高考數(shù)學概念方法題型易誤點技巧總結(jié)下

高考數(shù)學概念方法題型易誤點技巧總結(jié)（A）

圓錐曲線

1.圓錐曲線的兩個定義：

（1）第一定義山要重視.“括號”一內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F「F2的距離

的和等于常數(shù)2a,且此常數(shù)2〃一定要大于憂心|,當常數(shù)等于陽周時，軌跡是線段F/2，

當常數(shù)小于閨工|時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)

2a,且此常數(shù)2a一定要小于|F|F2I，定義中的“絕對值”與2"V|FE|不可忽視。若2a

=%卜2I,則軌跡是以F1,F2為端點的兩條射線，若2a>|FtF2I，則軌跡不存在。若去

掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如（1）已知定點可（—3.0）.鳥（3,0）,在滿足

下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是A.|尸尸]|+〔尸尸2]=4B.|PFj+|P尸2]=6

*23

C.|PFj+|P尸21=10D.\PFt\+\PF2f=12（答：C）；（2）方程

J（X-6）2+>2—J（x+6）2+y2=8表示的曲線是（答：雙曲線的左支）

（2）第二定義中要注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準線，且“點點距為分子、點線

距為分母”，其商即是離心率e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離

與此點到相應(yīng)準線距離間的關(guān)系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉(zhuǎn)化。如已知點

2

Q（2人,0）及拋物線），=二上一動點P（x,y），貝y+|PQ舊勺最小值是_____（答：2）

4

2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標

準位置的方程）：

22f

⑴橢圓：焦點在x軸上時,+為=1（a>&>0）（參數(shù)方程，

v2比2

其中夕為參數(shù)），焦點在y軸上時彳+和=1方程4丁+與尸=。表示橢圓

ab

22

的充要條件是什么？（ABCW0,且A,B,C同號，AWB）。如（1）已知方程一二+二一=1

3+k2-k

表示橢圓，則上的取值范圍為—（答：（―3,—；）U（—；,2））；（2）若,且

3f+2y2=6,則x+y的最大值是，/+/的最小值是_（答：75,2）

2222

（2）雙曲線:焦點在x軸上：一r—-1>焦點在y軸上：馬-----1（<2>0,Z?>0）o

abab~

方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABCW0,且A,B異號）。如（1）

雙曲線的離心率等于正，且與橢圓《+f=1有公共焦點，則該雙曲線的方程（答:

294

2

亍-;/=[）；（2）設(shè)中心在坐標原點。，焦點F「B在坐標軸匕離心率6=啦的雙曲

線C過點P（4,-Vlb）,則C的方程為（答：X2-/=6）

（3）拋物線：開口向右時V=2px（p〉0）,開口向左時V=_2px（p>0）,開口向

上時V=2py（p>0）,開口向下時如=-2py（p>0）?

3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：

（1）橢圓：由X2,y2分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。如已知方程

/v2?

￡—+一」=1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是一（答：（-0。,一1）U（L1））

|/n-12-m2

（2）雙曲線：由X2,y2項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；

（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。

特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F1,F2的位

置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參

數(shù)a,b,確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題

時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，a最大，a2^b2+c2,在雙曲線中，c最大，

c1=a1+b2?

4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：

22

（1）橢圓（以2y=l（a>h>0）為例）：①范圍：-aSxWa,-bWy4b；

ab

②焦點：兩個焦點（土c,0）；③對稱性：兩條對稱軸x=O,y=O,一個對稱中心（0,0）,四

2

個頂點（±a,0）,（0,±h）,其中長軸長為2。，短軸長為2b；④準線：兩條準線x=±幺；⑤

c

離心率：e=-f橢圓=0<e<l,e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。如（1）若橢

a

圓片+上=1的離心率0=巫，則機的值是_（答：3或?）；（2）以橢圓上一點利橢

5m53

圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為—（答：2痣）

V*2y2

（2）雙曲線（以---—=1（a>0,&>0）為例）：①范圍：xW-?；?/p>

a2h2

②焦點：兩個焦點（±C,0）；③對稱性：兩條對稱軸x=0,y=0,一個對稱中心（0,0）,兩

個頂點（±應(yīng)0）,其中實軸長為2。，虛軸長為2人，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱

