2023-2024學年北師大版選擇性必修第一冊 4-3用向量方法研究立體幾何中的度量關系第2課時空間中的距離問題 課件41張

第三章4.3第2課時空間中的距離問題基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達標檢測目錄索引

課程標準能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題.基礎落實·必備知識全過關知識點1

點到平面的距離

如圖,設點P是平面α外一點,點A是平面α內(nèi)的已知點,n0是平面α的單位法向量.過點P作PP'⊥平面α,垂足為點P',則線段PP'的長度就是點P到平面α的就等于線段PP'的長度.點P到平面α的距離,等于點P與平面α內(nèi)任意一點A連線所得向量,在平面α的單位法向量n0方向上所作投影向量的長度,即d=|·n0|.

名師點睛1.如果一條直線l與一個平面α平行,可在直線l上任取一點P,將線面距離轉(zhuǎn)化為點P到平面α的距離求解.2.兩個平行平面之間的距離如果兩個平面α,β互相平行,在其中一個平面α內(nèi)任取一點P,可將兩個平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點P到平面β的距離求解.過關自診1.[人教A版教材習題]在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點A到平面B1C的距離等于

;直線DC到平面AB1的距離等于

;平面DA1到平面CB1的距離等于

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111解析

如圖,點A到平面B1C的距離等于線段AB的長,又AB=1,∴點A到平面B1C的距離為1.∵直線DC∥平面AB1,故直線DC到平面AB1的距離即為點C到平面AB1的距離.又點C到平面AB1的距離為BC的長,BC=1,∴直線DC到平面AB1的距離為1.∵平面DA1∥平面CB1,∴平面DA1到平面CB1的距離即為點A到平面CB1的距離,為線段AB的長,又AB=1,∴兩平行平面的距離為1.2.線面距、面面距與點面距有什么關系?提示

3.[人教B版教材習題]已知A(2,2,0),B(1,4,2),C(0,0,5),求原點O到平面ABC的距離.知識點2

點到直線的距離如圖,設點P是直線l外一點,l0是直線l的單位方向向量,過點P作直線l的垂線,垂足為點P',則垂線段PP'的長度就是點P到直線l的距離.如何求這個距離呢?按照前面的思路,若能求出垂線段PP'的方向向量,則可在直線l上任取一點A,求

方向上的投影向量的長度即可.事實上,在平面向量中就是這樣做的.然而在空間中,求垂線段的方向向量較為困難.但直線l的方向向量已知,所以可先求出

在l0方向上的投影數(shù)量,然后在Rt△PP'A中運用勾股定理求得|PP'|即可.若點P是直線l外一點,l0是直線l的單位方向向量,點A是直線l上任意一點,則點P到直線l的距離為過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)點到直線的距離就是點和直線上任意一點之間的距離.(

)(2)當點在直線上時,點到直線的距離為0.(

)(3)點A到直線l的距離就是點A與直線l上所有點連線的長度的最小值.(

)×√√2.已知點A在直線l外,點P是直線l上的一個動點,AP是否存在最小值?提示

存在.當AP⊥l時,AP存在最小值.3.[人教A版教材習題]如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段DD1的中點,F為線段BB1的中點.(1)求點A1到直線B1E的距離;(2)求點A1到平面AB1E的距離;(3)求直線FC1到平面AB1E的距離.(3)∵FC1∥AE,FC1?平面AB1E,∴FC1∥平面AB1E,∴FC1到平面AB1E的距離即為F到平面AB1E的距離.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一利用空間向量求點線距【例1】

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求點B到直線A1C1的距離.解

以B為坐標原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以直線A1C1的方向向量變式探究1例1中的條件不變,若M,N分別是A1B1,AC的中點,試求點C1到直線MN的距離.變式探究2將例1條件中直三棱柱改為所有棱長均為2的直三棱柱,求點B到A1C1的距離.規(guī)律方法

用向量法求點到直線的距離時需注意以下幾點:(1)不必找點在直線上的垂足以及垂線段;(2)在直線上可以任意選點,但一般選易求得坐標的特殊點;(3)直線的方向向量可以任取,但必須保證計算正確.探究點二利用空間向量求點面距【例2】

如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,側(cè)棱AA1=2,CA=2,D是CC1的中點,試問在線段A1B上是否存在一點E(異于A1,B兩點)使得點A1到平面AED的距離為?如果存在,請說明E點位置;如果不存在,請說明理由.解

以點C為坐標原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(2,0,0),A1(2,0,2),D(0,0,1),B(0,2,0).規(guī)律方法

求點到平面的距離的方法(1)作點到平面的垂線,點到垂足的距離即點到平面的距離.(2)在三棱錐中利用等體積法求解.(3)向量法.步驟如下:變式訓練如圖,四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,E分別為AD,PC的中點.(1)證明:DE∥平面PFB;(2)求點E到平面PFB的距離.(1)證明

以D為原點,DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.成果驗收·課堂達標檢測123451.兩平行平面α,β分別經(jīng)過坐標原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是(

)B123452.(多選題)若平面α∥平面β,直線l?α,且平面α與β之間的距離為d,下面給出了四個命題,其中是真命題的是(

)A.β內(nèi)有且僅有一條直線與l的距離等于dB.β內(nèi)所有直線與l的距離等于dC.β內(nèi)無數(shù)條直線與l的距離等于dD.β內(nèi)所有的直線與α的距離都等于dCD123453.如圖,已知ABC-A1B1C1是各條棱長均等于a的正三棱柱,D是側(cè)棱CC1的中點,則點C1到平面AB1D的距離為(

)A12345解析

以點A為原點,以垂直AC的直線為x軸,以AC為y軸,以AA1為z軸,建立空間直角坐標系,∵ABC-A1B1C1是各條棱長均等于a的正三棱柱,D是12345123454.Rt△ABC的兩條直角邊BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=,則點P到斜邊AB的距離是

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3123455.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱長均為1,且AA1⊥底面ABC,則

(1)點B1到平面ABC1的距離為