浙江師范大學(xué)數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告

PAGEPAGE2數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)名稱常微分方程初值問題的數(shù)值解法實(shí)驗(yàn)時間2008年姓名馬步青班級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)053學(xué)號成績一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模瑑?nèi)容1．理解常微分方程初值問題數(shù)值解的概念2．掌握幾種簡單的數(shù)值解法，包括Euler方法、R-K方法、線性多步法二、相關(guān)背景知識介紹用“=”代替“”，得到：

三．代碼Eulerx=0;n=0;y=1;h=0.1;x_(1)=x;y_(1)=y;y_exact(1)=exp(-x_(n+1)^2);error_(n+1)=abs(y_exact(1)-y);fprintf('x_(i)y_(i)y_exact(i)error_(i)\n')fprintf('%2.1f%8.4f%8.4f%8.4f\n',x_(1),y_(1),y_exact(1),error_(1))whilex<=1.8n=n+1;y=y+h*((-2)*x*y);x=x+h;y_(n+1)=y;x_(n+1)=x;y_exact(n+1)=exp(-x_(n+1)^2);error_(n+1)=abs(y_exact(n+1)-y);fprintf('%2.1f%8.4f%8.4f%8.4f\n',x_(n+1),y_(n+1),y_exact(n+1),error_(n+1))endplot(x_,y_,'o',x_,y_exact,'b*')改進(jìn)的Eulery=1;h=0.1;n=0;y_adv(1)=y;x_adv(1)=0;x=0;fprintf('x[%2.0f]=%10.6fy[%2.0f]=%10.6f\n',n,x_adv(1),n,y_adv(1))whilex<=1.8n=n+1;k1=h*(-2)*x*y;x=n*h;k2=h*(-2)*x*(y+k1);y=y+0.5*(k1+k2);y_adv(n+1)=y;x_adv(n+1)=x;fprintf('x[%2.0f]=%10.6fy[%2.0f]=%10.6f\n',n,x_adv(n+1),n,y_adv(n+1))endplot(x_adv,y_adv,'r')R-Kx=0;y0=1;h=0.1;;n=0;x_rk(1)=0;y_rk(1)=y0;fprintf('x[%2.0f]=%10.6fy[%2.0f]=%10.6f\n',n,x_rk(1),n,y_rk(1))x=0;y=y0;whilex<=1.8n=n+1;k1=(-2)*x*y;k2=(-2)*(x+h/2)*(y+h*k1/2);k3=(-2)*(x+h/2)*(y+h*k2/2);k4=(-2)*(x+h)*(y+h*k3);y=y+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;x=n*h;y_rk(n+1)=y;x_rk(n+1)=x;fprintf('x[%2.0f]=%10.6fy[%2.0f]=%10.6f\n',n,x_rk(n+1),n,y_rk(n+1))endplot(x_rk,y_rk)四.數(shù)值結(jié)果Eulerx_(i)y_(i)y_exact(i)error_(i)0.11.00000.99000.01000.20.98000.96080.01920.30.94080.91390.02690.40.88440.85210.03220.50.81360.77880.03480.60.73220.69770.03460.70.64440.61260.03170.80.55420.52730.02690.90.46550.44490.02061.00.38170.36790.01381.10.30540.29820.00721.20.23820.23690.00131.30.18100.18450.00351.40.13400.14090.00691.50.09640.10540.00901.60.06750.07730.00981.70.04590.05560.00971.80.03030.03920.0089改進(jìn)的Eulerx[0]=0.000000y[0]=1.000000x[1]=0.100000y[1]=0.990000x[2]=0.200000y[2]=0.960696x[3]=0.300000y[3]=0.913814x[4]=0.400000y[4]=0.852040x[5]=0.500000y[5]=0.778765x[6]=0.600000y[6]=0.697773x[7]=0.700000y[7]=0.612924x[8]=0.800000y[8]=0.527850x[9]=0.900000y[9]=0.445717x[10]=1.000000y[10]=0.369053x[11]=1.100000y[11]=0.299671x[12]=1.200000y[12]=0.238658x[13]=1.300000y[13]=0.186440x[14]=1.400000y[14]=0.142887x[15]=1.500000y[15]=0.107451x[16]=1.600000y[16]=0.079299x[17]=1.700000y[17]=0.057444x[18]=1.800000y[18]=0.040854x[19]=1.900000y[19]=0.028533R-Kx[0]=0.000000y[0]=1.000000x[1]=0.100000y[1]=0.990050x[2]=0.200000y[2]=0.960789x[3]=0.300000y[3]=0.913931x[4]=0.400000y[4]=0.852144x[5]=0.500000y[5]=0.778801x[6]=0.600000y[6]=0.697676x[7]=0.700000y[7]=0.612627x[8]=0.800000y[8]=0.527293x[9]=0.900000y[9]=0.444859x[10]=1.000000y[10]=0.367881x[11]=1.100000y[11]=0.298200x[12]=1.200000y[12]=0.236931x[13]=1.300000y[13]=0.184524x[14]=1.400000y[14]=0.140864x[15]=1.500000y[15]=0.105406x[16]=1.600000y[16]=0.077312x[17]=1.700000y[17]=0.055584x[18]=1.800000y[18]=0.039171x[19]=1.900000y[19]=0.027059五．計(jì)算結(jié)果的分析在三種對常微分方程的數(shù)值解法單步法的求解過程中，能清晰的比較出三種方法的精度大小，Euler法的代數(shù)精確度為一階，改進(jìn)的Euler法具有二階精度，而經(jīng)典的R-K法具有四階精度，所以在Matlab的圖像中能清楚地表現(xiàn)出來。六.計(jì)算中出現(xiàn)的問題，解決方法及體會最開始的設(shè)想是做最小二乘法的數(shù)值問題，但是之所以最后選擇常微分?jǐn)?shù)值解法的課題，是因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在并沒有對常微分方程進(jìn)行系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)，希望借此實(shí)習(xí)的機(jī)會能對此進(jìn)行一個透徹的認(rèn)識。在編寫Matlab的過程中我遇到了很多問題，開始以為Matlab的編程語言比C簡潔很多，以為很快能上手，但是在實(shí)際操作的過程中發(fā)現(xiàn)兩者還是有很多的不同，比如在函數(shù)的調(diào)用方面，和某些語句的形式方面還是有很大的差異，通過前期對C語言的學(xué)習(xí)，近期對有關(guān)知識的理論學(xué)習(xí)及自學(xué)Matlab的編程語言，總算在deadline之前完成了這份報(bào)告。雖然選擇的課題不是最新穎，也不是最難的，但是通過這次實(shí)習(xí)，能督促我在課余時間學(xué)習(xí)使用Matlab這個數(shù)值方面比較無敵的軟件，也算是收獲之一。這篇論文從開始策劃到最終完成，共花了兩個多星期的時間，從最開始的擔(dān)心無法完成課題的研究，到后來的查資料，編程，到最后的完成論文，我體會到了其間的種種苦樂，當(dāng)最終論文完成時，我得到的不僅僅是一篇論文，還有其間投入研究時的很多感受，和一種發(fā)自內(nèi)心的滿足感和自豪感，也許有很多地方略顯粗糙，但這畢竟是我努力的結(jié)果，我對于這樣的結(jié)果是滿意的，已經(jīng)沒有遺憾了。最后要感謝老師對我得關(guān)心與信任，希望我辛苦的結(jié)果不會令老師失望。教師評語指導(dǎo)教師：年月日

