Kalman濾波簡(jiǎn)介課件

Kalman濾波簡(jiǎn)介主講：霍玲妹北京理工大學(xué)2012.

041精選2021版課件本節(jié)課主要內(nèi)容二、簡(jiǎn)單實(shí)例四、仿真實(shí)現(xiàn)一、背景與理論基礎(chǔ)三、原理與公式介紹2024/2/182精選2021版課件RudolfEmilKalman匈牙利數(shù)學(xué)家BS&MSatMITPhDatColumbia1960年發(fā)表的論文《ANewApproachtoLinearFilteringandPredictionProblems》（線性濾波與預(yù)測(cè)問(wèn)題的新方法）2024/2/183精選2021版課件SignalProcessing

濾波：從混合在一起的諸多信號(hào)中提取出所需要的信號(hào)。數(shù)字濾波：通過(guò)一種算法排除可能的隨機(jī)干擾，提高檢測(cè)精

度的一種手段。Kalman濾波器的作用：

1.在信號(hào)領(lǐng)域主要用于去除噪聲

2.在控制領(lǐng)域主要用于狀態(tài)估計(jì)和參數(shù)估計(jì)2024/2/184精選2021版課件Kalman濾波控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

由于系統(tǒng)的狀態(tài)x是不確定的，卡爾曼濾波器的任務(wù)就是在有隨機(jī)干擾w和噪聲v的情況下給出系統(tǒng)狀態(tài)x的最優(yōu)估算值，它在統(tǒng)計(jì)意義下最接近狀態(tài)的真值x，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制u()的目的。2024/2/185精選2021版課件UseFor機(jī)器人導(dǎo)航、控制傳感器數(shù)據(jù)融合雷達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤計(jì)算機(jī)圖像處理頭臉識(shí)別圖像分割圖像邊緣檢測(cè)2024/2/186精選2021版課件Kalman濾波的由來(lái)濾波估計(jì)經(jīng)歷的三個(gè)階段：

1.最小二乘法：計(jì)算簡(jiǎn)單，適用于對(duì)常值向量或隨機(jī)向

最的估計(jì)。但由于使用的最優(yōu)指標(biāo)是使量測(cè)估計(jì)的精度達(dá)到

最佳，估計(jì)中不必使用與被估計(jì)量有關(guān)的動(dòng)態(tài)信息與統(tǒng)計(jì)信息、甚至連量測(cè)誤差的統(tǒng)計(jì)信息也可不必使用，聽(tīng)以估計(jì)精度不高。

2.Wiener濾波：頻域中的統(tǒng)計(jì)最優(yōu)濾波器，但運(yùn)算復(fù)雜，

存儲(chǔ)空間大，應(yīng)用范圍有限。

3.Kalman濾波：時(shí)域?yàn)V波，采用狀態(tài)空間描述系統(tǒng)，運(yùn)用遞推形式使計(jì)算簡(jiǎn)單，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量小，應(yīng)用廣泛。2024/2/187精選2021版課件信號(hào)是傳遞和運(yùn)載信息的時(shí)間或空間函數(shù)。

有一類信號(hào)的變化規(guī)律是既定的，如調(diào)幅廣播中的載波信號(hào)、階躍信號(hào)、脈寬固定的矩形脈沖信號(hào)等，它們都具有確定的頻譜.這類信號(hào)稱為確定性信號(hào)。

2024/2/188精選2021版課件另一類信號(hào)沒(méi)有既定的變化規(guī)律，在相同的初始條件和環(huán)境條件下。信號(hào)的每次實(shí)現(xiàn)都天一樣，如陀螺漂移、海浪、作水平飛行的飛機(jī)飛越山區(qū)時(shí)無(wú)線電高度表的輸出信號(hào)、慣導(dǎo)系統(tǒng)的導(dǎo)航輸出誤差、GPS的SA誤差等，它們沒(méi)有確定的頻譜，這類信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)。2024/2/189精選2021版課件

