初中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題26

26.1反比例函數(shù)

一.選擇題(共8小題)

1.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=k和y=kx+k的大致圖象是()

【分析】根據(jù)k的取值范圍，分別討論k>0和k<0時(shí)的情況，然后根據(jù)一次函

數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)進(jìn)行選擇正確答案.

【解答】解：①當(dāng)k>0時(shí)，

一次函數(shù)y=kx-k經(jīng)過一、二、三象限，

反比例函數(shù)的y=k(kWO)的圖象經(jīng)過一、三象限，

X

故D選項(xiàng)的圖象符合要求；

②當(dāng)kVO時(shí)，

一次函數(shù)丫=1?-k經(jīng)過二、三、四象限，

反比例函數(shù)的y=k(kWO)的圖象經(jīng)過二、四象限，

X

沒有符合該條件的選項(xiàng).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查反比例函數(shù)的圖象問題；用到的知識(shí)點(diǎn)為：反比例函數(shù)與一次

函數(shù)的k值相同，則兩個(gè)函數(shù)圖象必有交點(diǎn)；一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)與一次

函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)相關(guān).

2.若二次函數(shù)y=-x2+x+c的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則二次函數(shù)y=-x2+x+c的圖

象與反比例函數(shù)y=￡的圖象的交點(diǎn)在()

x

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】若二次函數(shù)y=-x2+x+c的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則一元二次方程-

x2+x+c=0的判別式小于0,從而求得c的取值范圍，即可得到二次函數(shù)y=-

x2+x+c的圖象與反比例函數(shù)y=q的圖象的交點(diǎn)位置.

X

【解答】解：?.?二次函數(shù)y=-x2+x+c的圖象與X軸沒有交點(diǎn)，

...令y=0時(shí)，-x2+x+c=0的判別式△<(),

即b2-4ac=l+4c<0,

解得c<-L

4

二反比例函數(shù)y=￡的圖象分別在第二，四象限，

X

又?.?二次函數(shù)y=-x2+x+c的圖象經(jīng)過第三，四象限，

...二次函數(shù)y=-x2+x+c的圖象與反比例函數(shù)y=￡的圖象的交點(diǎn)在第四象限，

X

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與X軸的交點(diǎn)問題，當(dāng)拋物線丫=2*2+6*+。與軸有兩個(gè)

交點(diǎn)時(shí)，△>()；當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c與軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△=()；當(dāng)拋物線

y=ax?+bx+c與軸無交點(diǎn)時(shí)，△V0.

3.已知反比例函數(shù)y=-絲，利用圖象可知當(dāng)yW4時(shí)自變量x的取值范圍是

x

()

A.x<-3B.x2-3C.*<-3或*>0口.x?3或x<0

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式中的系數(shù)推知函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限，結(jié)合函數(shù)圖

象求得當(dāng)yW4時(shí)自變量x的取值范圍.

【解答】解：?.?反比例函數(shù)y=-」2的大致圖象如圖所示，

當(dāng)yW4時(shí)自變量x的取值范圍是xW-3或x>0.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)，要注意自變量x的取值范圍有兩部

分組成.

4.如圖所示，反比例函數(shù)y=k(kWO,x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC的對(duì)角線

AC的中點(diǎn)D.若矩形OABC的面積為8,則k的值為()

B.2aC.1D.2疾

【分析】過D作DE_LOA于E,設(shè)D(a,X),于是得到OA=2a,OC=&,根據(jù)

矩形的面積列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，過D作DE_LOA于E,

設(shè)D(a,—

a

/.OE=a.DE=K,

?點(diǎn)D是矩形OABC的對(duì)角線AC的中點(diǎn),

/.0A=2a,OC=A,

a

???矩形OABC的面積為8,

.??OA?OC=2a?&=8,

a

/.k=2,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的面

積列出方程是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在第二象限和第一象限，AB與x

函數(shù)y=2L(x<0)和y="(x>0)的

軸平行，ZAOB=90°,0A=3,0B=4,

XX

D-槌

【分析】先判定△AOHS^OBH,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到

CIk1IL.