武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)值分析原始書記記錄實(shí)驗(yàn)名稱：常微分方程的數(shù)值解法（初值問題的單步法）實(shí)驗(yàn)時間：2006年12月20日姓名：智慧學(xué)號：200531000196班級：數(shù)學(xué)類3班Eulerx_(i)y_(i)y_exact(i)error_(i)0.11.00000.99000.01000.20.98000.96080.01920.30.94080.91390.02690.40.88440.85210.03220.50.81360.77880.03480.60.73220.69770.03460.70.64440.61260.03170.80.55420.52730.02690.90.46550.44490.02061.00.38170.36790.01381.10.30540.29820.00721.20.23820.23690.00131.30.18100.18450.00351.40.13400.14090.00691.50.09640.10540.00901.60.06750.07730.00981.70.04590.05560.00971.80.03030.03920.0089改進(jìn)的Eulerx[0]=0.000000y[0]=1.000000x[1]=0.100000y[1]=0.990000x[2]=0.200000y[2]=0.960696x[3]=0.300000y[3]=0.913814x[4]=0.400000y[4]=0.852040x[5]=0.500000y[5]=0.778765x[6]=0.600000y[6]=0.697773x[7]=0.700000y[7]=0.612924x[8]=0.800000y[8]=0.527850x[9]=0.900000y[9]=0.445717x[10]=1.000000y[10]=0.369053x[11]=1.100000y[11]=0.299671x[12]=1.200000y[12]=0.238658x[13]=1.300000y[13]=0.186440x[14]=1.400000y[14]=0.142887x[15]=1.500000y[15]=0.107451x[16]=1.600000y[16]=0.079299x[17]=1.700000y[17]=0.057444x[18]=1.800000y[18]=0.040854x[19]=1.900000y[19]=0.028533R-Kx[0]=0.000000y[0]=1.000000x[1]=0.100000y[1]=0.990050x[2]=0.200000y[2]=0.960789x[3]=0.300000y[3]=0.913931x