高等數(shù)學(xué)第六版課后習(xí)題及答案

高等數(shù)學(xué)課后答案

習(xí)題1-1

1.設(shè)4=(—8,—5)D(5,+OO),B=[—10,3),寫出4cB,4也及小(4也：

的表達(dá)式.

解AuB=(-cof3)u(5,+oo),

A^B=[-10,-5),

43=(-00,-10)55,+°°),

小(4W)=[—10,-5).

2.設(shè)4、3是任意兩個集合，證明對偶律:(4八3)'=40。3￡

證明因為

x^A或x&Ac或x&BcoXEAC

uB。,

所以(ACB)C=TUBC.

3.設(shè)映射/:Xfy,4u￥,3uX.證明

(2?(ZcB)D⑷M協(xié)

證明因為

力u氏使，危)可

0(因為或或產(chǎn);/)

所以/(AuB月⑷5⑻.

(2)因為

使.危)可=(因為且且

ye.")nye穴&MB),

所以八ACB)$A)MB).

4.設(shè)映射/：x-?y,若存在一個映射g：y->x,使g"=/x,f°g=iy,其

中N/y分別是X、丫上的恒等映射，即對于每一個xeX,有/X%K；對于

每一個蚱匕有/丫尸y.證明:/是雙射，且g是/的逆映射:曠I.

證明因為對于任意的yef,有x=g(y)eX,且於)=/[g(y)]=/))=%即丫

中任意元素都是X中某元素的像，所以/為X到丫的滿射.

又因為對于任意的X〔W%2,必有/(%1)差/(%2),否則若

/ai)=/(%2)ng"(Xl)]=g[/(X2)]=>%1=%2.

因此/既是單射，又是滿射，即/是雙射.

對于映射g：yfX,因為對每個點(diǎn)匕有g(shù)(y)=xwX,且滿足

J^=f[g(y)]=Iyy=y,按逆映射的定義,g是/的逆映射二

5.設(shè)映射/:X->y,4zX.證明：

(1曠。4)));

(2)當(dāng)/是單射時，有/衣4))=4.

證明⑴因為xeAn/(x)=ye/(/)=>/T(y)=xe尸(/(4)),

所以尸(/U)Q4

(2)由⑴知廣i(/(Z))n4

另一方面，對于任意的xe/i(/(4))n存在歹目兀4),使/可.

因為ye/⑷且/是單射，所以XG4這就證明了/(/(Z))u4.因此/

-皿))=4.

6.求下列函數(shù)的自然定義域：

⑴y=j3x+2；

解由3%+2加得x〉g函數(shù)的定義域為[等+8).

(2)片l-xz

解由IT2M得H±I.函數(shù)的定義域為(―oo,—l)u(—l,l)u(l,+8).

(3)y=^-Vl-x2；

解由左0且l-x2>0得函數(shù)的定義域。=[—1,0)50,1].

⑷"

解由4T2>0得1*2.函數(shù)的定義域為(—2,2).

(5)y=sin>/x；

解由轉(zhuǎn)0得函數(shù)的定義。=[0,+00).

⑹尸tan(%+l);

解由x+i#1■(左=0,±1,±2,?-)得函數(shù)的定義域為xAki+5-i(k=。,±1,±2.

???)?

(7)y=arcsin(x-3);

解由|x-3區(qū)1得函數(shù)的定義域。=[2,4].

(8)=J3-x+arctan—；

解由3-x>0且xwO得函數(shù)的定義域0=(-*0)0(0,3).

(9)y=ln(x+l);

解由％+1〉0得函數(shù)的定義域。=(-1,+00).

(10)%/.

解由XWO得函數(shù)的定義域。=(-00,0)50,+8).

7.下列各題中，函數(shù)./)和g(x)是否相同？為什么？

(1?(%)=lgg(x)=21g%；

(2)/(%)=%,g(x)=痙；

(3)f(x)=y/x4-x3,g(X)=xVx-l.

(4)/(%)=1,g(x)=sec2x-tan2x.

解(1)不同.因為定義域不同.

⑵不同.因為對應(yīng)法則不同,X<0時,g(%)=T.

(3)相同.因為定義域、對應(yīng)法則均相相同.

(4)不同.因為定義域不同.

匹

X

設(shè)3

以x)

函數(shù)尸

并作出

-2),

專，以

)，*(

)，暇

匹求喔

3

Q.

(-2)=

孑，＜p

(一今卜

給Wsin

,0(一

|=-^

|si吟

e(5)=

=J,

in'|

9=|s

解破

42

4

42

4

02

0

性：

單調(diào)

內(nèi)的

區(qū)間

指定

數(shù)在

列函

證下

9.試

；

8,1)

高，(—

(1)尸

X

1—

.

+co)

%,(0,

x+ln

(2)y=

00

因為當(dāng)

溝＞0,

有1-

,1),

武-

孫必

意的

于任

(1)對

證明

時，

X]-X

_

x

X]

2

2

<0,

%=

弘一

)

百)(1一次2

(1一

1-X

1一七

2

00

.

增加的

是單調(diào)

,1)內(nèi)

(一

在區(qū)間

數(shù)片W

所以函

00

，有

42時

當(dāng)了1

+),

父。,

％[，應(yīng)

任意的

(2)對于

x

0,

—<

+ln

-x）

=（a

nx）

）一（工2+l

i+1口西

=（

必~yi

2

2

工2

加的.

單調(diào)增

)內(nèi)是

0,+8

區(qū)間(

lnx在

＞=x+

函數(shù)

所以

加，證

調(diào)增

內(nèi)單

。。

(%)在

，若/

函數(shù)

的奇

(-/,/)內(nèi)

義在

)為定

設(shè)/(x

10.

增加L

也單調(diào)

/,0)內(nèi)

在(-

明/(X)

—%2.

一％1＞

0,/)且

%2G(

一%1,-