高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考01（新高考七省地區(qū)專(zhuān)用）2023-2024學(xué)年高中下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試卷（全解全析）

屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考全解全析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．若全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知：集合，，所以，所以，故B正確.故選：B.2．若復(fù)數(shù)，其中，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因?yàn)?，?shí)部為，虛部為，因?yàn)椋?，，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選：D3．在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則（

）A．3 B． C．9 D．【答案】C【解析】設(shè)的公比為，則由題意可知或，顯然時(shí)，，無(wú)意義舍去；所以.故選：C4．放射性物質(zhì)的半衰期的定義為：每經(jīng)過(guò)時(shí)間，該物質(zhì)的質(zhì)量會(huì)衰減成原來(lái)的一半．由此可知，，其中為初始時(shí)物質(zhì)的質(zhì)量，為經(jīng)過(guò)的時(shí)間，為半衰期，為經(jīng)過(guò)時(shí)間后物質(zhì)的質(zhì)量．若某鉛制容器中有，兩種放射性物質(zhì)，半衰期分別為，，開(kāi)始時(shí)這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，100天后測(cè)量發(fā)現(xiàn)物質(zhì)的質(zhì)量為物質(zhì)的質(zhì)量的四分之一，則（

）A． B． C．50 D．25【答案】A【解析】設(shè)開(kāi)始時(shí)，兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，天后，兩種物質(zhì)的質(zhì)量分別為，，則，，于是100天后有，，由，得，即，于是，所以.故選：A5．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】將，兩點(diǎn)分別代入拋物線方程，可得，解得，則，，解得，則，又拋物線的焦點(diǎn)，由題意可得，三點(diǎn)共線，則，即，解得.故選：D6．已知向量，，則向量與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵向量，，∴，∴，，∴向量與夾角的余弦值為.故選：A．7．已知體積為的正四棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則體積，所以，設(shè)球的半徑為，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以球的表面積的最小值為.故選：B.8．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即；令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即；由誘導(dǎo)公式得，所以，因此；因?yàn)?，，故只需比較與的大小，由二項(xiàng)式定理得，，所以．綜上，.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，都是正數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最大值為【答案】ABD【解析】對(duì)A：可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)成立，故A選項(xiàng)正確；對(duì)B：由，得，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，故B選項(xiàng)正確；對(duì)C：，由A知，所以，僅當(dāng)，即，時(shí)成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D：由A知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)成立，故D選項(xiàng)正確．故選：ABD．10．已知由樣本數(shù)據(jù)（）組成的一個(gè)樣本，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為且，去除兩個(gè)異常數(shù)據(jù)和后，得到的新的經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率為3，則（

）A．相關(guān)變量，具有正相關(guān)關(guān)系B．去除異常數(shù)據(jù)后，新的平均數(shù)C．去除異常數(shù)據(jù)后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為D．去除異常數(shù)據(jù)后，隨值增加，的值增加速度變小【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)榛貧w方程的斜率為正，所以相關(guān)變量，具有正相關(guān)關(guān)系，所以A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以去除兩個(gè)異常數(shù)據(jù)和后，得到新的，所以B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由代入得，故去除兩個(gè)異常數(shù)據(jù)和后，，因?yàn)榈玫降男碌慕?jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率為3，所以，所以去除異常數(shù)據(jù)后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率為正數(shù)，所以變量，具有正相關(guān)關(guān)系，且去除異常數(shù)據(jù)后，斜率由增大到3，故值增加的速度變大，D錯(cuò)誤.故選：AC．11．已知圓錐（是底面圓的圓心，是圓錐的頂點(diǎn)）的母線長(zhǎng)為，高為.若、為底面圓周上任意兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三角形面積的最大值為B．三棱錐體積的最大值C．四面體外接球表面積最小值為D．直線與平面所成角余弦值最小值為【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A，由母線長(zhǎng)為，高為，可得底面半徑為，設(shè)是底面圓的一條直徑，則，即是鈍角，又，則存在點(diǎn)、，當(dāng)時(shí)，，三角形面積的最大值為，故A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)?，則當(dāng)面時(shí)，，故B正確；選項(xiàng)C，設(shè)的外接圓半徑為，因?yàn)榕c底面垂直，所以，四面體外接球半徑滿足，若外接球表面積的最小，即外接球的半徑最小，又，即在底面圓中，的外接圓半徑最小，由正弦定理，，則無(wú)最大值，的外接圓半徑無(wú)最小值，即四面體外接球表面積無(wú)最小值，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，直線SP與平面所成角的正弦值為，則當(dāng)面時(shí)，，此時(shí)直線與平面所成角的余弦值最小，最小值為，故D正確；故選：ABD.12．已知雙曲線的離心率為，，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)直線垂直于雙曲線的一條漸近線，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若的面積為，則（

