念。方程的解是運算的結(jié)果，是未知數(shù)的一個

值，它使方程兩邊的代數(shù)式的值相等；解方程是運算過程。

2.方程的基本變形

3.一元一次方程

從定義來看，一個方程若是一元一次方程，必須滿足三個條件：一、必須是整式方程；

二、只含有一個未知數(shù)（故稱作“一元”）；三、未知數(shù)的次數(shù)是1（故稱作“一次

例1下列方程是一元一次方程的是（）

A.x+-------=0B.2x+y―3=0C.x2—2x+l=0D.3（x—1）=5x+2

x2

析解：選項A中的方程不是整式方程，所以它不是一元一次方程；選項B中的方程不

止一個未知數(shù)，而是含有兩個未知數(shù)x、y,所以它不是一元一次方程；選項C中的方程未

知數(shù)的最高次數(shù)是2不是1,所以它不是一元一次方程。因此，應選D。

4.解一元一次方程的一般步驟

步驟具體方法依據(jù)

去分母方程兩邊都乘以各分母的最小公分母基本變形2

去括號先去小括號，再去中括號、大括號去括號法則

移項將含有未知數(shù)的項移到方程一邊，其他項移到方程的另一邊基本變形1

合并同類項把方程化為的形式ax=b(a#0)整式加減

系數(shù)化為1方程兩邊同除以a,得X/基本變形2

a

注意：能熟練地解方程之后，要注意根據(jù)方程特點尋找快速、簡便、合理的解題方法,

不要死記上述解題步驟，要訓練思維的靈活性。

,..,2x—12x+110x+14x—5

例2解萬程-------------=---------------

3468

分析：這道題的常規(guī)解法是先去分母?，F(xiàn)在，我們用拆項的方法來解，十分簡捷。

工—21115115

解：原方程可變形為一x-----x——=-x+----x+一

33243628

33

移項，合并同類項，得一x=3

24

5.列一元一次方程解應用題

列一元一次方程解應用題的基本步驟可概括為六個字：|審、設(shè)、列、解、檢、答

審——仔細審題，讀懂題意，理清數(shù)量關(guān)系。

設(shè)——設(shè)未知數(shù)。

列——列方程，根據(jù)題目中提供的相等關(guān)系列出方程。

解---解方程。

檢——檢驗，首先檢驗所列方程是否正確，然后檢查所列方程的解是否符合題意。

答——千萬別忘記單位。

以上六個步驟，審題是基礎(chǔ)，難點是找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關(guān)系，關(guān)

鍵是設(shè)好未知數(shù)以及解方程準確無誤。

設(shè)未知數(shù)的方法常采用直接設(shè)未知數(shù)法，即題目問什么，就設(shè)什么為。

三、典型例題析解

2

例3若單項式-4xmTyn+i與;xy2是同類項，則m=,0=O

分析：利用同類項的定義，構(gòu)造一元一次方程求解。

解：由同類項的定義知m-1=1,且n+l=2

解得m=2,n=lo

312

例4解方程一[2(x--)+-]=5x

223

32

分析：解此方程時，不宜一步一步地先去小括號,再去中括號，而應從2x*=l入手。

23

解：先去中括號，得3(x—；)+l=5x

去括號，移項，合并同類項，得-2x=，

2

4

0.02-0.lx13x

例5解方程

0.032.5

分析：解這個方程時，應先利用分數(shù)的基本性質(zhì)，把分子、分母中的小數(shù)化成整數(shù)，然后再

求解。

解：將已知方程變形，得上也—1=2上

35

去分母，得5(2—10x)—15=3(2-6X)