為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為d―儼=女,女。0；④準線：兩條準線x=±±；⑤離心率:

C

e=-,雙曲線=e〉l,等軸雙曲線oe=J5,e越小，開口越小，e越大，開口越大;

a

b

⑥兩條漸近線：y=±—％。如（1）雙曲線的漸近線方程是3x±2y=0,則該雙曲線的離心

a

率等于（答：孚或半）；（2）雙曲線辦2_勿2=1的離心率為不，貝3：6=_

1尤2V2

（答：4或一）；（3）設(shè)雙曲線J=1（a>0,b>0）中，離心率ed[j2,2],

4a2h2

則兩條漸近線夾角0的取值范圍是________（答:[?，?]）；

32

（3）拋物線（以y2=2px（p〉0）為例）：①范圍：x>0,ye/?；②焦點：一個焦點

（^,0）,其中p的幾何意義是：焦點到準線的距離；③對稱性：一條對稱軸y=0,沒有對

稱中心，只有一個頂點（0,0）；④準線：一條準線工=一已；⑤離心率：e=￡,拋物線

2a

=e=l。如設(shè)則拋物線y=4a/的焦點坐標為（答：（0,「一））；

16。

5、點P（x。,%）和橢圓=+==1（?>Z?>0）的關(guān)系：（1）點尸（％,光）在橢圓外

ab

U>T'+T"〉1；（2）點P（Xo,%）在橢圓上?！觥猑+當-=1；（3）點P（x0,光）在橢圓內(nèi)

ab~ab

6.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：

（1）相交：A>0o直線與橢圓相交；△>On直線與雙曲線相交，但直線與雙曲

線相交不一定有△>（），當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交

點，故A>0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；△〉On直線與拋物線相

交，但直線與拋物線相交不一定有△>（）,當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線

相交且只有一個交點，故A>0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如

（1）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是

（答：（-",-1））;（2）直線y—kx—1=0與橢圓土+二=1恒有公共點，則m的取值

35m

2y2

范圍是（答：口，5）U（5,+8））；（3）過雙曲X線=1的右焦點直線交雙

曲線于A、B兩點，若|AB|=4,則這樣的直線有—.條（答：3）；

（2）相切：△=€）=直線與橢圓相切；△=（）=直線與雙曲線相切；△=（）=直線

與拋物線相切；

（3）相離：A<0。直線與橢圓相離；A<0=直線與雙曲線相離；A<0=直線

與拋物線相離。

特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切

和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交，但只有?個交點；如果直線

22

與拋物線的軸平行時，直線與拋物線相交，也只有一個交點；（2）過雙曲線二-與=1外一

ab

點P（x0,%）的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：①P點在兩條漸近線之間且不含

雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四

條；②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與

雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與

另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外」

點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點:兩條切線和條平行于對稱軸的直線。如（1）

過點（2,4）作直線與拋物線丁=阮只有一個公共點，這樣的直線有（答：2）；（2）過

22

點（0,2）與雙曲線工-匕=1有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為（答：

916

44、/?〕v2

k-,±—（3）過雙曲線/一匕=1的右焦點作直線/交雙曲線于A、B兩點，若

33J2

|A4=4,則滿足條件的直線/有條（答：3）；（4）對于拋物線C：y2=4x,我們稱

滿足），（/<44的點在拋物線的內(nèi)部，若點MQo,%）在拋物線的內(nèi)部，則直線/：

），小=2*+/）與拋物線?的位置關(guān)系是（答：相離）；（5）過拋物線V=4x的焦

點F作一直線交拋物線于P、Q兩點,若線段PF與FQ的長分別是p、q,則上+,=

pq

V2

（答：1）；（6）設(shè)雙曲線^--乙=1的右焦點為F,右準線為/,設(shè)某直線機交其左支、

169

右支和右準線分別于P,Q,R,則ZPFR和ZQFR的大小關(guān)系為（填大于、小

于或等于）（答：等于）；（7）求橢圓7/+4/=28上的點到直線3x-2y-16=0的最短距

離（答：*3）；（8）直線＞=辦+1與雙曲線3》2-尸=1交于4、B兩點。①當。為何

值時，4、B分別在雙曲線的兩支上？②當。為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點？

（答：①卜百）；②。=±1）；

7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定

義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準線的距離，即焦半徑「=〃，其中d表示P到與F所對應(yīng)的準線的距離。