也也1=（蛇）2,即^-----=J_,進(jìn)而得出上

2ABOHOB1-||k216

【解答】解：???AB與x軸平行，

，AB，y軸，即NAHO=NOHB=90。，

VZAOB=90°,

ZAOH+ZBOH=ZAOH+ZOAH=90°,

/.ZOAH=ZBOH,

.,.△AOH^AOBH,

q"o'IkiI

??.也迎gp2_l_=_9_,

S16

AB0HOBy|k2|

又?.?匕＜0,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意

義，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到也邈=(旭?)2是解題的關(guān)鍵.

^ABOH°B

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(0,4)、(4,0),點(diǎn)C

在第一象限內(nèi)，ZBAC=90°,AB=2AC,函數(shù)y=k(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,將

X

△ABC沿x軸的正方向向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，使點(diǎn)A恰好落在函數(shù)y=K(x

X

>0)的圖象上，則m的值為()

A.2A/2B-fC.3

【分析】作CH_Ly軸于H.由相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而求出k的值,

依據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可解決問題；

【解答】解：如圖，作CHj_y軸于H.

VA(0,4)、B(4,0),

/.OA=OB=4,

VZABO+ZOAB=90°,ZOAB+ZCAH=90°,

ZABO=ZCAH,

又ZAOB=ZAHC=90°,

/.△ABO^ACAH,

?0A_0B_AB_7

CHHACA

，CH=AH=2,

AC(2,6),

?.?點(diǎn)C在y=K的圖象上,

x

,k=2X6=12,

???vy,-1--2--,

x

當(dāng)y=4時(shí),x=3,

?.?將4ABC沿x軸的正方向向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，使點(diǎn)A恰好落在函數(shù)y=K(x

X

>0)的圖象上，

m=3,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，相似三角形的判定和性質(zhì)、平

移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問

題.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，53ABC的對(duì)角線0B在y軸正半軸上，點(diǎn)A,C

分別在函數(shù)y=2L(x>0),丫=乜(x<0)的圖象上，分別過點(diǎn)A,C作AD_L

XX

x軸于點(diǎn)D,CE_Lx軸于點(diǎn)E,若kil：|k2|=9：4,則AD：CE的值為()

A.2：3B.3：2C.4：9D.9：4

【分析】依據(jù)SMOB=SMOB，可得EO=DO,依據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，

可得S,、AOD=Lki,SAcoE=l|k2|,依據(jù)ki|：|k2|=9：4,即可得至UAD：CE的

22

值.

【解答】解：..FOABC的對(duì)角線OB在y軸正半軸上，

??SAAOB=SACOB,

又〈AD^x軸于點(diǎn)D,CE_Lx軸于點(diǎn)E,

???CE〃BO〃AD,

/.EO=DO,

???點(diǎn)A,C分別在函數(shù)y=&_(x>0),丫=空(x<0)的圖象上，

XX

??SAAOD=—kiI,SACOE=—I卜2,

22

SeIkKI7-ADXOD

.-.^AOD=.jlgp2------------0

SAC0Elk2?-1<EX0E4

???AD,一9,

CE4

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角

形面積的計(jì)算；熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵.

8.點(diǎn)A（xi，yi）,B（X2，y2）,C（x3,73）在反比例函數(shù)yJ■的圖象上，若xi

x

<x2<O<x3,則yi，y2,丫3的大小關(guān)系是（）

A.yi<y2<y3B.y2<y3<yiC.y3<y2<yiD.y2<yi<y3

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)X1VX2

V0VX3,判斷出三點(diǎn)所在的象限，再根據(jù)函數(shù)的增減性即可得出結(jié)論.

【解答】解：?反比例函數(shù)y=L中,k=l>0,

X

，此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支在一、三象限，

VX1<X2<0<X3J

???A、B在第三象限，點(diǎn)C在第一象限，

Ayi<0,y2V0，y3>0,

?.?在第三象限y隨x的增大而減小，

?*.yi>y2?

:.y2<yi<y3.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，先根據(jù)題意判斷出函數(shù)

圖象所在的象限及三點(diǎn)所在的象限是解答此題的關(guān)鍵.

二.填空題（共3小題）

9.如圖，直線y=?x-8交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C是反比例函數(shù)y=K（x〉0）

X

的圖象上位于直線AB上方的一點(diǎn)，CD〃/x軸交AB于點(diǎn)D,CE_LCD交AB于

點(diǎn)E,若AD?BE=4,則k的值為-神.