由于確定性信號(hào)具有確定的頻譜。所以可根據(jù)各信號(hào)頻帶的不

同，設(shè)置具有相應(yīng)頻率特性的濾波器。如低通、高通、帶通、

帶阻濾波器，使有用信號(hào)無(wú)衰減地通過(guò)，使干擾信號(hào)受到抑制

。這類濾波器可用物理方法實(shí)現(xiàn)，此即模擬濾波器，也可用

計(jì)算機(jī)通過(guò)算法實(shí)現(xiàn)。此即數(shù)字濾波器。對(duì)確定性信號(hào)的濾波

處理也稱常規(guī)濾波。2024/2/1810精選2021版課件

隨機(jī)信號(hào)沒(méi)有確定的頻譜.無(wú)法用常規(guī)濾波提取或抑制信號(hào).但隨機(jī)信號(hào)具有確定的功率譜，所以可根據(jù)有用信號(hào)和干擾信號(hào)的功率譜設(shè)計(jì)濾波器。維納濾波是解決此類問(wèn)題的方法之一。但設(shè)計(jì)維納濾波器須作功率譜分解，只有當(dāng)被處理信號(hào)為平穩(wěn)的，干擾信號(hào)和有用信號(hào)均為一維，且功率譜為有理分式時(shí)，維納濾波器的傳遞函數(shù)才可用伯特一香農(nóng)設(shè)計(jì)法較容易地求解出。否則設(shè)計(jì)維納濾波器存在著諸多困難。維納濾波除設(shè)計(jì)思想與常規(guī)濾波不同外.對(duì)信號(hào)作抑制和選通這一點(diǎn)是相似的。2024/2/1811精選2021版課件卡爾曼濾波從與被提取信號(hào)有關(guān)的量測(cè)量中通過(guò)算法估計(jì)出所需信號(hào)。其中被估計(jì)信號(hào)是由白噪聲激勵(lì)引起的隨機(jī)響應(yīng)，激勵(lì)源與響應(yīng)之問(wèn)的傳遞結(jié)構(gòu)(系統(tǒng)方程)已知.量測(cè)量與被估計(jì)量之間的函數(shù)關(guān)系(量測(cè)方程)也已知。估計(jì)過(guò)程中利用了如下信息:系統(tǒng)方程、量測(cè)方程、白噪聲激勵(lì)的統(tǒng)計(jì)特性、量測(cè)誤差的統(tǒng)計(jì)特性。由于所用信息都是時(shí)域內(nèi)的量。所以卡爾曼濾波器是在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)的，且適用于多維情況.這就完全避免了維納濾波器在頻域內(nèi)設(shè)計(jì)遇到的限制和障礙，適

用范圍遠(yuǎn)比維納濾波器廣。2024/2/1812精選2021版課件與最小二乘、維納濾波等諸多估汁算法相比，卡爾曼濾波具

有顯著的優(yōu)點(diǎn):采用狀態(tài)空間法在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)濾波器，用狀態(tài)

方程描述任何復(fù)雜多維信號(hào)的動(dòng)力學(xué)特性，避開(kāi)了在頻域內(nèi)

對(duì)信號(hào)功率譜作分解帶來(lái)的麻煩，濾波器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單易行;采用

遞推算法，實(shí)時(shí)量測(cè)信息經(jīng)提煉被濃縮在估計(jì)值中，而不必

存儲(chǔ)時(shí)間過(guò)程中的量測(cè)量。所以，卡爾曼濾波能適用于白噪

聲激勵(lì)的任何平穩(wěn)或非平穩(wěn)隨機(jī)向量過(guò)程的估計(jì)，所得估計(jì)

在線性估計(jì)中精度最佳。阿波羅登月計(jì)劃中的導(dǎo)航系統(tǒng)設(shè)計(jì)是卡爾曼濾波早期應(yīng)用中最為成功的實(shí)例。2024/2/1813精選2021版課件Kalman濾波：

Kalman濾波是一種實(shí)時(shí)遞推算法，它所處理的是隨機(jī)信號(hào)，利用系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，以系統(tǒng)的觀測(cè)量作為濾波器的輸入，以所要估計(jì)值（狀態(tài)或參數(shù)）作為濾波器的輸出，濾波器輸入與輸出是由時(shí)間更新和觀測(cè)更新算法聯(lián)系在一起的，根據(jù)系統(tǒng)方程和觀測(cè)方程估計(jì)出所需要處理的信號(hào)——實(shí)質(zhì)是一種最優(yōu)估計(jì)方法。

