新教材選擇性4.1數(shù)列課件（19張）

4.1數(shù)列學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例,了解數(shù)列的有關(guān)概念.2.了解數(shù)列的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).3.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù).

1|數(shù)列的相關(guān)概念1.(1)數(shù)列的概念按照①一定次序

排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫作這個(gè)數(shù)列的

②項(xiàng)

.(2)數(shù)列的表示方法數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,…,an,…,簡記為{an},其中a1稱為數(shù)列{an}的第1

項(xiàng)或首項(xiàng),a2稱為第2項(xiàng)……an稱為第n項(xiàng).類別含義有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)③有限

的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)④無限

的數(shù)列2|數(shù)列的通項(xiàng)公式1.一般地,如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號⑤

n

之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表

示,那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

數(shù)列函數(shù)區(qū)別數(shù)列的定義域是正整數(shù)集函數(shù)的定義域可能是其他數(shù)集數(shù)列的圖象是孤立的點(diǎn)函數(shù)的圖象可能是光滑的曲線聯(lián)系在數(shù)列{an}中,對于每一個(gè)正整數(shù)n(或n∈{1,2,…,k}),都有一個(gè)數(shù)an

與之對應(yīng),因此,數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,

…,k})為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次

取值時(shí),所對應(yīng)的一列函數(shù)值.反過來,對于函數(shù)y=f(x),如果f(i)(i=1,

2,3,…)有意義,那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1),f(2),f(3),…,f(n),…3|數(shù)列的遞推公式一般地,如果已知一個(gè)數(shù)列{an}的⑥第1項(xiàng)

(或前幾項(xiàng)),且任一項(xiàng)an與它的

⑦前一項(xiàng)an-1

(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,那么這個(gè)公式就叫

作這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式也是給定數(shù)列的一種方法.

判斷正誤,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“?”.1.數(shù)列1,2,3,4,…,2n是無窮數(shù)列.

(

?)提示:數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n,不是無窮數(shù)列.2.如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列,那么它一定是遞減數(shù)列.

(

?)提示:數(shù)列1,-1,1,-1既不是遞增數(shù)列,也不是遞減數(shù)列.3.數(shù)列1,3,5,7,…,2n+1,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n+1.(

?)提示:數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=2n-1.4.數(shù)列{an}中,若an+1=2an,n∈N*,則數(shù)列{an}的所有項(xiàng)都能確定.

(

?)提示:數(shù)列{an}中的首項(xiàng)不確定,則其他項(xiàng)也不能確定.5.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1,且滿足an+1=

an+

,則此數(shù)列的第3項(xiàng)是

.

(√)

1|數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推公式的求解及其應(yīng)用

通項(xiàng)公式,只需觀察分析數(shù)列中各項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律,看哪些部分不隨序號的變化而

變化,哪些部分隨序號的變化而變化,確定變化部分隨序號變化的規(guī)律,進(jìn)而將an

表示為n的函數(shù)關(guān)系.首先從下面4個(gè)角度觀察數(shù)列的前幾項(xiàng):(1)各項(xiàng)的符號特征;(2)各項(xiàng)能否拆分;(3)分式的分子、分母的特征;(4)相鄰項(xiàng)的變化規(guī)律.其次尋找各項(xiàng)與對應(yīng)的項(xiàng)的序號之間的規(guī)律,一般方法如下:(1)熟記一些特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式,熟悉它們的變化規(guī)律,并靈活運(yùn)用;(2)將數(shù)列的各項(xiàng)拆分成若干個(gè)常見數(shù)列的“和”“差”“積”“商”,如分式

形式的數(shù)列,可分別求分子、分母的通項(xiàng)公式;(3)當(dāng)一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的符號出現(xiàn)“+”“-”相間時(shí),應(yīng)把符號分離出來,可用(-1)n或

(-1)n+1來實(shí)現(xiàn);(4)當(dāng)數(shù)列的奇偶項(xiàng)分別呈現(xiàn)各自的規(guī)律時(shí),可以考慮用分段的形式給出,也可以

將給出的各項(xiàng)統(tǒng)一化成某種形式.(1)形如an+1-an=f(n)的遞推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈

N*)求出通項(xiàng)公式,這種方法叫累加法;(2)形如

=f(n)(an≠0)的遞推公式,可以利用a1·

·

·…·

=an(n≥2,n∈N*)求出通項(xiàng)公式,這種方法叫累乘法.解析(1)因?yàn)閍n+1=an+

,所以an+1-an=

=

-

,則當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),a2-a1=1-

,a3-a2=

-

,……,an-an-1=

-

,將這(n-1)個(gè)式子左右分別相加可得an-a1=1-

+

-

+…+

-

=1-

,因?yàn)閍1=

,所以an=1-

+

=

-

,當(dāng)n=1時(shí),a1=

-

=

符合該式,所以an=

-

,n∈N*.(2)n=1時(shí),a2=2λa1,而a1=1,a2=4,所以λ=2,故A選項(xiàng)正確;易知{an}的各項(xiàng)均不為0,由nan+1=2(n+1)an,可得