去括號，移項，合并同類項，得一32x=ll

例6方程2x+l=3和方程2x-a=0的解相同，則a的值是。

分析：先求出方程2x+1=3的解，再將其代入2x—a=0中即可求出a的值。

解：解方程2x+l=3,得x=l。

把x=1代入方程2x-a=0中,得2-a代。

.,.a=2

例7求作一個一元一次方程，使其根為一

2

分析：可先寫出一個與一工有關(guān)的算式，再將一2換成字母x即可。符合條件的一元一次

22

方程有無數(shù)個。

答案:如2x+l=4x+2等等。

例8某商店先在廣州以每件15元的價格購進某種商品10件，后來又在深圳以每件12.50

元的價格購進同樣的商品40件。如果商店銷售這種商品要達到20%的利潤，那么其銷售價

應是多少？

分析：總銷售金額一進貨總成本=進貨總成本X20%,以此為等量關(guān)系去列方程求解。

解：設(shè)銷售價應為x元。根據(jù)題意，得

(40+10)x-(15x10+12.5x40)=(15x10+12.5x40)X20%

得x=15.6

答:銷售價應為15.6元。

四、常見誤區(qū)分析

本章常見誤區(qū)是在解一元次方程時出現(xiàn)錯誤。

2x—53x+1l-5x

例8解方程上-—1

326

錯解：去分母得2(2x-5)-1=3(3x+l)-(l-5x)

去括號得4x-10-l=9x+3—l-5x

移項得4x+9x-5x=3-1-10-1

合并同類項得8x=-9

9

系數(shù)化為1得x=

8

分析：錯解中有三處錯誤(也是同學們?nèi)菀追傅腻e誤)。第一處錯誤是去分母時.，不含分母

的項一1漏乘了6；第二處錯誤是去括號時;括號前是“一”號，去掉括號，括號內(nèi)第一項

后面的項未變號，這里一(l-5x)=-l+5x；第三處錯誤是移項都未變號。

請同學們完成正確的求解過程。

9

(答案：x=——)

5

一次方程應用題解法例談

知識要點

（一）解應用題的一般步驟

審、設(shè)、列、解、檢、答。

口訣：已知未知先分辨，等量關(guān)系是關(guān)鍵，

抓住關(guān)鍵列方程，答語之前先檢驗。

其中，審清題意是列方程的基礎(chǔ)，找出等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵。

列方程解應用題的流程：

實際問題鬻數(shù)量關(guān)系等，,系方程器解答

抽象設(shè)兀檢驗

（-）審清題意，分析數(shù)量關(guān)系的方法有三種

1.解析法；2.圖示法（線段示意圖）；3.列表法

（三）所列方程必須滿足三個條件

1.方程兩邊表示同類量；

2.方程兩邊同類量的單位一致；

3.方程兩邊的數(shù)量關(guān)系相等。

（四）常見類型

1.和、差、倍、分問題

等量關(guān)系：兩數(shù)和=較大數(shù)+較小數(shù)

較大數(shù)=較小數(shù)X倍數(shù)土增（減）數(shù)

2.調(diào)配問題

等量關(guān)系：調(diào)配后，新的甲、乙兩方的倍比關(guān)系

3.等積變形問題

等量關(guān)系：變形前的質(zhì)量=變形后的質(zhì)量

變形前的體積=變形后的體積

4.利息問題

基本關(guān)系：利息=本金X利率X期數(shù)

等量關(guān)系：本息和=本金+利息=本金+本金義利率X期數(shù)

稅后利息=本金X利率X期數(shù)X（1—利息稅率）

5.增長（或降低）率問題

增長數(shù)

等量關(guān)系：增長率=筆等X100%

計劃數(shù)

實際生產(chǎn)數(shù)=計劃數(shù)+（1+增長率）

實際生產(chǎn)數(shù)=計劃數(shù)X（1—減少率）

6.市場經(jīng)濟問題

等量關(guān)系：商品的利潤=商品的售價一商品的進價

商品的利潤率=喘黜跖00%

7.行程問題

基本關(guān)系：S=Vt,v=一,t=—

tV

維Y-zr

(1)相向相遇問題：

甲、乙所走路程的和=人、B兩地的距離

同時出發(fā)到相遇時，甲、乙所用時間相等

(2)同向追及問題：

甲、乙所走路程的差=人、B兩地的距離

從開始追趕到追及時，甲、乙所用時間相等

(3)環(huán)行相遇問題：

同地同向：每相遇一次所走路程差=一環(huán)的路程

同地背向：每相遇一次所走路程和=一環(huán)的路程

(4)航行問題：

順流速度=靜水速度+水流速度

逆流速度=靜水速度一水流速度

(5)時鐘問題：

分針走的總路程一時針走的總路程=環(huán)形周長(60)Xn(n是第n次重合)