如（1）已知橢圓三+二=1上一點P到橢圓左焦點的距離為3,則點P到右準線的距離為

2516

35

—（答：y）;（2）已知拋物線方程為》2=舐，若拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離等于5,

則它到拋物線的焦點的距離等于—；（3）若該拋物線上的點M到焦點的距離是4,則點M

22

的坐標為（答：7,（2,±4））；（4）點p在橢圓二+2_=1上，它到左焦點的距離是它

259

25

到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標為（答：三）；（5）拋物線V=2x上的兩

點A、B到焦點的距離和是5,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為（答：2）：（6）橢

圓7-+胃-=1內(nèi)有一點,F為右焦點，在橢圓上有一點M,使|MP|+21MH之值

最小，則點M的坐標為（答：（手,_1））；

8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題：常利用第一

定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點P（%,九）到兩焦點耳,工的距離分

X2y22b2

別為大小焦點kF\PFa的面積為S,則在橢圓三+J=1中，①。：arccos（—--1）,

ahrxr2

_20

且當外=弓即尸為短軸端點時，6最大為0max=arccos------；②S=〃tan—二c|%|,

a2

22

當|%|=6即P為短軸端點時，Smax的最大值為be；對于雙曲線的焦點三角形

ab

（2b2\i°

有：①。=arccos1-----；②S二一八々sin。=/cot—。如（1）短軸長為V5,離心

I^1）22

率e=|的橢圓的兩焦點為甚、%,過K作直線交橢圓于A、B兩點，則兇8死的周長為

（答：6）；（2）設(shè)P是等軸雙曲線/一＞2=/僅＞o）右支上一點，F(xiàn)|、F2是左右

焦點，若麗?證=0,阿卜6,則該雙曲線的方程為（答：X2-/=4）;

22

（3）橢圓二+±=1的焦點為F|、F2,點P為橢圓上的動點，當前z?市?〈0時，點P的

94

橫坐標的取值范圍是—（答：（-孚，竽））；（4）雙曲線的虛軸長為4,離心率e=坐，

F,＞F2是它的左右焦點，若過&的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點,且是|4周與怛乃|

等差中項，則|"|=（答：872）；（5）已知雙曲線的離心率為2,F1、F2是左

右焦點，P為雙曲線上一點，且Nf；Pp2=60°，SAPF內(nèi)=12百.求該雙曲線的標準方程

9、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準

線相切；（2）設(shè)AB為焦點弦，M為準線與x軸的交點，則NAMF=/BMF；（3）設(shè)AB為焦

點弦，A、B在準線上的射影分別為A[，B],若P為A]B1的中點，則PAJ_PB；（4）若AO的

延長線交準線于C,則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，

貝UA,0,C三點共線。

10、弦長公式：若直線y=+b與圓錐曲線相交于兩點A、B,月.%,馬分別為A、B

的橫坐標，則卜川=Jl+L2k「司,若%,當分別為A、B的縱坐標，則卜卻=

11+）回一乃卜若弦AB所在直線方程設(shè)為x=ky+。，則+公|弘_%|。特

別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點

弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。如（1）過拋物線y2=4x的焦點作直線交

拋物線于A（xi，y,）,B（X2,y2）兩點,若x1+x2=6,那么|AB|等于（答：8）；（2）

過拋物線/=2x焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=10,O為坐標原點，則4

ABC重心的橫坐標為（答：3）；

11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。

y2y2b2X

在橢圓—+==1中，以P*。4。）為中點的弦所在直線的斜率k=-f2；在雙曲線

ahayQ

22h2

Jx—二v=1中，以P（%,yo）為中點的弦所在直線的斜率k=—x；在拋物線

a"/ray0

y2=2px（p>0）中，以P（x0,%）為中點的弦所在直線的斜率k='。如（1）如果橢圓

%

22

工+匕=1弦被點A（4,2）平分，那么這條弦所在的直線方程是（答：

369

22

x+2y—8=0）；（2）已知直線y=—x+1與橢圓[+4=15〉8>0）相交于人、B兩點，

ab

且線段AB的中點在直線L：x—2y=0上，則此橢圓的離心率為（答：與）;（3）

r22

試確定m的取值范圍，使得橢圓、+'v=1上有不同的兩點關(guān)于直線y=4x+加對稱（答:

特別提醒：因為A>0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、

對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗△>0!

