人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 第24章《圓》講義 第17講 正多邊形和圓、弧長(zhǎng)和扇形面積（有答案）

/第17講正多邊形和圓、弧長(zhǎng)和扇形面積第一局部知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：圓與內(nèi)正多邊形的計(jì)算1、正三角形在⊙中△是正三角形,有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；2、正四邊形同理,四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行,3、正六邊形同理,六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行,知識(shí)點(diǎn)二、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：〔1〕弧長(zhǎng)公式：；〔2〕扇形面積公式：：圓心角：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長(zhǎng)：扇形面積2、圓柱側(cè)面展開(kāi)圖：3、圓錐側(cè)面展開(kāi)圖第二局部考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、正多邊形和圓的求解例1、六邊形的邊長(zhǎng)為10cm,那么它的邊心距等于〔〕

A．10cmB．5cmC．cmD．cm例2、正多邊形的邊心距與邊長(zhǎng)的比為,那么此正多邊形為〔〕

A．正三角形B．正方形C．正六邊形D．正十二邊形例3、如圖,在⊙O內(nèi),AB是內(nèi)接正六邊形的一邊,AC是內(nèi)接正十邊形的一邊,BC是內(nèi)接正n邊形的一邊,那么n=

．

例4、圓的內(nèi)接正六邊形邊長(zhǎng)為a,這個(gè)圓的周長(zhǎng)為

．例5、如圖,邊長(zhǎng)為2cm的正六邊形ABCDEF,點(diǎn)A1,B1,C1,D1,E1,F1分別為所在各邊的中點(diǎn),求圖中陰影局部的總面積S．

舉一反三：1、以下命題中的真命題是〔〕

A．三角形的內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑之比為2：1

B．正六邊形的邊長(zhǎng)等于其外接圓的半徑

C．圓外切正方形的邊長(zhǎng)等于其邊A心距的倍

D．各邊相等的圓外切多邊形是正方形2、正方形的邊長(zhǎng)為a,其內(nèi)切圓的半徑為r,外接圓的半徑為R,那么r：R：a=〔〕

A．1：1：B．1：：2C．1：：1D．：2：43、某工人師傅需要把一個(gè)半徑為6cm的圓形鐵片加工截出邊長(zhǎng)最大的正六邊形的鐵片,那么此正六邊形的邊長(zhǎng)為

cm．4、如圖,正六邊形與正十二邊形內(nèi)接于同一圓⊙O中,外接圓的半徑為2,那么陰影局部面積為

．

5、如圖,⊙O半徑為4cm,其內(nèi)接正六邊形ABCDEF,點(diǎn)P,Q同時(shí)分別從A,D兩點(diǎn)出發(fā),以1cm/s速度沿AF,DC向終點(diǎn)F,C運(yùn)動(dòng),連接PB,QE,PE,BQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t〔s〕．〔1〕求證：四邊形PEQB為平行四邊形；〔2〕填空：①當(dāng)t=s時(shí),四邊形PBQE為菱形；②當(dāng)t=s時(shí),四邊形PBQE為矩形．考點(diǎn)2、弧長(zhǎng)的計(jì)算例1、一條弧所對(duì)的圓心角是90°,半徑是R,那么這條弧長(zhǎng)是〔〕

A．B．C．D．例2、一個(gè)滑輪起重裝置如下圖,滑輪半徑是10cm,當(dāng)重物上升10cm時(shí),滑輪的一條半徑OA繞軸心O,繞逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的角度約為〔假設(shè)繩索與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng),π取3.14,結(jié)果精確到1°〕〔〕

A．115°B．160°C．57°D．29°

例3、：如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,假設(shè)∠BOD=120°,OB=1,那么∠BAD=

度,∠BCD=

度,弧BCD的長(zhǎng)=

．

例4、如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=cm,將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△A′BC′的位置,且使點(diǎn)A、B、C′三點(diǎn)在一條直線上,那么點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的最短路線的長(zhǎng)度是

