必修2第四章第2節(jié)直線、圓的位置關(guān)系-46

年級高一學(xué)科數(shù)學(xué)版本人教新課標(biāo)A版課程標(biāo)題必修2第四章第2節(jié)直線、圓的位置關(guān)系編稿老師劉震一校李秀卿二校林卉審核王百玲一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能說出直線與圓的位置的種類；利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離；會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系．2.知道圓與圓的位置的種類；會利用兩點間的距離公式求兩圓的連心線長；會用連心線長判斷兩圓的位置關(guān)系．二、重點、難點： 重點：直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系的幾何圖形及其判別方法。 難點：用坐標(biāo)法判別直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系。三、考點分析：圓的方程是歷年來高考的重點，對于圓的方程的考查，主要集中在直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，軌跡問題及與圓有關(guān)的最值問題上。題型既有選擇題、填空題，也有解答題，既考查應(yīng)用根底知識的能力，又考查綜合運(yùn)用知識分析問題、解決問題的能力。利用定義和性質(zhì)，結(jié)合代數(shù)、解析幾何的根本思想，將所給條件轉(zhuǎn)化，是今后高考的命題方向。1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線：，圓：，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，那么判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：〔1〕當(dāng)時，直線與圓相離；〔2〕當(dāng)時，直線與圓相切；〔3〕當(dāng)時，直線與圓相交。2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓與圓的半徑分別為，圓心距為〔1〕當(dāng)時，圓與圓相離；〔2〕當(dāng)時，圓與圓外切；〔3〕當(dāng)時，圓與圓相交；〔4〕當(dāng)時，圓與圓內(nèi)切；〔5〕當(dāng)時，圓與圓內(nèi)含；3.圓的弦和切線〔1〕圓的半徑為，直線與圓相交于A、B，圓心到的距離為，那么?！?〕以圓上一點為切點的切線方程⊙O1：，⊙O2：，⊙O3：，那么以為切點的⊙O1的切線方程為。⊙O2的切線方程為⊙O3的切線方程為4.圓系方程雖然高考對圓系方程未作要求，但是有些題目利用圓系方程解決比擬方便?！?〕過兩圓和的交點的圓系方程為〔其中不含〕，假設(shè)，那么方程為兩圓公共弦所在的直線方程。〔2〕假設(shè)圓與直線相交，那么過它們交點的圓系方程為，以上方程中為參數(shù)。知識點一：利用直線與圓的位置關(guān)系求圓的方程例1.求圓心在直線上，并且與直線相切于點的圓的方程。思路分析：可以考慮利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑的大小。解答過程：方法一：設(shè)所求圓的方程為依題意有解得，，。所求圓的方程為。方法二：由于圓心既在直線上，又在過切點〔3，－2〕與切線垂直的直線，即上，解方程組可得圓心〔1，－4〕，于是，所求圓的方程為。解題后的思考：求圓的方程有以下兩類方法：〔1〕幾何法，通過研究圓的性質(zhì)，直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系，求得圓的根本量和方程。〔2〕代數(shù)法，即用“待定系數(shù)法”求圓的方程，其一般步驟是：①根據(jù)題意選擇方程的形式；②利用條件列出關(guān)于、、或D、E、F的方程組；③解出、、或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。知識點二、直線與圓相交問題例2.圓與直線相交于P、Q兩點，O為坐標(biāo)原點，假設(shè)，求實數(shù)的值。思路分析：由方程思想，利用垂直條件，建立關(guān)于m的方程求解解答過程：設(shè)點P、Q的坐標(biāo)分別為、，由，得①由消去并整理，得。。②又、Q在直線上，。③將②③代入①有。解得，適合，。解題后的思考：在解答中，我們采用了對直線與圓的交點“設(shè)而不求”的解法技巧，但必須注意這樣的交點是否存在，可由判別式大于零幫助考慮。知識點三、相交弦問題例3.點P〔0，5〕及圓?！?〕假設(shè)直線過P且被圓C截得的線段長為，求的方程?！?〕求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程。思路分析：〔1〕可以用代數(shù)法——將直線的斜率設(shè)出〔優(yōu)先考慮斜率不存在的情況〕，寫出直線方程，并將其代入圓C的方程，然后運(yùn)用弦長公式來解決；也可以用幾何法——設(shè)出直線的方程；，首先注意斜率不存在的情況，運(yùn)用圓心到直線的距離，圓半徑和一半弦長構(gòu)成直角三角形來解決?！?〕中點弦問題，可以考慮“代點作差法”，也可以利用“垂直于弦的直徑平分弦”這一幾何特征來求解。解答過程：〔1〕①存在。設(shè)②不存在。。