初中八年級(jí)數(shù)學(xué)課件-菱形 全國(guó)公開課一等獎(jiǎng)

第十八章平行四邊形18.2.2菱形（2）菱形的判定

復(fù)習(xí)與回顧：想一想：1.菱形、矩形的定義？2.它們分別比平行四邊形多了哪些性質(zhì)？3.怎樣判定一個(gè)四邊形是矩形？

矩形與菱形

矩形

菱形定義有一角是直角的平行四邊形叫做矩形.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.平行四邊形的性質(zhì)性質(zhì)邊角對(duì)角線四個(gè)角都是直角相等互相垂直且平分每一組對(duì)角判定有一角是直角的平行四邊形對(duì)角線相等的平行四邊形三個(gè)角都是直角的四邊形四條邊都相等想一想

同學(xué)們想一想，我們?cè)趯W(xué)習(xí)平行四邊形的判定和矩形的判定時(shí)，我們首先想到的第一種方法是什么？那么類比著它們，菱形的第一種判定方法是什么？一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.根據(jù)定義得：ABCD還有什么方法嗎?探究一

用一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木條,在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘,做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個(gè)四邊形.轉(zhuǎn)動(dòng)木條,這個(gè)四邊形什么時(shí)候變成菱形?猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.ABCD已知：在中，AC⊥BDABCDABCD求證：是菱形證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC又∵

AC⊥BD;∴BA=BC∴ABCD是菱形O如圖，ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=5，AC=8，DB=6求證:四邊形ABCD是菱形.ABCDO∴四邊形ABCD是菱形.∴OA=OC=4OB=OD=3證明:∵AB=5∴∴AC⊥BD∴∠AOB=∵四邊形ABCD是平行四邊形（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形應(yīng)用新知(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形).先畫兩條等長(zhǎng)的線段AB、AD，然后分別以B、D為圓心，AB為半徑畫弧，得到兩弧的交點(diǎn)C，連接BC、CD，就得到了一個(gè)四邊形，猜一猜，這是什么四邊形？你根據(jù)什么方法能判定是菱形嗎？有四條邊相等的四邊形是菱形。ABCDO∵在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA∴四邊形ABCD是菱形.探究判定定理3：四條邊都相等的四邊形是菱形已知：AB=BC=CD=DA求證：四邊形ABCD是菱形ABCD∵AB=CD,BC=AD∴四邊形ABCD是平行四邊形∵AB=CD∴四邊形ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定法一四邊相等的四邊形是菱形判定法二對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定法三一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形菱形的判定：ABCD∵AB=BC=CD=DA∴四邊形ABCD是菱形∵□ABCDAC⊥BD∴四邊形ABCD是菱形∵□ABCDAB=AD∴四邊形ABCD是菱形ABCDOABCD歸納菱形常用的判定方法：1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.有四條邊相等的四邊形是菱形.拓展由菱形的性質(zhì)：“每條對(duì)角線平分一組對(duì)角”，我們還可以得到判定菱形的方法：每條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形．對(duì)此感興趣的同學(xué)，可以試著用邏輯推理的方法進(jìn)行證明．小結(jié)：菱形的證明方法判定定理1：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定定理3：四條邊都相等的四邊形是菱形判定定理4：每條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形

1.判斷下列說法是否正確？為什么？(1)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；(2)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形；(3)對(duì)角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形；(4)兩條鄰邊相等，且一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形．√

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做一做2.□ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，