12.你了解下列結(jié)論嗎？

2222

（1）雙曲線二一22=1的漸近線方程為二_2L=o；

a2b2a2b2

r2,?

（2）以丁=±儀］為漸近線（即與雙曲線二—2L=i共漸近線）的雙曲線方程為

aa2b2

"人為參數(shù)，2^0）。如與雙曲線9-福=1有共同的漸近線，且過點（—32后）

4r22

的雙曲線方程為（答：—-^v-=1）

94

（3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為如2+〃y2=］；

2b2

（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為‘焦準距（焦點到相

a

b2

應(yīng)準線的距離）為幺，拋物線的通徑為2p,焦準距為p；

c

（5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；

（6）若拋物線y2=2px（p〉0）的焦點弦為AB,A（x1,y｝）,B（x2,y2）,則

2

①IA8|=玉+々+P；②占%2=々，）'必=一"2

（7）若OA、0B是過拋物線y2=2Px（p>0）頂點0的兩條互相垂直的弦，則直線AB

恒經(jīng)過定點（2p,0）

13.動點軌跡方程：

（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍；

（2）求軌跡方程的常用方法：

①直接法:直接利用條件建立x,y之間的關(guān)系F（x,y）=0；如已知動點P到定點F（l,0）

和直線x=3的距離之和等于4,求P的軌跡方程.（答：y2=-i2（x-4）（34xW4）或

y2=4x（0<x<3））；

②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型,求曲線方程一一先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程,

再由條件確定其待定系數(shù)。如線段AB過x軸正半軸上一點M（m,0）（機〉0）,端點A、

B到x軸距離之積為2m,以x軸為對稱軸，過A、0、B三點作拋物線，則此拋物線方程

為（答：V=2x）；

③定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點

的軌跡方程;如⑴由動點P向圓X?+丁=1作兩條切線PA、PB,切點分別為A、B,ZAPB=60°,

則動點P的軌跡方程為（答:x2+y2^4）；（2）點M與點F（4,0）

的距離比它到直線/：x+5=0的距離小于1,則點M的軌跡方程是.—（答：y2=i6x）；

（3）一動圓與兩圓x2+y2=l和。N：/+/2_"+12=0都外切，則動圓圓心的

軌跡為（答：雙曲線的一支）；

④代入轉(zhuǎn)移法：動點尸（x,y）依賴于另一動點。（%,%））的變化而變化，并且。（%,%）

又在某已知曲線上，則可先用x,y的代數(shù)式表示/,加，再將公,%代入已知曲線得要求的

軌跡方程；如動點P是拋物線y=2/+1上任?點，定點為4（0,-1）,點M分市所成的比

為2,則M的軌跡方程為（答：y=6^_l）；

3

⑤參數(shù)法：當動點P（x,y）坐標之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可

考慮將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。如（1）

AB是圓0的直徑，且|AB|=2a,M為圓上一動點，作MNL'B,垂足為N,在0M上取點P,

22

使|OP|=|MN|,求點尸的軌跡。（答：x+y=a\y\）i（2）若點「（馬,％）在圓/+V=1

上運動，則點。(匹必,王+必)的軌跡方程是—(答：/=2x+l(|x|<^))；(3)過拋

2

物線x=4y的焦點F作直線I交拋物線于A、B兩點,則弦AB的中點M的軌跡方程是—

(答：*2=2),—2).