卡爾曼濾波就是在有隨機(jī)干擾和噪聲的情況下，以線性最小方差估計(jì)方法給出狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)值，卡爾曼濾波是在統(tǒng)計(jì)的意義上給出最接近狀態(tài)真值的估計(jì)值。2024/2/1814精選2021版課件卡爾曼濾波有如下特點(diǎn):(1)卡爾曼濾波處理的對(duì)象是隨機(jī)信號(hào)；(2)被處理信號(hào)無(wú)有用和干擾之分.濾波的目的是要估計(jì)出所有被

處理信號(hào);(3)系統(tǒng)的白噪聲激勵(lì)和量測(cè)噪聲并不是需要濾除的對(duì)象.它們的

統(tǒng)計(jì)特性正是估計(jì)過(guò)程中需要利用的信息。所以確切地說(shuō)，卡爾曼濾波應(yīng)稱作最優(yōu)估計(jì)理論.此處稱謂的濾波與常規(guī)濾波具有完全不同的概念和含意。

2024/2/1815精選2021版課件狀態(tài)估計(jì)：狀態(tài)估計(jì)是卡爾曼濾波的重要組成部分。一般來(lái)說(shuō)，根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)隨機(jī)量進(jìn)行定量推斷就是估計(jì)問(wèn)題，特別是對(duì)動(dòng)態(tài)行為的狀態(tài)估計(jì)，它能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)運(yùn)行狀態(tài)的估計(jì)和預(yù)測(cè)功能。

狀態(tài)估計(jì)對(duì)于了解和控制一個(gè)系統(tǒng)具有重要意義，所應(yīng)用的方法屬于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的估計(jì)理論。最常用的是最小二乘估計(jì)，線性最小方差估計(jì)、最小方差估計(jì)、遞推最小二乘估計(jì)等。其他如風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則的貝葉斯估計(jì)、最大似然估計(jì)、隨機(jī)逼近等方法也都有應(yīng)用。受噪聲干擾的狀態(tài)量是個(gè)隨機(jī)量，不可能測(cè)得精確值，但可對(duì)它進(jìn)行一系列觀測(cè)，并依據(jù)一組觀測(cè)值，按某種統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)對(duì)它進(jìn)行估計(jì)。使估計(jì)值盡可能準(zhǔn)確地接近真實(shí)值，這就是最優(yōu)估計(jì)。狀態(tài)估計(jì)2024/2/1816精選2021版課件

在許多實(shí)際問(wèn)題中，由于隨機(jī)過(guò)程的存在，常常不能直接獲

得系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)，需要從夾雜著隨機(jī)干擾的觀測(cè)信號(hào)中分

離出系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)。例如，飛機(jī)在飛行過(guò)程中所處的位置

、速度等狀態(tài)參數(shù)需要通過(guò)雷達(dá)或其它測(cè)量裝置進(jìn)行觀測(cè)，

而雷達(dá)等測(cè)量裝置也存在隨機(jī)干擾，因此在觀測(cè)到飛機(jī)的位

置、速度等信號(hào)中就夾雜著隨機(jī)干擾，要想正確地得到飛機(jī)

的狀態(tài)參數(shù)是不可能的，只能根據(jù)觀測(cè)到的信號(hào)來(lái)估計(jì)和預(yù)

測(cè)飛機(jī)的狀態(tài)，這就是估計(jì)問(wèn)題。2024/2/1817精選2021版課件從觀測(cè)到的信號(hào)中估計(jì)出狀態(tài)的估值，并且希望估值與狀態(tài)的真值誤差越小越好，即要求有：