開始追趕到追上(重合)時，分針與時針所用的時間相等

8.工程問題

基本關(guān)系：工作量=工作效率X工作時間

等量關(guān)系：各個部分完成工作量的和=全部工作量

原計劃完成時間=實際完成時間+提前完成時間=實際完成時間一誤工時間

9.濃度配比問題

基本關(guān)系：溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量X濃度

溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量(水)

等量關(guān)系：甲溶質(zhì)質(zhì)量+乙溶質(zhì)質(zhì)量=混合后溶質(zhì)質(zhì)量

甲溶液質(zhì)量+乙溶液質(zhì)量=混合后溶液質(zhì)量

注意：稀釋時.，加溶劑前后，溶質(zhì)不變；加濃時，加溶質(zhì)前后，溶劑不變。

10.數(shù)字問題

基本關(guān)系：若百位數(shù)字為X,十位數(shù)字為y,個位數(shù)字為z,則這個三位數(shù)用代數(shù)式表

示為100x+10y+z(x、y、z在0至9之間，xWO)

典型例題

例1在甲處勞動的有27人，在乙處勞動的有19人，現(xiàn)另調(diào)20人去支援甲、乙兩處，使

在甲處勞動的人數(shù)為在乙處勞動的人數(shù)的2倍，應調(diào)往甲、乙兩處各多少人？

分析：等量關(guān)系為：調(diào)往甲處的人數(shù)+調(diào)往乙處的人數(shù)=20

調(diào)入后甲處人數(shù)=調(diào)入后乙處人數(shù)的2倍

解：設(shè)應調(diào)往甲處x人，則就調(diào)往乙處(20—x)人。

根據(jù)題意得27+x=2[19+(20-x)]

解得x=17

20-x=3

答：應調(diào)往甲處17人，調(diào)往乙處3人。

說明：勞力調(diào)配應用題是在生產(chǎn)勞動中進行勞力調(diào)配時的規(guī)劃應用題型。一般要抓住題

目中調(diào)配后新的甲、乙兩方的倍比關(guān)系來布列方程解題。

例2A、B兩地相距169千米，甲車以42千米/小時的速度從A地駛向B地，出發(fā)30分

鐘后因機器故障需停車修理，這時乙車以39千米/小時的速度從B地向A地駛來。已知甲

車排除故障用了20分鐘，問乙車出發(fā)后經(jīng)過多少時間與甲車相遇？

分析：本例中不僅汽車的速度不同，出發(fā)的時間也不相同，因而從出發(fā)到相遇的時間也不

相同，但題中蘊含著一個重要的等量關(guān)系：

甲車所行路程+乙車所行路程=全程

另外，甲車雖然早出發(fā)了30分鐘，卻因排除故障耽擱了20分鐘，所以甲車從出發(fā)到相遇

運行的時間只比乙車多用了10分鐘，于是又有等量關(guān)系：

甲車運行時間=乙車運行時間+10分鐘

解：設(shè)乙車出發(fā)后x小時與甲車相遇，則甲車從出發(fā)到相遇時運行時間為(x+-)小時。

6

根據(jù)題意得42(xd—)+39x=169

6

解得x=2

答：乙車出發(fā)后2小時與甲車相遇。

說明：本題有多種解法，但無論怎樣列方程，總要依據(jù)等量關(guān)系：甲車所行路程+乙車

所行路程=全程。另外在列出的方程中，同類量的單位要統(tǒng)一，如時間單位都用小時，距離

單位都用千米。

例3一艘輪船航行于A、B兩地之間，順水航行速度為vi,逆水航行速度為V2,那么這艘

輪船航行于A、B兩地之間的平均速度是()