注意：①如果問題中涉及到平面向量知識,那么應(yīng)從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向

量的兒何形式進行''摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進行“摘帽子或脫靴

子”轉(zhuǎn)化。如已知橢圓—+氏=1(。>6>0)的左、右焦點分

別是Fi(—c,0)、F2(C,0),Q是橢圓外的動點，滿足|其4|=2a.

，巴嬰段B”該橢圓的交點，點T在線段F?Q上，并且滿足

而?沅=0,|麗依0.(1)設(shè)x為點P的橫坐標，證明

\F^P\=a+-x；(2)求點T的軌跡C的方程；(3)試問：在點

a

T的軌跡C上，是否存在點M,使AFiMFz的面積S=〃.若存在，求NF1MF2的正切值；若

〃h2

不存在，請說明理由.(答：(1)略；(2)x2+y2=/；(3)當一〉。時不存在；當一4”

cc

時存在，此時NF1MF2=2)

②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注意

軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.

③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的

雙重身份一一時稱性、利用到角公式)、”方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分

類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.

④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應(yīng)用“斜率或向量”為

橋梁轉(zhuǎn)化.

14、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：

(1)給出直線的方向向量q=(1?)或7=(〃?,〃)；

(2)給出方+而與A8相交，等于已知況+為過A8的中點；

(3)給出麗+麗=6,等于已知P是MN的中點；

(4)給出而+而=2廊+旗)，等于已知P,。與A3的中點三點共線；

(5)給出以下情形之一：①踵〃菽；②存在實數(shù)4使,分=幾彳6；③若存在實數(shù)

a,夕,且a+￡=1,使麗=aOA+(3OB，等于已知A,B,C三點共線.

(6)給出。2=上-----等于已知P是A8的定比分點，幾為定比，即A尸=

1+/1

(7)給出忘?贏=0,等于已知M4，MB,即ZAMB是直角，給出

而?癡=m<0,等于已知ZAMB是鈍角，給出忘?贏=機>0,等于已知NAMB是

銳角，

/______\

MAMB---

(8)給H14+尸=y=MP,等于已知MP是NAM8的平分線/

〔網(wǎng)網(wǎng)J__________________

(9)在平行四邊形48co中，給出(Q+詬)?(而—石)=0,等于已知A6C0是

菱形；

(10)在平行四邊形ABCO中，給出|45+4。|=|48—4。|,等于已知46co是

矩形；

------2-----?2-------2

（11）在AA8C中，給出。＜=0B=0C,等于已知。是A48c的外心（三角形

外接圓的圓心，三角形的外心是坐七邊整平分線的交點）；

（12）在A48c中，給出萬X+而+麗=6,等于已知。是A4BC的重心（三角

形的重心是三角形三條中線的嬰）；

（13）在AABC中，給出了?麗=麗?瓦=5〒?萬X,等于已知。是AABC的垂

心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；

——?——*ARAC—?

（14）在A4BC中，給出OP=OA+4=^+^^）（丸仁？）等于已知4P通過

\AB\|AC|

△ABC的內(nèi)心；

（15）在A4BC中，給出a?方+b?而+5發(fā)=正等于已知。是AA8C的內(nèi)心（三

角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）；

（16）在AA8C中，給出而=；（而+元）,等于已知AO是MB。中邊的中

線；

高考數(shù)學概念方法題型易誤點技巧總結(jié)（九）

直線、平面、簡單多面體

1、三個公理和三條推論：

（1）公理1：一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點都在這個平

面內(nèi)。這是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法。

（2）公理2、如果兩個平面有兩個公共點，它們有無數(shù)個公共點，而且這無數(shù)個公共

點都在同條直線上。這是判斷幾點共線（證這幾點是兩個平面的公共點）和三條直線共點

（證其中兩條直線的交點在第三條直線上）的方法之'?