（1）若AB=AD，則□ABCD是

形；

（2）若AC=BD，則□ABCD是

形；

（3）若∠ABC是直角，則□ABCD是

形；

（4）若∠BAO=∠DAO，則□ABCD是

形。ABCDO菱矩矩菱做一做3.下列命題中正確的是（）A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形B.三條邊相等的四邊形是菱形C.四條邊相等的四邊形是菱形D.四個(gè)角相等的四邊形是菱形C4.對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是（）A.矩形B.一般的平行四邊形C.菱形D.以上都不對(duì)C5.下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A.AC⊥BD,AC與BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BDD.AB=CD,AD=BC,AC⊥BDC做一做請(qǐng)你動(dòng)腦筋把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，你能判斷重疊部分ABCD的形狀嗎？ACDB思考:DCBA一組鄰邊相等對(duì)角線互相垂直四條邊相等五種判定方法四邊形平行四邊形菱形菱形的判定方法：小結(jié)：兩組對(duì)邊分別平行平行四邊形矩形有一個(gè)角是直角菱形有一組鄰邊相等例:在矩形ABCD中,對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD,BC分別交于點(diǎn)E,F.求證:四邊形AFCE是菱形.ABF12CDOE證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AE//FC(矩形的定義)∴∠1=∠2又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,∴△AOE≌△COF,∴EO=FO.∴四邊形是平行四邊形(對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形).∴四邊形AFCE是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形).探究活動(dòng):DF,EF是△ABC的兩條中位線,我們探究的問題是:這兩條中位線和三角形的兩條邊所圍成的四邊形的形狀與原三角形的形狀有什么關(guān)系.按下列步驟探索:(1)圍成的四邊形是否必定是平行四邊形?(2)在什么條件下,圍成的四邊形是菱形?(3)在什么條件下,圍成的四邊形是矩形?(4)你還能發(fā)現(xiàn)其他什么結(jié)論嗎?ABCDFE（1）由題意知，DF∥BC，F(xiàn)E∥AB，所以四邊形BEFD是平行四邊形.（2）當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形BEFD是菱形.（3）當(dāng)AB⊥BC（或∠B=900）時(shí)，四邊形BEFD是矩形.1.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點(diǎn)E,DF∥AB交AC于點(diǎn)F.試問四邊形AEDF是菱形嗎？說明你的理由。ABCDEF123四邊形AEDF是菱形理由：∵DE∥ACDF∥AB∴四邊形AEDF是平行四邊形

∵DE∥AC∴∠2=∠3∵AD是△ABC的角平分線

∴∠1=∠2∴AE=DE∴□AEDF是菱形習(xí)題鞏固已知如圖，AD是的角平分線，DE∥AC，DF∥AB.

證明：四邊形AEDF是菱形。

對(duì)于這道，小林是這樣證明的。

證明：∵AD平分，∴∠1＝∠2,∵DE∥AC，∴∠2＝∠3∵DF∥AB，∴∠1＝∠4又有AD=AD,∴△AED≌△AFD.∴AE＝AF,DE=DF.∴四邊形AEDF是菱形.

老師說小林的解題過程有錯(cuò)誤，你能看出來(lái)嗎？

⑴請(qǐng)你幫小林指出他的錯(cuò)誤是什么？（先在解答過程中劃出來(lái)，再說明他錯(cuò)誤的原因）

⑵請(qǐng)你幫小林做出正確的解答。2．如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，DG⊥AB于G，EK⊥AB于K，GH⊥AC于H，EK和GH相交于點(diǎn)F．求證：四邊形DEFG是菱形．證明：∵DE⊥AC于E，GH⊥AC于H∴DE∥GH∵DG⊥AB于G,EK⊥AB于K∴DG∥EK∴四邊形DEFG是平行四邊形∵AB＝AC∴∠B=∠C∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴BD=CD∵DG⊥AB于G,DE⊥AC于E∴∠BGD=∠CED=90度在⊿BGD和⊿CED中，∵∠BGD=∠CED，∠B=∠C，BD=CD∴⊿BGD≌⊿CED(AAS)∴DG=DE∴四邊形DEFG是菱形(有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）ABCDOE3.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD.求證：四邊形OCED是菱形證明：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四邊形OCED是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD,

又∵OC=(1/2)AC,OD=(1/2)BD，

∴OC=OD,∴□OCED是菱形.(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）4.如圖，△ABC中，AC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)O，CE∥AB交MN于點(diǎn)E，連接AE、CD.求證：四邊形ADCE是菱形BCADOEMN證明：∵M(jìn)N垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOD=∠COD=900，

AD=CD，∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO,∴△AOD≌△COE,（ASA)∴AD=CF，∴四邊形ADCE是平行四邊形.又∵AD=CD，∴平行四邊形ADCE是菱形.5.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于E，又點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上，且AF=CE.求證：四邊形ACEF是菱形。ABCDEF1.如下圖在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，四邊形