「2v,v,

1fD.—

B.可,匕+吟

匕+丫2

解：設(shè)A、B兩地的距離為s,順水航行時間為h，逆水航行時間為t2,那么

SS

t|=—t2=——

匕叱

平均速度v=32s_2v}?v2

。+/2上+上V,+V2

匕匕

故應選D。

說明：這里應用的就是距離、速度、時間三者的關(guān)系式，應注意平均速度是總路程除以

總時間。本題還引進了中間量S、5t2參與計算，最后都消去了。

例4環(huán)湖一周為900米，甲每分鐘行走60米，乙的速度是甲的倍，甲、乙分別在相距

2

300米的A、B兩處(如圖)

(1)若甲、乙同時沿近路相向而行，多長時間相遇？

(2)若甲、乙同時按相反方向沿遠路而行，經(jīng)過多長時間相遇？

(3)若甲、乙同時按順時針方向走，經(jīng)過多長時間第一次相遇？經(jīng)過多長時間第二次相遇？

解(1)若甲、乙同時沿近路相向而行，相遇所需的時間設(shè)為x分鐘。

根據(jù)題意得60x+1-X60x=300

2

解得x=2

(2)若甲、乙同時按相反方向沿遠路而行，相遇所需的時間設(shè)為y分鐘。

根據(jù)題意得60y+11X60y=900-300

解得y=4

(3)若甲、乙同時按順時針方向走，第一次相遇所需的時間設(shè)為z分鐘。

根據(jù)題意得1』X60z-60z=600

2

解得z=20

同理可求得第二次相遇所需的時間為t=50

說明：環(huán)形問題的同向相遇相當于直線問題的同向追及問題；而背向相遇問題相當于

直線問題的相向相遇問題。

例5李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出扣除利息稅后可得利

息43.92元。已知這兩種儲蓄年利率的和為3.24%,問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？

(注：公民應交利息所得稅=利息金額X20%)(2000年廣西中考題)

解：設(shè)儲蓄2000元的年利率為x,則儲蓄1000元的年利率為(3.24%—x)。

根據(jù)題意得[2000x+1000(3.24%-x)]X(1-20%)=43.92

解得x=2.25%

.,.3.24%-x=0.99%

答:這兩種儲蓄的年利率分別為2.25%、0.99%

例6已知甲、乙兩種商品原來的單價之和為100元，因市場變化，甲商品降價10%,乙商

品提價5%o調(diào)價后，甲、乙兩種商品的單價之和比原來的單價之和提高了2%,求甲、乙

兩種商品原來的單價各是多少？(1998年鹽城中考題)

解：設(shè)甲原來的單價為x元，那么乙原來的單價為(100-x)元。

根據(jù)題意得(1-10%)x+(1+5%)(100-x)=(1+2%)X100

解這個方程得x=20

A100-x=80

答：甲、乙原來的單價分別為20元、80元.

說明：隨著改革開放的不斷深化，市場經(jīng)濟日益繁榮，經(jīng)濟型的數(shù)學問題也不斷滲透到

我們的課堂中來。同學們應多觀察、分析發(fā)生在我們身邊的“經(jīng)濟問題”。解決這類問題的

關(guān)鍵在于熟悉諸如成本、利潤、利息、增值、貶值、盈利、虧損、賺錢、賠本、售價、折扣、

費用、股票等名詞術(shù)語，再加深對百分比、增長率等有關(guān)概念的理解和應用。

例7?個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大2,如果個位數(shù)字與十位數(shù)字交換，比原數(shù)大18。

求這個兩位數(shù)。

解：設(shè)十位數(shù)字為x,則個位數(shù)字為x+2。這個兩位數(shù)是10x+(x+2),交換后的兩位數(shù)