．例5、如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,∠BAD=60°,AC為對(duì)角線．將△ACD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AC′D′,連接DC′．

〔1〕求證：△ADC≌△ADC′；

〔2〕求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)C掃過(guò)路徑的長(zhǎng)．〔結(jié)果保存π〕舉一反三：1、弧長(zhǎng)為6π的弧所對(duì)的圓心角為60°,那么弧所在的圓的半徑為〔〕

A．6B．6C．12D．182、如圖,一塊邊長(zhǎng)為10cm的正方形木板ABCD,在水平桌面上繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到A′B′C′D′的位置時(shí),頂點(diǎn)B從開(kāi)始到結(jié)束所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為〔〕

A．20cmB．20cmC．10πcmD．5πcm3、一段鐵路彎道成圓弧形,圓弧的半徑是2km．一列火車以每小時(shí)28km的速度經(jīng)過(guò)10秒通過(guò)彎道．那么彎道所對(duì)的圓心角的度數(shù)為

度．〔π取3.14,結(jié)果精確到0.1度〕．4、矩形ABCD的長(zhǎng)AB=4,寬AD=3,按如圖放置在直線AP上,然后不滑動(dòng)地轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)它轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)〔A→A′〕,頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)等于

．5、如圖,在一個(gè)橫截面為Rt△ABC的物體中,∠CAB=30°,BC=1米．工人師傅把此物體搬到墻邊,先將AB邊放在地面〔直線l〕上,再按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)B翻轉(zhuǎn)到△A1B1C1的位置〔BC1在l上〕,最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置,其平移的距離為線段AC的長(zhǎng)度〔此時(shí)A2C2恰好靠在墻邊〕．

〔1〕請(qǐng)直接寫(xiě)出AB、AC的長(zhǎng)；

〔2〕畫(huà)出在搬動(dòng)此物的整個(gè)過(guò)程A點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑,并求出該路徑的長(zhǎng)度〔精確到0.1米〕．

考點(diǎn)3、扇形面積的計(jì)算例1、五個(gè)半徑為1的圓的位置如下圖,各圓心的連線構(gòu)成一個(gè)五邊形,那么陰影局部的面積是〔〕

A．B．2πC．D．3π例2、一個(gè)商標(biāo)圖案如圖中陰影局部,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=8cm,BC=4cm,以點(diǎn)A為圓心,AD為半徑作圓與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,那么商標(biāo)圖案的面積是〔〕

A．〔4π+8〕cm2B．〔4π+16〕cm2C．〔3π+8〕cm2D．〔3π+16〕cm2

例3、如圖,E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),連接EA、EB并將△BAE以B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BFC,假設(shè)BA=4,BE=3,在△BAE旋轉(zhuǎn)到△BCF的過(guò)程中AE掃過(guò)區(qū)域面積

．

例4、如圖,有一直徑為1米的圓形鐵皮,要從中剪出一個(gè)最大的圓心角為90°的扇形,那么剩下局部的〔陰影局部〕的面積是

．

例5、如圖,P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),△ABP經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△CBQ的位置．

〔1〕請(qǐng)說(shuō)出旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)角度；

〔2〕假設(shè)連接PQ,試判斷△PBQ的形狀；

〔3〕假設(shè)∠BPA=135°,試說(shuō)明點(diǎn)A,P,Q三點(diǎn)在同一直線上；

〔4〕假設(shè)∠BPA=135°,AP=3,PB=,求正方形的對(duì)角線長(zhǎng)；

〔5〕在〔4〕的條件下,求線段AP在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積．

舉一反三：1、假設(shè)一個(gè)扇形的面積是相應(yīng)圓的,那么它的圓心角為〔〕

A．150°B．120°C．90°D．60°2、如下圖的4個(gè)的半徑均為1,那么圖中的陰影局部的面積為〔〕

A．π+1B．2πC．4D．63、如圖,O為圓心,半徑OA=OB=r,∠AOB=90°,點(diǎn)M在OB上,OM=2MB,用r的式子表示陰影局部的面積是

．

4、如圖,直角△ABC的直角頂點(diǎn)為C,且AC=5,BC=12,AB=13,將此三角形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到直角△AB′C′的位置,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,直角△ABC掃過(guò)的面積是