）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為C．線段的長(zhǎng)為 D．是直角三角形【答案】BCD【解析】∵，∴，即：，，∴漸近線方程為，故A錯(cuò)誤；經(jīng)過(guò)點(diǎn)直線垂直于雙曲線的一條漸近線，不妨設(shè)直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，，消去x得，則，設(shè)，，則，，所以，解得，即：，故雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為6，故B正確；因?yàn)?，，所?，故C正確；因?yàn)?，，，所以雙曲線方程為，直線的方程為，，消去x得，則或，又，，此時(shí)，所以，所以是直角三角形，故D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知的二項(xiàng)式系數(shù)和為256，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】112【解析】因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)和為256，所以，即，所以，令，則，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為112.14．已知，，則.【答案】0【解析】易知，因?yàn)?，若，顯然，上式恒成立，若，則，所以，無(wú)解，綜上可知.15．已知圓與圓有3條公切線，則的值為．【答案】【解析】由題可得，圓，圓心為，半徑為2；圓，圓心為，半徑為1．因?yàn)閮蓤A有3條公切線，所以兩圓外切，故圓心距，解得．16．設(shè)函數(shù)，若不等式有且只有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由函數(shù)，若不等式，即，因?yàn)?，可化為，令，可得，令，可得，所以在R上單調(diào)遞增，又由，所以存在唯一的使得，當(dāng)時(shí)，，可得，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，可得，所以單調(diào)遞增，且，又因?yàn)椋援?dāng)原不等式有且僅有三個(gè)整數(shù)解時(shí)，有，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）記的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，．（1）求；（2）若D是邊上一點(diǎn)，，且，求的面積，【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，將代入得，，化簡(jiǎn)得，即，則；（2）由（1）知，則，則在中，由，解得，所以，解得，則，故的面積.18．（12分）已知數(shù)列是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知對(duì)于任意，都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式.（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（3）記，求.【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，所以，即是以首先，公比為的等比數(shù)列，即.因?yàn)?，成等比?shù)列，所以，即，解得.所以.（2）由（1）得，則（3），因?yàn)椋O(shè)，前項(xiàng)和為，則，，.所以19．（12分）如圖，在多面體中，四邊形是矩形，，平面，為的中點(diǎn)，，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則令，解得，，所以，設(shè)平面的法向量為，則令，解得，，所以．設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面的夾角的余弦值為．20．（12分）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷(xiāo)售手段，目前已被廣大消費(fèi)者所接受．針對(duì)這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前5個(gè)月的帶貨金額：月份12345帶貨金額/萬(wàn)元350440580700880（1）求變量，之間的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測(cè)2023年7月份該公司的直播帶貨金額．（2）該公司隨機(jī)抽取55人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到如下不完整的列聯(lián)表：參加過(guò)直播帶貨未參加過(guò)直播帶貨總計(jì)女性2530男性10總計(jì)請(qǐng)?zhí)顚?xiě)上表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為參加直播帶貨與性別有關(guān)．參考數(shù)據(jù)：，，，，．參考公式：線性回歸方程的斜率，截距．附：，其中．0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024【答案】（1）；預(yù)測(cè)2023年7月份該公司的直播帶貨金額為1118萬(wàn)元（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，參加直播帶貨與性別有關(guān)【解析】（1）因?yàn)?，，，，所以，，所以變量，之間的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）．所以預(yù)測(cè)2023年7月份該公司的直播帶貨金額為1118萬(wàn)元．（2）補(bǔ)全完整的列聯(lián)表如下．參加過(guò)直播帶貨未參加過(guò)直播帶貨總計(jì)女性25530男性151025總計(jì)401555零假設(shè)：參加直播帶貨與性別無(wú)關(guān)，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)我們推斷不成立，即有90%的把握認(rèn)為參加直播帶貨與性別有關(guān).21．（12分）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓：上，稱(chēng)此圓為橢圓的蒙日?qǐng)A．橢圓過(guò)，（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)，作橢圓的一條切線，與蒙日?qǐng)A交于另一點(diǎn)，若，存在．證明：為定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）將，，代入到，可得，解得，所以橢圓的方程為：．（2）由題意可知，蒙日?qǐng)A方程為：．（i）若直線斜率不存在，則直線的方程為：或．不妨取，代入中，則，不妨取，，，，∴．（ii）若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，化簡(jiǎn)整理得：，據(jù)題意有，于是有：，設(shè)（），（），聯(lián)立，化簡(jiǎn)整理得：，，，，則，∵，所以．綜上可知，為定值.22．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若且，求證：．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由題意得函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則令，得，故在上單調(diào)遞增；令，得，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)