是10(x+2)+x(>

根據(jù)題意得10(x+2)+x=[10x+(x+2)]+18

化簡得0,x=0

.?.原方程有無數(shù)多個解。

但因x+2、x只能取0至9之間的數(shù)字，且xWO,8,9,

x=l,2,3,4,5,6,7o

所求的兩位數(shù)分別為13,24,35,46,57,68,79。

例8要將含鹽30%的鹽水20千克變成含鹽50%的鹽水。問：

(I)需蒸發(fā)掉多少千克的水？

(2)需加入多少千克的鹽？

(3)需加入60%的鹽水多少千克？

解(1)設(shè)需蒸發(fā)掉x千克水。

根據(jù)題意得(20-x)X50%=20X30%

解得x=8

(2)設(shè)需加入y千克鹽。

根據(jù)題意得20X30%+y=(20+y)X50%

解得y=8

(3)設(shè)需加入60%的鹽水z千克。

根據(jù)題意得20X30%+60%z=(20+z)X50%

解得z=40

說明：濃度配比問題涉及的三個量是溶液的質(zhì)量、溶質(zhì)的質(zhì)量和百分比濃度，可歸納為

稀釋類、加濃類和混合類三種基本類型。稀釋時，加溶劑前后，溶質(zhì)不變；加濃時，加溶質(zhì)

前后，溶劑不變；混合前后的溶質(zhì)(或溶劑)不變。

一元一次方程綜合問題及其應用

3

例I方程甲2(x-4)=3x與方程乙x-4=4x的解相同，其根據(jù)是()

4

4

A.甲方程的兩邊都加上了同一個整式xB.甲方程的兩邊都乘以了一X

3

43

C.甲方程的兩邊都乘以了一D.甲方程的兩邊都乘以了一

34

4一

解：甲方程的兩邊都乘以同一個非零的數(shù)一，所得到的新方程x-4=4x與原方程的解相同，

3

故應選C。

例2如果等式1992+1994+1996+1998=5000一口成立，則口中應填的數(shù)是()

A.5B.-980C.-1900D.-2980

解：設(shè)口中應填的數(shù)是x,則

1992+1994+1996+1998=5000—x

即7980=5000-x

x=5000—7980=—2980,應選D

【說明】含有未知數(shù)物等式叫做方程，而1992+1994+1996+1998=5000一口是含有未

知數(shù)口的等式，因此是方程。在代數(shù)中，未知數(shù)一般用字母x、y、z表示。在中國古代數(shù)學

中，未知數(shù)用天、地、人等表示，稱為“天元術(shù)”。本題中，未知數(shù)是用口表示的，因此，

本題實質(zhì)上是解方程求未知數(shù)口。

例3若p,q都是質(zhì)數(shù)，以x為未知數(shù)的方程px+5q=97的根是1,則p'一q=。

解：因為1是方程px+5q=97的根，所以pX1+5q=97

若p是奇數(shù)，5q應為偶數(shù)，q就只能是偶質(zhì)數(shù)2,此時p=97-5x2=87=3x29,與p為質(zhì)

數(shù)的條件不符，所以只能p是偶質(zhì)數(shù)2。從而可得5q=95,q=19,是個質(zhì)數(shù)，所以p2—q=4

一19=-15。

【說明】本題是將方程根的概念與奇偶數(shù)分析結(jié)合起來考察的一道例題。檢驗一個數(shù)是

否為方程的根，只需將該數(shù)代入方程，看這個數(shù)是否滿足方程即可。

例4有理數(shù)工，—,8恰是下列三個方程

25

2x-11Ox+12x+1

(1)---------------------=--------------1t

3124

(2)3(2y+l)=2(1+y)+3(y+3)

(3)g[z_g(z=

的根，則土-工的值等于

yx

解：將L,U,8代入方程(1),(2),(3)檢驗，知工滿足方程(1),8滿足方程(2),

252

一滿足方程(3),所以x=Ly=8,z=一。

525

11

225-352347

因此土一三=2一?

