人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)24.3　正多邊形和圓練習(xí)題

/24.3正多邊形和圓知識(shí)點(diǎn)1正多邊形與圓的關(guān)系1．如果一個(gè)四邊形的外接圓與內(nèi)切圓是同心圓,那么這個(gè)四邊形一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．不能確定2．如圖24－3－1所示,△ABC是⊙O的內(nèi)接等腰三角形,頂角∠BAC＝36°,弦BD,CE分別平分∠ABC,∠ACB.求證：五邊形AEBCD是正五邊形．圖24－3－1知識(shí)點(diǎn)2與正多邊形有關(guān)的計(jì)算3．如果一個(gè)正多邊形的中心角為72°,那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是()A．4B．5C．6D．74．假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為6,那么其內(nèi)切圓半徑的大小為()A．3eq\r(2)B．3C．6D．6eq\r(2)5．2019·南平假設(shè)正六邊形的半徑為4,那么它的邊長(zhǎng)等于()A．4B．2C．2eq\r(3)D．4eq\r(3)6．如圖24－3－2所示,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,那么∠ADB的度數(shù)是()圖24－3－2A．60°B．45°C．30°D．22.5°7．正八邊形的中心角等于________度．8．將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正八邊形補(bǔ)成如圖24－3－3所示的正方形,這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于________．(結(jié)果保存根號(hào))圖24－3－39．2019·資陽邊長(zhǎng)相等的正五邊形和正六邊形如圖24－3－4所示拼接在一起,那么∠ABC＝________°.圖24－3－410．如圖24－3－5,正五邊形ABCDE,M是CD的中點(diǎn),連接AC,BE,AM.求證：(1)AC＝BE；(2)AM⊥CD.圖24－3－5知識(shí)點(diǎn)3與正多邊形有關(guān)的作圖11．⊙O和⊙O上的一點(diǎn)A,作⊙O的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形(點(diǎn)A為正方形和正六邊形的頂點(diǎn))．12．如圖24－3－6所示,⊙O的內(nèi)接多邊形的周長(zhǎng)為3,⊙O的外切多邊形的周長(zhǎng)為3.4,那么以下各數(shù)中與此圓的周長(zhǎng)最接近的是()圖24－3－6A.eq\r(6)B.eq\r(8)C.eq\r(10)D.eq\r(17)13．假設(shè)AB是⊙O內(nèi)接正五邊形的一邊,AC是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊,那么∠BAC等于()A．120°B．6°C．114°D．114°或6°14．假設(shè)等腰直角三角形的外接圓半徑的長(zhǎng)為2,那么其內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)為()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)－2C．2－eq\r(2)D.eq\r(2)－115．2019·達(dá)州以半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形,那么該三角形的面積是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)16．2019·云南如圖24－3－7,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD外切于⊙O,切點(diǎn)分別為E,F,G,H.那么圖中陰影局部的面積為________．圖24－3－717．如圖24－3－8,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,假設(shè)⊙O的內(nèi)接正三角形ACE的面積為48eq\r(3),試求正六邊形的周長(zhǎng)．圖24－3－818．如圖24－3－9①②③④,M,N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC,正方形ABCD,正五邊形ABCDE,…,正n邊形ABCDEFG…的邊AB,BC上的點(diǎn),且BM＝CN,連接OM,ON.圖24－3－9(1)求圖①中∠MON的度數(shù)；(2)圖②中,∠MON的度數(shù)是________,圖③中∠MON的度數(shù)是________；(3)試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形的邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫出答案)．教師詳解詳析1．C[解析]只有正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓才是同心圓,故這個(gè)四邊形是正方形．應(yīng)選C.2．證明：∵△ABC是等腰三角形,且∠BAC＝36°,∴∠ABC＝∠ACB＝72°.又∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°,即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE,∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(AE,\s\up8(︵)),∴A,E,B,C,D是⊙O的五等分點(diǎn),∴五邊形AEBCD是正五邊形．