【分析】過D作DFLAO于F,過EGLOB于G,貝UDF〃OB,GE〃AO,設(shè)C(x,

y),則GE=x,DF=-y,由△ADFS/\AB0,可得AD=-_|^y,由ABEGs4

BAO,可得BE=2x,再根據(jù)AD?BE=4,即可得到k=xy=^.

【解答】解：如圖，過D作DFJ_A。于F,過EGLOB于G,則DF〃OB,GE〃AO,

由直線y=@-8,可得A（&反，0），B（0,-8),

/.A0=-1^,B0=8,AB=

o

設(shè)C(x,y),則GE=x,DF=-y,

由△ADFS4ABO,可得AD=DF,

ABBO

由△BEGs△BAO,可得BE=GE,

BA-OA

；.BE=2x,

：AD?BE=4,

X2x=4,

xy=-V3,

，k=xy=-

故答案為：-V3-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)

造相似三角形，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出AD、BE.

10.如圖，等邊AOBA和等邊AAFE的一邊都在x軸上，雙曲線y=K(k>o)經(jīng)

x

過0B的中點(diǎn)C和AE的中點(diǎn)D,已知0B=16,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(16亞-16,

0).

【分析】過點(diǎn)C作CG1OA于點(diǎn)G,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OG、CG的長(zhǎng)度,

從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；過點(diǎn)D作DH

LAF于點(diǎn)H,設(shè)AH=a,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出DH的長(zhǎng)度，然后表示

出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，解方程得到a的值,

從而得解.

【解答】解：過點(diǎn)C作CG_LOA于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DH_LAF于點(diǎn)H,

???點(diǎn)C是等邊AOAB的邊0B的中點(diǎn)，

/.0C=8,ZAOB=60°,

0G=4,CG=OG?tan60°=4'/3>

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4,4加），

k=4X4?=16?,

,該雙曲線所表示的函數(shù)解析式為丫=竺近,

X

設(shè)AH=a,則DH=J^a.

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（16+a,后）,

?.?點(diǎn)D是雙曲線y=至返上的點(diǎn)，

X

，小義（16+a）=16?,

即：a2+16a-16=0,

解得：ai=-8+4泥，a2=-8-4-\/5（舍去），

；.AD=2AH=-16+8旄，

，AF=2AD=-32+16或,

.*.OF=AO+AF=16-32+16旄=16泥-16,

即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（16遙-16,0）.

故答案為：（16\日-16,0）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例

函數(shù)解析式，等邊三角形的性質(zhì)，解一元二次方程的綜合運(yùn)用，作出輔助線,

表示出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

11.一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=2?的圖象交于點(diǎn)A（-1,m）,B

X

（n,-1）兩點(diǎn)，則使kx+b＞心的x的取值范圍是xV-l或0VxV2.

X

【分析】坐標(biāo)為（-1,m）和（n,-1）的兩點(diǎn)在雙曲線上，聯(lián)立并解可得m、

n的值；設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b,代入數(shù)據(jù)，解可得一次函數(shù)的解析

式；畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象，可得答案.

【解答】解：把A(-l,m),B(n,-1)分別代入y=W,

x

得-m=-2,-n=-2,

解得m=2,n=2,

所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,

把A(-1,2),B(2,-1)代入y=kx+b得

(-k+b=2,

12k+b=-l'

解得

所以這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+1,

x的取值范圍是x<-1或0<x<2.

x

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)

圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式.注意結(jié)合題意，結(jié)合圖象選用合適的方

法解題.

三.解答題(共5小題)

12.如圖，在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)丫k且與函數(shù)y2=x的圖象交于點(diǎn)A、B.

X

(1)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(2,2)、(-2,-2)；

(2)在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)丫3=-9的圖象；

X

(3)垂直于y軸的直線I與函數(shù)皿、丫2、丫3的圖象分別交于點(diǎn)P(xi，yi)、Q(x2,

丫2）、N（X3,丫3），若XlVx2VX3，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出X1+X2+X3的取值

范圍.

【分析】本題根據(jù)圖象解答，在（3）中，函數(shù)yi、y3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則

X1+X2+X3的取值范圍即為X2的取值范圍.