--

yx8』16T8016

2

【說明】本題是將方程與代數(shù)式求值結(jié)合起來的綜合例題。關(guān)鍵是判斷!，〃，8各

25

是哪個方程的根，可以這樣進行：先解一個方程，比如解第一個方程，求得,；然后取u

25

和8中較易運算的一個，比如將8代入剩下的兩個方程之一，若8滿足這個方程，則口必

5

滿足剩下的那個方程；若8不滿足這個方程，則〃必滿足這個方程，8必滿足第三個方程。

5

例5解方程|1990x-1990I=1990

分析：這是含有絕對值的方程，去掉絕對值符號可以變?yōu)閮蓚€一元一次方程來求解。因此是

可化為一元一次方程的方程。

解法一：原方程兩邊同除以1990得Ix—1|=1。

當xel時，由x-l=l得x=2

當x<l時，由x—1=—1得x=0

經(jīng)檢驗，x=2,x=0都是原方程的根。

解法二：若1990x21990,貝lj1990x-1990=1990

即1990x=3980得x=2

若1990x<1990,貝lj1990x-1990=-1990,

B|J1990x=0得x=0

經(jīng)檢驗，x=2,x=0都是原方程的根。

解法三：原方程兩邊同除以1990得，Ix-l|=1

/.X-1=1或X-1=-1

解得x=2或x=0

經(jīng)檢驗，x=2,x=0都是原方程的根。

例6在計算一個正數(shù)乘以3.57的運算時，某同學誤將3.57錯寫作3.57,結(jié)果與正確答案

相差1.4,求正確的乘積應是多少？

解：設(shè)相乘的正數(shù)是X,所以正確乘積為3.57x,錯誤乘積為3.57x。依題意有3.57x-3.57x=1.4

顯然,3.57=3士57要是能設(shè)法將3.57也化為分數(shù)，問題就好辦了。

100

為此，設(shè)3.57=y,即y=3.57777…。

.?.10y=35.7777…=32.2+3.57777…=32.2+y。

.32.216126

..9y=32.2,y=------=------=3—。

94545

因此可得到方程3—X-3——x=1.4o解得x=180。所以正確的乘積應為3.57X180=——

4510045

X180=161X4=644

2

例7海灘上有一堆核桃，第一天猴子吃掉了這堆核桃的二，又將4個扔到大海中；第二天

5

猴子吃掉的核桃數(shù)加上3個就是第一天所剩核桃數(shù)的-。若第二天剩下6個核桃，問海灘上

8

原有多少個核桃？

解：設(shè)海灘上原有核桃x個。

223

第一天，吃掉一X,扔掉4個，剩余x——X—4=（-X—4）個；

555

第二天，吃掉的核桃數(shù)為［±53—3］個，剩余（'3x-4）—［二5（‘3X-4）—3］=［‘3

855858

3

（-X-4）+3］個。

5

已知第二天剩下6個核桃，所以可列出方程'3■1x-4)+3=6

8

解得x=20

檢驗知x=20符合題意，所以海灘上原來共有20個核桃。

例8A、B兩地相距126km,甲每小時行進20km,乙每小時行進16km。甲、乙兩人同時

由A地出發(fā)向B地行進，甲到B后立即返回，問從A出發(fā)后幾小時，乙在去路上恰遇甲在

歸途中？

解法?：這是一個勻速運動的行程問題，

甲時速為20km,乙時速為16km,其行

進過程如右圖所示。甲由A到B后立即

返回，在歸途中與乙在C點相遇，其中

A—B—C表示了甲行進的路程，虛線A—C表示了乙行進的路程。

設(shè)從A出發(fā)后x小時，甲在歸途中與乙在C點相遇。甲x小時共走了20xkm（AB+BC

的路程），乙x小時共走了16xkm（AC的路程），因此，甲、乙二人從A出發(fā)到在C點相