．〔結(jié)果中可保存π〕5、如圖,四邊形ABCD是長(zhǎng)方形,AB=a,BC=b〔a＞b〕,以A為圓心AD長(zhǎng)為半徑的圓與CD交于D,與AB交于E,假設(shè)∠CAB=30°,請(qǐng)你用a、b表示圖中陰影局部的面積．考點(diǎn)4、圓錐側(cè)面積計(jì)算例1、如果圓錐的高為3cm,母線長(zhǎng)為5cm,那么圓錐的側(cè)面積是〔〕

A．16πcm2B．20πcm2C．28πcm2D．36πcm2例2、新疆哈薩克族是一個(gè)游牧民族,喜愛(ài)居住氈房,氈房的頂部是圓錐形,如下圖,為防雨需要在氈房頂部鋪上防雨布．圓錐的底面直徑是5.7m,母線長(zhǎng)是3.2m,鋪滿氈房頂部至少需要防雨布〔精確到1m2〕〔〕

A．58

m2B．29

m2C．26

m2D．28

m2

例3、扇形的圓心角為150°,半徑為4cm,用它做一個(gè)圓錐,那么這個(gè)圓錐的外表積為

cm2．例4、在十年文革期間的“高帽子〞．這種“高帽子〞是用如圖①所示的扇形硬紙板,做成如圖②所示的無(wú)底圓錐體．接縫的重疊局部的圓心角為30°．

〔1〕求重疊局部的面積．〔結(jié)果保存π〕

〔2〕計(jì)算這頂“高帽子〞有多高？〔結(jié)果保存根號(hào)〕

例5、：一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為20cm,圓心角為120°的扇形,求這圓錐的底面圓的半徑和高．舉一反三：1、假設(shè)圓錐的側(cè)面積為12cm2,它的底面半徑為3cm,那么此圓錐的母線長(zhǎng)為〔〕

A．4cmB．4

cmC．2cmD．2

cm2、圓錐的軸截面是一個(gè)等腰三角形,它的面積是10cm2,底邊上的高線是5cm,那么圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于〔〕

A．87cmB．47cmC．8

cmD．4

cm3、如圖,扇形的半徑為6,圓心角θ為120°,用這個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面,所得圓錐的高為。4、如圖,有一邊長(zhǎng)為4的等邊三角形紙片,要從中剪出三個(gè)面積相等的扇形,那么剪下的其中一個(gè)扇形

ADE〔陰影局部〕的面積為

；假設(shè)用剪下的一個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐,該圓錐的底面圓的半徑r是

．

5、如圖,在⊙O中,AB=8,AC是⊙O的直徑,AC⊥BD于F,∠A=30°．

〔1〕求圖中陰影局部的面積；

〔2〕假設(shè)用陰影扇形OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面,請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑．第三局部課堂小測(cè)1、如圖,八邊形ABCDEFGH中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=135°,AB=CD=EF=GH=1cm,BC=DE=FG=HA=cm,那么這個(gè)八邊形的面積等于〔〕

A．7cm2B．8cm2C．9cm2D．14cm22、起重機(jī)的滑輪裝置如下圖,滑輪半徑是10cm,當(dāng)物體向上提升3πcm時(shí),滑輪的一條半徑OA繞軸心旋轉(zhuǎn)的角度為〔〕

A．108°B．60°C．54°D．27°3、如果一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形,它的邊長(zhǎng)為4cm,那么圓錐的全面積是〔〕

A．8cm2B．10cm2C．12cm2D．9cm24、如圖,OAB是以6cm為半徑的扇形,AC切弧AB于點(diǎn)A交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,如果弧AB的長(zhǎng)等于3cm,AC=4cm,那么圖中陰影局部的面積為〔〕