（3）公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點有且只有一個平面。推論1：經(jīng)過直線和直線

外點有且只有?個平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面。推論3：經(jīng)過兩

條平行直線有且只有一個平面。公理3和三個推論是確定平面的依據(jù)。如（1）在空間四點

中，三點共線是四點共面的條件（答：充分非必要）；（2）給出命題：①若AC/,A

ea,Be/,BGa,則/ua;②若AGa,AGB,BGa,BGB,則anB=AB；

③若/?a,AG/,則A^a④若A、B、CWa,A、B、CGP,且A、B、C不共線，

則a與B重合。上述命題中，真命題是（答：①②④）；（3）長方體中ABCD-AiB|C】D|

中，AB=8,BC=6,在線段BD,A|G上各有一點P、Q,在PQ匕有一點M,且PM=MQ,

則M點的軌跡圖形的面積為（答：24）

2、直觀圖的畫法（斜二側(cè)畫法規(guī)則）：在畫直觀圖時，要注意：（1）使Nx'o'y'=135°,

xby所確定的平面表示水平平面。（2）已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中

保持長度和平行性不變，平行于）'軸的線段平行性不變，但在直觀圖中其長度為原來的一

半。如（1）用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為如下圖的一個正方形，則原來圖形

的形狀是（）（答：A）

（2）已知正AA8C的邊長為。，那么AA8C的平面直觀圖AA'8'C'的面積為（答:

3、空間直線的位置關(guān)系：（1）相交直線一一有且只有一個公共點。（2）平行直線一一

在同一平面內(nèi)，沒有公共點。（3）異面直線一一不在同一平面內(nèi)，也沒有公共點。如（1）

空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的中點，則直線EG和FH的位置關(guān)系—

（答：相交）；（2）給出下列四個命題：①異面直線是指空間既不平行又不相交的直線；②

兩異面直線“力，如果。平行于平面a,那么人不平行平面a；③兩異面直線a力，如果a，

平面a,那么6不垂直于平面a；④兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直

線。其中正確的命題是_____（答：①③）

4、異面直線的判定：反證法。如（1）“a、b為異面直線”是指：①aCb=①，

但a不平行于b；②au面a,bu面［3且aCb=①；③au面a,bu面p且aPlB=

①；④au面a,b（Z面a；⑤不存在平面a,能使au面a且bu面a成立。上述結(jié)論

中，正確的是（答：①⑤）；（2）在空間四邊形ABCD中，M、N分別是AB、CD的

中點，設(shè)BC+AD=2a,則MN與a的大小關(guān)系是（答：MN<a）；（3）若E、F、G、H

順次為空間四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、DA的中點，且EG=3,FH=4,貝AC2+BD2=

（答：50）；（4）如果a、b是異面直線，P是不在a、b上的任意一點，下列四個結(jié)

論：①過點P一定可以作直線/與a、b都相交；②過點P一定可以作直線/與a、b都

垂直；③過點P一定可以作平面a與a、b都平行；④過點P一定可以作直線/與a、b

都平行。其中正確的結(jié)論是（答：②）；（5）如果兩條異面直線稱作一對，那么正方體

的十二條棱中異面直線的對數(shù)為（答：24）；（6）已知平面

ac平面￡=ua/ca=A,cu且c〃a,求證：b、c是異面直線.

7T

5、異面直線所成角。的求法：（1）范圍：（2）求法：計算異面直線所成

角的關(guān)鍵是生移（中點平移，頂點平移以及補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,

如正方體、平行六面體、長方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為相交兩直

線的夾角。如（1）正四棱錐P-A8CO的所有棱長相等，E是PC的中點，那么異面直線

8E與PA所成的角的余弦值等于（答：—）；（2）在正方體AG中，M是側(cè)棱DD|

3

的中點，O是底面ABCD的中心，P是棱A|B|上的一點，則OP與AM所成的角的大小為

—（答:90°）；（3）已知異面直線a、b所成的角為50°,P為空間一點，則過P且與a、

b所成的角都是30°的直線有且僅有條（答：2）；（4）若異面直線a力所成的角為上，

3

且直線C，。，則異面直線伉。所成角的范圍是_（答：［工,工］）;

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6、異面直線的距離的概念：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線。