遇共走了（20x+16x）km的路程。

我們發(fā)現(xiàn)，（20x+16x）km的路程恰等于AB+BC+AC=2AB=2X126km。抓住了這個

等量關(guān)系，我們就可以列出方程20x+16x=2X126。

解得x=7,即從A出發(fā)后7小時甲乙二人相遇。

【說明】本例是個行程問題，解行程問題的基本公式是：路程=速度X時間

多數(shù)情況下是在路程或時間上尋求等量關(guān)系。上面的解法是在路程方面尋求等量關(guān)系，

下面我們再從時間方面尋求等量關(guān)系來布列方程。

解法二：設(shè)乙走的路程AC為xkm,則甲由A—B—C的路為（2X126-x）km。乙行進xkm

用了二小時，甲行進（2x126—x）km用了2、126二小時,由于這兩個時間應相等，于

1620

是可列出方程上=2型26H

1620

解得x=112（km）

所以乙從A出發(fā)后——=7(小時)，在去的路上.恰遇甲于歸途中。

16

例9一架飛機飛行在兩個城市之間，風速為每小時24km,順風飛行需2*小時，逆風飛

6

行需3小時，求兩個城市間的距離。

分析：設(shè)兩個城市為A、B,若由A向B是順風飛行，則由B向A是逆風飛行。在勻速飛

行中，

順風飛行的速度=無風時的速度+風速

逆風飛行時的速度=無風時飛行的速度一風速

XY

解法一：設(shè)兩個城市之間的距離為xkm,則順風飛行的速度為1，逆風飛行的速度為一。

253

6

由于飛機在無風時的速度是個定值，即順風飛行的速度一風速=逆風飛行的速度+風速，

XX

所以可列出方程=二—24=—+24

-3

2-

6

解得x=2448(km)

解法二：設(shè)無風時飛機的飛行速度為xkm/h,則飛機順風時的飛行速度為(x+24)km/h,

逆風時的飛行速度為(x-24)km/h。順風飛行2*h與逆風飛行3h的路程應相等(等于

6

AB的距離)，于是可列出方程2?(x+24)=3(x-24)

6

解得x=840(km/h)

繼而求出兩城市之間的距離為3X(840—24)=2448(km)

注：請同學們總結(jié)一下例9兩種列方程的方法各自抓住了什么樣的等量關(guān)系。

例10有含8%的鹽水40kg,要配成含鹽20%的鹽水，需要加鹽多少千克？

分析：這是一道有關(guān)溶液濃度的問題。先要弄清一些基本概念：兩種物質(zhì)的均勻的分子混合

物叫做溶液，被溶解的物質(zhì)(如鹽)叫溶質(zhì)，溶解物質(zhì)的介質(zhì)(比如水)叫做溶劑，在一定

量的溶液中所含溶質(zhì)的量叫做溶液的濃度。以下是基本的關(guān)系式：

溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量，

溶質(zhì)質(zhì)量溶質(zhì)質(zhì)量

溶液濃度=X100%=-----------X100%。

溶液質(zhì)量溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量

解法一:設(shè)需加鹽xkg。

配成的鹽水質(zhì)量為(x+40)kg,其中含鹽(x+40)X20%kg,而40kg8%的鹽水中含鹽40

X8%kg,由溶質(zhì)(鹽)的總量=原溶液中含鹽的量+加入的鹽量，可列出方程

(40+x)X20%=40X8%+x

解得x=6(kg)

解法二：加鹽后溶質(zhì)的量雖然改變了，但溶劑(水)的量未發(fā)生變化，是個不變量，因此設(shè)

需加鹽xkg,可列出方程(40+x)X80%=40X92%

解得x=6(kg)