A．15cm2B．6cm2C．4cm2D．3cm25、如圖,⊙O1,⊙O2,⊙O3,⊙O4,⊙O的半徑均為2cm,⊙O與⊙O1,⊙O3相外切,⊙O與⊙O2,⊙O4相外切,并且圓心分別位于兩條互相垂直的直線L1,L2上,連接O1,O2,O3,O4得四邊形O1O2O3O4,那么圖中陰影局部的面積為〔〕平方厘米．

A．32B．32-8πC．16-4πD．8π6、如圖,在⊙O中,直徑MN=10,正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在⊙O及半徑OM、OP上,并且∠POM=45°,那么AB的長(zhǎng)為

．

7、將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放,點(diǎn)A、O在三角板上所對(duì)應(yīng)的刻度分別是8cm、2cm,重疊陰影局部的量角器弧所對(duì)的扇形圓心角∠AOB=120°,假設(shè)用該扇形AOB

圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面〔接縫處不重疊〕,那么該圓錐的底面半徑為

cm．

8、如圖,正n邊形邊長(zhǎng)為a,邊心距為r,求正n邊形的半徑R、周長(zhǎng)P和面積S．9、如圖,在正方形ABCD中有一點(diǎn)P,連接AP、BP,旋轉(zhuǎn)△APB到△CEB的位置．

〔1〕假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是8,PB=4．求陰影局部面積；

〔2〕假設(shè)PB=4,PA=7,∠APB=135°,求PC的長(zhǎng)．10、如圖,有一直徑為1m的圓形鐵皮,要從中剪出一個(gè)最大的圓心角是90°的扇形ABC

〔1〕找到圓形鐵皮的圓心O〔要求尺規(guī)作圖,保存作圖痕跡〕；

〔2〕求剪掉局部即陰影局部的面積〔結(jié)果保存π〕；

〔3〕用所留的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐,該圓錐的底面半徑是多少？11、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在x軸上,△ABO是直角三角形,∠ABO=90°,點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔-1,2〕,將△ABO繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1O．

〔1〕在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是多少？

〔2〕分別求出點(diǎn)A1,B1的坐標(biāo)；

〔3〕連接BB1交A1O于點(diǎn)M,求M的坐標(biāo)．第四局部提高訓(xùn)練1、閱讀以下材料,然后解答問(wèn)題．

經(jīng)過(guò)正四邊形〔即正方形〕各頂點(diǎn)的圓叫作這個(gè)正四邊形的外接圓,圓心是正四邊形的對(duì)稱中心,這個(gè)正四邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正四邊形．

如圖,正四邊形ABCD的外接圓⊙O,⊙O的面積為S1,正四邊形ABCD的面積為S2,以圓心O為頂點(diǎn)作∠MON,使∠MON=90°,將∠MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),OM、ON分別與⊙O相交于點(diǎn)E、F,分別與正四邊形ABCD的邊相交于點(diǎn)G、H．設(shè)由OE、OF、及正四邊形ABCD的邊圍成的圖形〔圖中的陰影局部〕的面積為S．①

〔1〕當(dāng)OM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)〔如圖①〕,那么S、S1、S2之間的關(guān)系為：S=______〔用含S1、S2的代數(shù)式表示〕；

〔2〕當(dāng)OM⊥AB時(shí)〔如圖②〕,點(diǎn)G為垂足,那么〔1〕中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

〔3〕當(dāng)∠MON旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)〔如圖③〕,那么〔1〕中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．2、如圖中有四個(gè)面積相同的圓,每個(gè)圓的面積都記為S,∠ABC的兩邊分別經(jīng)過(guò)圓心O1、O2、O3和O4,四個(gè)圓蓋的面積為5〔S-1〕,∠ABC內(nèi)部被圓蓋住的面積為8,陰影局部的面積為S1、S2、S3滿足關(guān)系式：．求S的值．