3．B[解析]設(shè)這個(gè)正多邊形為正n邊形,由題意可知72n＝360,解得n＝5.應(yīng)選B.4．B5．A[解析]正六邊形的中心角為360°÷6＝60°,那么外接圓的半徑和正六邊形的邊組成一個(gè)等邊三角形．因?yàn)檎呅蔚耐饨訄A半徑等于4,所以正六邊形的邊長(zhǎng)等于4.6．C[解析]連接OB,那么∠AOB＝60°,∴∠ADB＝eq\f(1,2)∠AOB＝30°.7．458．1＋eq\r(2)[解析]如圖,∵△BDE是等腰直角三角形,BE＝1,∴BD＝eq\f(\r(2),2),∴正方形的邊長(zhǎng)等于AB＋2BD＝1＋eq\r(2).9．24[解析]正六邊形的一個(gè)內(nèi)角＝eq\f(1,6)×(6－2)×180°＝120°,正五邊形的一個(gè)內(nèi)角＝eq\f(1,5)×(5－2)×180°＝108°,∴∠BAC＝360°－(120°＋108°)＝132°.∵兩個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)相等,即AB＝AC,∴∠ABC＝eq\f(1,2)×(180°－132°)＝24°.10．證明：(1)由五邊形ABCDE是正五邊形,得AB＝AE,∠ABC＝∠BAE,AB＝BC,∴△ABC≌△EAB,∴AC＝BE.(2)連接AD,由五邊形ABCDE是正五邊形,得AB＝AE,∠ABC＝∠AED,BC＝ED,∴△ABC≌△AED,∴AC＝AD.又∵M(jìn)是CD的中點(diǎn),∴AM⊥CD.11．解：如下圖．作法：①作直徑AC；②作直徑BD⊥AC,依次連接AB,BC,CD,DA,那么四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形；③分別以點(diǎn)A,C為圓心,OA的長(zhǎng)為半徑畫弧,交⊙O于點(diǎn)E,H和F,G,順次連接AE,EF,FC,CG,GH,HA,那么六邊形AEFCGH為⊙O的內(nèi)接正六邊形．12．C[解析]根據(jù)兩點(diǎn)之間,線段最短可得圓的周長(zhǎng)大于3而小于3.4,選項(xiàng)中只有C滿足要求．13．D[解析]分兩種情況考慮：(1)如圖①所示,∵AB是⊙O內(nèi)接正五邊形的一邊,∴∠AOB＝eq\f(360°,5)＝72°.∵AC是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊,∴∠AOC＝eq\f(360°,6)＝60°,∴∠BOC＝72°－60°＝12°,∴∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝6°.(2)如圖②所示,∠AOB＝72°,∠AOC＝60°,∴∠OAB＝54°,∠OAC＝60°,∴∠BAC＝60°＋54°＝114°.綜上所述,可知選D.14．B[解析]∵等腰直角三角形的外接圓半徑為2,∴此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為4,兩條直角邊的長(zhǎng)均為2eq\r(2).如圖,根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得CD＝CE＝r,AD＝BE＝AO＝BO＝2eq\r(2)－r,∴AB＝AO＋BO＝4eq\r(2)－2r＝4,解得r＝2eq\r(2)－2.應(yīng)選B.15．A[解析]如圖①,∵OC＝2,∴OD＝1；如圖②,∵OB＝2,∴OE＝eq\r(2)；如圖③,∵OA＝2,∴OD＝eq\r(3),那么該三角形的三邊長(zhǎng)分別為1,eq\r(2),eq\r(3).∵12＋(eq\r(2))2＝(eq\r(3))2,∴該三角形是直角三角形,∴該三角形的面積是eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2).應(yīng)選A.16．2π＋4[解析]如圖,連接HO,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)P,連接EO,并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M.∵正方形ABCD外切于⊙O,∴∠A＝∠B＝∠AHP＝90°,∴四邊形AHPB為矩形,∴∠OPB＝90°.又∵∠OFB＝90°,∴點(diǎn)P與點(diǎn)F重合,∴HF為⊙O的直徑,同理：EG為⊙O的直徑．由∠D＝∠OGD＝∠OHD＝90°且OH＝OG知,四邊形DGOH為正方形．同理：四邊形OGCF、四邊形OFBE、四邊形OEAH均為正方形,∴DH＝DG＝GC＝CF＝2,∠HGO＝∠FGO＝45°,∴∠HGF＝90°,GH＝GF＝eq\r(GC2＋CF2)＝2eq\r(2),那么陰影局部面積＝eq\f(1,2)S⊙O＋S△HGF＝eq\f(1,2)·π·22＋eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝2π＋4.故答案為2π＋4.17．解：如圖,連接OA,作OH⊥AC于點(diǎn)H,那么∠OAH＝30°.在Rt△OAH中,設(shè)OA＝R,那么OH＝eq\f(1,2)R,由勾股定理可得AH＝eq\r(OA2－OH2)＝eq\r(R2－〔\f(1,2)R〕2)＝eq\f(1,2)eq\r(3)R.而△ACE的面積是△OAH面積的6倍,即6×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)eq\r(3)R×eq\f(1,2)R＝48eq\r(3),解得R＝8,即正六邊形的邊長(zhǎng)為8,所以正六邊形的周長(zhǎng)為48.18．解：(1)方法一：如圖①,連接OB,OC.圖①∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O,∴∠OBM＝∠OCN＝30°,∠BOC＝120°.又∵BM＝CN,OB＝