【說明】用一元一次方程求解溶液濃度問題主要有兩種基本類型：一、在溶液中添加溶

質(zhì)，這時可把新溶液中溶質(zhì)的量等于原溶液中溶質(zhì)的量加上加入的溶質(zhì)的量作為等量關(guān)系；

二、添加溶劑稀釋溶液濃度，溶質(zhì)在稀釋前后保持不變，是個不變量，可作為等量關(guān)系。

一般地，濃度為p%的鹽水Mg要變?yōu)闈舛葹閝%的鹽水Ng,需加入濃度為r%的鹽水多

少克？

抓住“甲溶液中的溶質(zhì)與乙溶液中的溶質(zhì)含量之和等于混合液中溶質(zhì)的含量”這個等量

關(guān)系，設(shè)需加入濃度為r%的鹽水xg,則可列出方程

M-p%+x-r%=N-q%

總之，尋求等量關(guān)系的途徑因題而異，但有一點是共同的，就是在變化的諸未知量中找

不變的量，從運動變化的關(guān)系中找相對穩(wěn)定的相等關(guān)系，這就是尋求等量關(guān)系的關(guān)鍵之所在。

第七章二元一次方程組

《二元一次方程組》知識梳理

方程組是方程內(nèi)容的深化和發(fā)展，二元一次方程組是方程組內(nèi)容的開端。用消元法解二

元一次方程組的方法是解方程組的基本思想方法，本章的內(nèi)容是學習二元二次方程組和其他

方程組、一元二次方程、函數(shù)等必備的基礎(chǔ)知識。一次方程組不但是數(shù)學學科的重要基礎(chǔ)知

識，在實際生活中也有著廣泛的應用。

一、知識梳理

(一)二元一次方程

I.定義：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1的整式方程叫二元一次方程。其一般

形式為ax+by=c(c?b#O)

2.二元?次方程的解：能適合一個二元一次方程的每一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程

的一個解。

3.任何一個二元一次方程都有無數(shù)多個解。

(~)二元一次方程組

1.定義：兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。其一般形式為

2.二元?次方程組的解：使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)

的值。

3.二元一次方程組的解的情況：

n卜

當"。"時，二元一次方程組有惟一一個解；

a2h2

當巴n_=曳h。勺c_時，二元一次方程組無解；

a2b2c2

當n"=曳h=3c_時，二元一次方程組有無數(shù)多個解。

%%C,

(三)二元一次方程組的解法

1.代入消元法：求表示式，代入消元，回代得解。

2.加減消元法：變換系數(shù)，加減消元，回代得解。

解一次方程組可以逐步消元，變多元為一元，轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，從而求出方程組的解，

消亓；

即：二元一次方程組里把一元一次方程

(四)二元一次方程組的解法二元一次方程組

I.當某一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是1,或一個方程的常數(shù)項為。時，宜用代入法來解；

2.在兩個方程中，當同一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成整數(shù)倍時，宜用加減法來解。

(五)應用問題是把實際問題數(shù)學化、典型化，借以培養(yǎng)同學們分析問題和解決問題的能力。

列一次方程組解應用題與列一元一次方程解應用題的基本思想是一致的。一般地，凡是

列二元一次方程組可解的應用題都可以用一元一次方程來解。對于含有多個未知數(shù)的問題，

利用方程組來解，往往比列一元一次方程容易，原因在于通過多個未知數(shù)來尋找等量的數(shù)量

關(guān)系直截了當。在列二元一次方程組時，要根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，假設(shè)兩個未知數(shù)，選擇

兩個不同的等量關(guān)系，由此列出兩個含有這兩個未知數(shù)的等式，建立方程組，然后再求出方

程組的解，從而解決問題。

二、典型例題

例1填空題：

1.在：x+5y-3=O中，用含x的代數(shù)式表示y為y=；用含y的

代數(shù)式表示x為x=_______________。

2.已知［x=l是方程ax—3y=5的一個解，那么a=；如果它也是方程組ymx—3y=l

Ly=2x+ny=5

的一個解，那么m=,n=o

3.若xa-b-2ya+b-2=u是二元一次方程，那么,b=______°

4.已知2x3m+ny7與;x8y2mf是同類項，則m=,n=