3、鐵匠王老五要制作一個(gè)圓錐體模型,操作規(guī)那么是：在一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓,使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時(shí),圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設(shè)計(jì)了如下圖的方案一,發(fā)現(xiàn)這種方案不可行,于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑,設(shè)計(jì)了如下圖的方案二．〔兩個(gè)方案的圖中,圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切〕請(qǐng)你幫助他算一算可以嗎？〔1〕請(qǐng)說(shuō)明方案一不可行的理由；〔2〕判斷方案二是否可行？假設(shè)可行,請(qǐng)確定圓錐的母線長(zhǎng)及其底面圓半徑；假設(shè)不可行,請(qǐng)說(shuō)明理由．第五局部課后作業(yè)1、如圖,⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓,那么正五邊形的中心角∠AOB的度數(shù)是〔〕

A．72°B．60°C．54°D．36°2、如圖中,正方形的邊長(zhǎng)都相等,其中陰影局部面積相等的有〔〕

A．〔1〕〔2〕〔3〕B．〔2〕〔3〕〔4〕

C．〔1〕〔3〕〔4〕D．〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕3、如圖,一塊含有30°角的直角三角板ABC,在水平桌面上繞點(diǎn)C接順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到A′B′C′的位置．假設(shè)BC=15cm,那么頂點(diǎn)A從開(kāi)始到結(jié)束所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為〔〕

A．10πcmB．30πcmC．15πcmD．20πcm4、圓錐的母線長(zhǎng)5cm,底面半徑長(zhǎng)3cm,那么它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是〔〕

A．180°B．200°C．225°D．216°5、如圖,在半徑為,圓心角等于45°的扇形AOB內(nèi)部作一個(gè)正方形CDEF,使點(diǎn)C在OA上,點(diǎn)D、E在OB上,點(diǎn)F在上,那么陰影局部的面積為〔結(jié)果保存π〕〔〕

A．B．C．D．6、將一個(gè)半徑為8cm,面積為32πcm2的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐形容器〔不計(jì)接縫〕,那么這個(gè)圓錐形容器的高為〔〕

A．4cmB．4cmC．4cmD．2cm7、一元錢的硬幣的直徑約為24mm,那么它完全覆蓋住的正三角形的邊長(zhǎng)最大不能超過(guò)

mm〔保存根號(hào)〕．8、如圖,小明從半徑為5cm的圓形紙片中剪下40%圓周的一個(gè)扇形,然后利用剩下的扇形制作成一個(gè)圓錐形玩具紙帽〔接縫處不重疊〕,那么這個(gè)圓錐的高為

cm．

9、如圖1,在正方形鐵皮上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)半徑為1cm的圓形,使之恰好圍成圖2所示的一個(gè)圓錐,那么圓錐的高．

10、如圖,以AD為直徑的半圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,B,點(diǎn)E、B是半圓弧的三等分點(diǎn),弧BE長(zhǎng)為,那么圖中陰影局部的面積為

．

11、如圖,正方形ABCD的外接圓為⊙O,點(diǎn)P在劣弧CD上〔不與點(diǎn)C重合〕．〔1〕求∠BPC的度數(shù)；〔2〕假設(shè)⊙O的半徑為4,求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．12、“五一〞節(jié),小雯和同學(xué)一起到游樂(lè)場(chǎng)玩大型摩天輪,摩天輪的半徑為20m,勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要12min,小雯所坐最底部的車廂〔離地面0.5m〕．

〔1〕經(jīng)過(guò)2min后小雯到達(dá)點(diǎn)Q,如下圖,此時(shí)他離地面的高度是多少？

〔2〕在摩天輪滾動(dòng)的過(guò)程中,小雯將有多長(zhǎng)時(shí)間連續(xù)保持在離地面不低于30.5m的空中？13、如圖,一個(gè)圓錐的高為3cm,側(cè)面展開(kāi)圖是半圓．