=

,所以an=a1·

·

·…·

=1×

×

×…×

=n·2n-1,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤,C選項(xiàng)正確;假設(shè)存在正整數(shù)p,q,r(p≥2,q<r)使得等式

+

=

+

成立,則

+

=

+

,化簡,得4p-2r=2q+2,令2q+2=4,解得q=1,取p=2,r=2,則4p-2r=4成立,故D選項(xiàng)正確.故選ACD.答案

(1)

-

,n∈N*(2)ACD

寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(1)1,-

,

,-

;(2)

,2,

,8;(3)7,77,777,7777;(4)-

,

,-

,

.思路點(diǎn)撥分析式子的結(jié)構(gòu)特征,找出規(guī)律,進(jìn)而得到數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.解析

(1)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對值的分母就是序號,并且奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為

負(fù),所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

,n∈N*.(2)數(shù)列中的項(xiàng),有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可先將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù):

,

,

,

,…,觀察發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)的分母均為2,分子為序號的平方,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

,n∈N*.(3)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以化為

×9,

×99,

×999,

×9999,即

×(10-1),

×(102-1),

×(103-1),

×(104-1),所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

×(10n-1),n∈N*.(4)將這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母因數(shù)分解得,-

,

,-

,

,其分母都是序號乘比序號大1的數(shù),并且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

,n∈N*.2|利用數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系解決相關(guān)問題

數(shù)列是一種特殊的函數(shù),可以通過研究函數(shù)的性質(zhì)來研究數(shù)列的性質(zhì).(1)數(shù)列的單調(diào)性通常是通過比較數(shù)列{an}中任意相鄰兩項(xiàng)an和an+1的大小來判斷

的,常用方法是定義法、圖象法和函數(shù)法.

系:數(shù)列{an}遞增?an+1>an(n∈N*);數(shù)列{an}遞減?an+1<an(n∈N*);數(shù)列{an}為常數(shù)列?an+1=an(n∈N*).2.求數(shù)列{an}的最大(小)項(xiàng)的常用方法(1)當(dāng)

(n≥2,n∈N*)時(shí),an是數(shù)列中的最大項(xiàng);當(dāng)

(n≥2,n∈N*)時(shí),an是數(shù)列中的最小項(xiàng).(2)利用函數(shù)的單調(diào)性求最大(小)項(xiàng).數(shù)列的周期性可由函數(shù)的周期性得到.首先歸納出數(shù)列的周期,再利用其周期性

求值.

(1)(2020浙江麗水高二期末)已知數(shù)列{an}滿足a1=a(a∈R),an+1=

+2an-2(n∈N*),則下列說法中錯(cuò)誤的是

()a>1,則數(shù)列{an}為遞增數(shù)列B.若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,則a>1a,使數(shù)列{an}為常數(shù)列a,使|an+1|≤2恒成立(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

(n∈N*),這個(gè)數(shù)列是否存在最大項(xiàng)?若存在,請求出其最大項(xiàng);若不存在,請說明理由.思路點(diǎn)撥(1)可通過比較數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)an+1和an的大小來判斷其單調(diào)性.(2)首先用作商法判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性,再求其最大項(xiàng).解析(1)對于A選項(xiàng),若a>1,則an+1>0,且an+1-an=

+an-2=

-

>

-

=0,∴an+1>an,即數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,故A中說法正確;對于B選項(xiàng),若數(shù)列{an}為遞增

數(shù)列,則an+1-an=

+an-2=

-

>0,∴an+

<-

或an+

>

,即an<-2或an>1,∴a<-2或a>1,故B中說法錯(cuò)誤;對于C選項(xiàng),要使數(shù)列{an}為常數(shù)列,則an+1-an=

+an-2=(an-1)(an+2)=0,∴an=1或an=-2,即存在實(shí)數(shù)a=1或a=-2,使數(shù)列{an}為常數(shù)列,故C中說法

正確;對于D選項(xiàng),由C選項(xiàng)中分析可知,當(dāng)a=1時(shí),數(shù)列{an}為常數(shù)列,此時(shí)|an+1|=|1+

1|=2,則存在實(shí)數(shù)a=1,使|an+1|≤2恒成立,故D中說法