此時弦長?！?〕設(shè)中點為M〔x，y〕兩式相減。解題后的思考：有關(guān)直線和圓的相交弦問題可以考慮用垂徑定理，數(shù)形結(jié)合的方法求解。有關(guān)弦中點的問題可以考慮用差分法求解。知識點四、求圓的切線例4.〔1〕求過的切線方程?！?〕求過點的切線方程。思路分析：先判斷點和圓的位置關(guān)系再求解解答過程：〔1〕〔2〕①切線斜率存在設(shè)切線方程為整理得：，解得那么②切線斜率不存在x=2解題后的思考：1.點在圓上時切線的求法求過圓上一點的圓的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為，由點斜式可得切線方程。如果斜率為零或不存在，那么由圖形可直接得切線方程或。2.點在圓外時切線的求法①幾何法：設(shè)切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得，也就得切線方程。②代數(shù)法：設(shè)切線方程為，與圓的方程聯(lián)立，消去后得到關(guān)于的一元二次方程，由求出，可得切線方程。當(dāng)用上述方法只得一條時，另一條應(yīng)為，因為在上述解法中不包括斜率不存在的情況，點在圓外時，切線有兩條。知識點五、圓的位置關(guān)系例5.圓，圓，試就的取值討論兩圓的位置關(guān)系。思路分析：先把兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求兩圓的圓心距，進(jìn)而判斷與，的關(guān)系。解答過程：：。：。，①或外離②內(nèi)含③或外切④或內(nèi)切⑤或兩圓相交解題后的思考：要弄清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系對兩圓位置關(guān)系的影響知識點六、圓系方程的應(yīng)用例6.〔1〕求過直線和圓的交點，且過原點的圓的方程。〔2〕求圓心在直線上，且經(jīng)過兩圓和的交點的圓的方程。思路分析：可用待定系數(shù)法，由兩交點坐標(biāo)和過原點的條件，求出待定系數(shù)，也可用圓系方程求經(jīng)過兩圓交點的圓的方程。解答過程：〔1〕設(shè)。。〔2〕設(shè)經(jīng)過兩圓的交點的圓的方程為，那么其圓心坐標(biāo)為。所求圓的圓心在直線上，，即，所求圓的方程為。即。解題后的思考：解決有關(guān)過直線和圓交點、圓與圓交點的圓的問題，利用圓系方程可以簡化解題過程。討論點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時，一般可以從代數(shù)特征〔方程組解的個數(shù)〕或幾何特征〔點或直線到圓心的距離和兩圓的圓心距與半徑的關(guān)系〕去考慮，其中用幾何特征較為簡捷、實用。一、預(yù)習(xí)新知 思考：請同學(xué)們預(yù)習(xí)必修2第四章第3節(jié)空間直角坐標(biāo)系二、預(yù)習(xí)點撥通過預(yù)習(xí)，請同學(xué)們答復(fù)以下問題：1.怎樣確定空間直角坐標(biāo)系？怎樣確定點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)？2.空間兩點間的距離公式是什么？〔答題時間：60分鐘〕一、選擇題：1.圓與直線及都相切，圓心在直線上，那么圓C的方程為〔〕A.B.C.D.2.兩圓與的公切線條數(shù)為〔〕A.4條B.3條C.2條D.1條3.如果直線與圓交于M、N兩點，且M、N關(guān)于直線對稱，那么不等式組表示的平面區(qū)域的面積是〔〕A.2B.1C.D.4.直線與圓交于E、F兩點，那么〔O為原點〕的面積為〔〕A.B.C.D.二、填空題5.過原點O作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為P、Q，那么線段PQ的長為__________。6.假設(shè)直線與曲線恰有一個公共點，那么的取值范圍是____________。7.P〔1，2〕為圓內(nèi)一定點，過P作兩條互相垂直的任意弦交圓于點B、C，那么BC中點M的軌跡方程為_____________。8.兩圓和相交于A，B兩點，那么直線AB的一般式方程是________________。三、解答題：9.實數(shù)、滿足方程。求〔1〕的最大值和最小值；〔2〕的最小值；〔3〕的最大值和最小值。10.圓經(jīng)過點A〔2，－1〕，圓心在直線上且與直線相切，求圓的方程。

一、選擇題：1.B解析：設(shè)圓心為，由得，，解得，半徑為，圓的方程為。2.C解析：⊙O1為，O1〔3，－8〕，，⊙O2為，O2〔－2，4〕，，，，兩圓相交。公切線有2條。3.D解析：直線，，圓心在直線上。。不等式組化簡為相應(yīng)的平面區(qū)域如圖中的陰影所示，易得其面積為，應(yīng)選D。4.D解析：圓心到直線的距離為。弦長。又原點O到直線的距離為，。二、填空題：5.4解析：如圖，弦長，由∽，，，，，。6.或解析：利用數(shù)形結(jié)合。7.解析：中，〔直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半〕。故所求軌跡方程為8.解析：方程整理為一般式得。兩方程作差得即，這就是直線AB的一般式方程。三、解答題：9.解：〔1〕如圖，方程表示以點〔2,0〕為圓心，以為半徑的圓。設(shè)，即，當(dāng)圓心〔2,0〕到的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值。由，解得