兩條異面直線的公垂線有且只有?條。而和兩條異面直線都垂直的直

線有無數(shù)條，因為空間中，垂直不一定相交。如（1）ABCD是矩形，

沿對角線AC把AADC折起，使ADJLBC,求證：BD是異面直線AD

與BC的公垂線；（2）如圖，在正方體ABC。一ABiGQ中，EF是異

面直線AC與的公垂線，則由正方體的八個頂點所連接的直線中，

與E尸平行的直線有條（答：1）；

7、兩直線平行的判定：（1）公理4：平行于同一直線的兩直線互相平行；（2）線面平

行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線

和這條直線平行；（3）面面平行的性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它

們的交線平行；（4）線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線

平行。

8、兩直線垂直的判定：（1）轉(zhuǎn)化為證線面垂直；（2）三垂線定理及逆定理。

9、直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)；（2）直線與平面相交。其中，如果一

條直線和平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。注意：任一條直線

并不等同于無數(shù)條直線；（3）直線與平面平行。其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫

作直線在平面外。如（1）下列命題中，正確的是A、若直線。平行于平面a內(nèi)的一條直

線b,則?！╝B、若直線。垂直于平面a的斜線b在平面a內(nèi)的射影，則aJ_bC、

若直線。垂直于平面a,直線b是平面a的斜線，則。與b是異面直線D、若一個棱錐

的所有側(cè)棱與底面所成的角都相等，且所有側(cè)面與底面所成的角也相等，則它一定是正棱錐

（答：D）；（2）正方體ABCD-A|B|GD|中，點P在側(cè)面BCGBi及其邊界上運動，并且總

保持APLBDi，則動點P的軌跡是（答：線段BC）。

10、直線與平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定：①判定定理：如果平面內(nèi)一條直線和

這個平面平面平行，那么這條直線和這個平面平行；②面面平行的性質(zhì)：若兩個平面平行,

則其中一個平面內(nèi)的任何直線與另一個平面平行。（2）性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行,

那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交的交線和這條直線平行。在遇到線面平行時，常需

作出過已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運用線面平行的性質(zhì)。如（1）a、B

表示平面，a、b表示直線，則a〃a的一個充分不必要條件是A、a±3,a_LB

8、＜1門田=13,且2〃5C、a〃b且b〃aD、a〃B且au|3（答：。）；（2）正方體ABCD-A

IBICDI中，點N在BD上，點M在BC上，且CM=DN,求證：MN〃面AA|B|B。

11、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：①如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相

交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。②兩條平行線中有一條直線和一個平面垂直,

那么另一條直線也和這個平面垂直。（2）性質(zhì)：①如果一條直線和一個平面垂直，那么這條

直線和這個平面內(nèi)所有直線都垂直。②如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線

平行。如（1）如果命題“若x_Ly,y〃z,不成立，那么字母x、y、z在空間所

表示的幾何圖形一定是（答：x、y是直線，z是平面）；（2）已知a,b,c是直線，a、

B是平面，下列條件中能得出直線a,平面a的是A、aJ_b,a_Lc其中bua,cua

B、alb,b〃aC、a_LB,a〃6D、a〃b,b_La（答：￡））；（3）AB為00

的直徑，C為。O上的一點，AD_L面ABC,AEJ_BD于E,AF_LCD于F,求證：BDJ_平

面AEFo

12、三垂線定理及逆定理：（1）定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一

條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。（2）逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它

和這個平面的?條斜線，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。其作用是證兩直線異面

垂直和作二面角的平面角。

13、直線和平面所成的角：（1）定義：平面的?條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳

角，叫這條直線和這個平面所成的角。（2）范圍：［0°,90。］；（3）求法：作出直線在平面上

的射影；（4）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。如（1）

在正三棱柱ABC-AiB|C|中，已知AB=1,D在棱BB|上，BD=1,則AD與平面AAQC所

n

成的角為（答：arcsin—）；（2）正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是AB、CD

4

的中點，則棱A|B|與截面AFCF所成的角的余弦值是（答：1）；（3）PA,PB,PC

是從點P引出的三條射線，每兩條的夾角都是60。，則直線PC與平面尸48所成角的余弦

值為（答：—（4）若一平面與正方體的十二條棱所在直線都成相等的角。，則

--------3

sin0的值為（答：—

--------3

14、平面與平面的位置關(guān)系：（1）平行一一沒有公共點；（2）相交一一有一條公共直

線。

15、兩個平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定：一個如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一

個