【解答】解：（1）由圖象得到點(diǎn)A、B坐標(biāo)

故答案為：（2,2）、（-2,-2）

（2）圖象如圖

（3）由圖象可知，若XlVx2VX3，

垂直于y軸的直線I在X軸與直線y=-2之間

???函數(shù)yi=2與函數(shù)y3=-2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

XX

X1+X3=O

由圖象-2Vx2Vo

:.-2<Xi+X2+X3<0

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象，解答過程中要注意數(shù)形結(jié)合.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,6）,AB_Lx軸于點(diǎn)B,cos

Z0AB-1,反比例函數(shù)y=K的圖象的一支分別交AO、AB于點(diǎn)C、D.延長(zhǎng)

5x

A0交反比例函數(shù)的圖象的另一支于點(diǎn)E.已知點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為W.

2

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求直線EB的解析式；

（3）求SAOEB.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可求得直線0A的解析式，聯(lián)立直線0A和反比例函數(shù)解析

式列方程組可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求BE的解析式；

（3）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：（1）〈A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,6）,AB_Lx軸，

，AB=6,

VcosZOAB=—=—,

5OA

???6―3,

0A~5

/.OA=10,

由勾股定理得：0B=8,

AA（8,6）,

AD（8,2）,

2

?.?點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，

k=8xW=12,

2

二反比例函數(shù)的解析式為：y=理；

X

(2)設(shè)直線0A的解析式為：y=bx,

VA(8,6),

8b=6,b=—,

4

直線0A的解析式為：y=」x,

4

則絲①

x4

x=±4,

二.E(-4,-3),

設(shè)直線BE的解式為：y=mx+n,

把B(8,0),E(-4,-3)代入得：戶..，

[-4in+n=-3

解得：嶗，

n=-2

二直線BE的解式為:y=lx-2；

4

(3)SAOEB=^-OB?yEI=1X8X3=12.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，用待定系數(shù)法求反比例

函數(shù)的解析式及計(jì)算圖形面積的問題.解題的關(guān)鍵是：確定交點(diǎn)的坐標(biāo).

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=K(x>0)的圖象G經(jīng)過點(diǎn)A(4,1),

X

直線I：y=Lx+b與圖象G交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C.

4

(1)求k的值；

(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).記圖象G在點(diǎn)A,B之間的部分與線

段OA,OC,BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為w.

①當(dāng)b=-l時(shí)，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求b的取值范圍.

【分析】（1）把A（4,1）代入y=k中可得k的值；

X

（2）直線0A的解析式為：y=lx,可知直線I與0A平行，

4

①將b=-l時(shí)代入可得：直線解析式為y=Lx-l,畫圖可得整點(diǎn)的個(gè)數(shù);

4

②分兩種情況：直線I在0A的下方和上方，

畫圖計(jì)算邊界時(shí)點(diǎn)b的值，可得b的取值.

【解答】解：（1）把A（4,1）代入y=k得k=4Xl=4；

X

（2）①當(dāng)b=-1時(shí)，直線解析式為y=lx-1,

4

解方程9」x-1得Xi=2-2遍（舍去），X2=2+2庭，則B（2+2娓，

x42

而C（0,-1）,

如圖1所示，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有（1,0）,（2,0）,（3,0）,有3個(gè)；

②如圖2,直線I在OA的下方時(shí)，當(dāng)直線I：y=1x+b過（1，T）時(shí)，b=-互,

44

且經(jīng)過（5,0）,

區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是一旦WbV-1.

4

如圖3,直線I在OA的上方時(shí)，

?.?點(diǎn)（2,2）在函數(shù)y=k（x>0）的圖象G,

X

當(dāng)直線I：y=±x+b過（1，2）時(shí)，b=工，

44

當(dāng)直線I：y=Lx+b過（1，3）時(shí)，b=Ak,

44

區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是工VbWlL

44

綜上所述，區(qū)域W內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是-"WbV-1或工VbWlk

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【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義和反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)

與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，本題理解整

點(diǎn)的定義是關(guān)鍵，并利用數(shù)形結(jié)合的思想.

15.已知反比例函數(shù)y=K的圖象過點(diǎn)A(1,3).

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)若一次函數(shù)y=mx+6(mWO)的圖象與反比例函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

求m的值.

【分析】(1)把A(1,3)代入反比例函數(shù)y=k即可得到結(jié)論；

X

(2)利用函數(shù)解析式，可得mx2+6x-3=0,根據(jù)題意得到△=36+12m=0,解方程

即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)?.?反比例函數(shù)y=k的圖象過點(diǎn)A(3,1),

X

k=3,

...反比