成立因此存在最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題，這就是卡爾曼濾波?？柭鼮V波的最優(yōu)估計(jì)需滿足以下三個(gè)條件：·無(wú)偏性，即估計(jì)值的均值等于狀態(tài)的真值；·估計(jì)的方差最??；·實(shí)時(shí)性。2024/2/1818精選2021版課件線性最小方差估計(jì)設(shè)X是隨機(jī)變量，Z為X的量測(cè)向量，即Z=Z(X)+V,求X的估計(jì)就是根據(jù)Z解算出X，顯然是Z的函數(shù)，由于v是隨機(jī)誤差，所以X無(wú)法從Z的函數(shù)關(guān)系式中直接求取，而必須按統(tǒng)計(jì)意義的最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)求取。最小方差估計(jì)是使下述指標(biāo)達(dá)到最小的估計(jì)線性指是Z的線性函數(shù)。2024/2/1819精選2021版課件線性最小方差估計(jì)性質(zhì)性質(zhì)1：最小方差估計(jì)等于量測(cè)為某一具體實(shí)現(xiàn)條件下的條件均值。性質(zhì)2：無(wú)偏性性質(zhì)3：線性2024/2/1820精選2021版課件白噪聲：噪聲信號(hào)滿足：則稱為白噪聲，式中為方差強(qiáng)度白噪聲序列特點(diǎn)：

1.零均值且具有獨(dú)立性

2.與時(shí)間無(wú)關(guān)，與時(shí)間間隔有關(guān)，所以它具有平穩(wěn)性

高斯白噪聲：服從高斯分布

白噪聲2024/2/1821精選2021版課件簡(jiǎn)單實(shí)例假設(shè)我們要研究的對(duì)象是一個(gè)房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)判斷，這個(gè)房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度(假設(shè)我們用一分鐘來(lái)做時(shí)間單位)。假設(shè)你對(duì)你的經(jīng)驗(yàn)不是100%的相信，可能會(huì)有上下偏差幾度。我

們把這些偏差看成是高斯白噪聲(WhiteGaussianNoise)，也就

是這些偏差跟前后時(shí)間是沒(méi)有關(guān)系的而且符合高斯分配(GaussianDistribution)。另外，我們?cè)诜块g單放一個(gè)溫度計(jì)，但是這個(gè)溫度計(jì)也不準(zhǔn)確的，測(cè)量值會(huì)比實(shí)際值偏差。我們也把

這些偏差看成是高斯白噪聲。2024/2/1822精選2021版課件現(xiàn)在對(duì)于某一分鐘我們有兩個(gè)關(guān)于該房間的溫度值:根據(jù)經(jīng)驗(yàn)

的預(yù)測(cè)值(系統(tǒng)的預(yù)測(cè)值)和溫度計(jì)的值(測(cè)量值)。我們要用這

兩個(gè)值結(jié)合他們各自的噪聲來(lái)估算出房間的實(shí)際溫度值。

假如我們要估算k時(shí)刻的是實(shí)際溫度值。首先要根據(jù)k-1時(shí)刻的溫度值，來(lái)預(yù)測(cè)k時(shí)刻的溫度。因?yàn)槟阆嘈艤囟仁呛愣ǖ模?/p>

所以你會(huì)得到k時(shí)刻的溫度預(yù)測(cè)值是跟k-1時(shí)刻一樣的，假設(shè)是

23度，同時(shí)該值的高斯噪聲的偏差是5度(CS是這樣得到的:如

果k-1時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，你對(duì)自己預(yù)測(cè)的不

確定度是4度，他們平方相加再開(kāi)方，就是5)。然后，你從溫

度計(jì)那單得到了k時(shí)刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時(shí)該值的偏

差是4度。2024/2/1823精選2021版課件由于我們用于估算k時(shí)刻的實(shí)際溫度有兩個(gè)溫度值，分別是23

度和25度。究竟實(shí)際溫度是多少呢?相信自己還是相信溫度計(jì)呢?究競(jìng)相信誰(shuí)多一點(diǎn)，我們可以用

他們的covariance來(lái)判斷。因?yàn)镵g^2=5^2/(5^2+4^2),所以Kg=0.78，我們可以估算出k時(shí)刻的實(shí)際溫度值是:23+0.78*(25-23)=24.56度?？梢钥闯觯?yàn)闇囟扔?jì)的covariance比較小(比較相信溫度計(jì))，

所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計(jì)的值。2024/2/1824精選2021版課件現(xiàn)在我們己經(jīng)得到k時(shí)刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進(jìn)入k+1時(shí)刻，進(jìn)行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒(méi)看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對(duì)了，在進(jìn)入k+1時(shí)刻之前，我們還要算出k時(shí)刻那個(gè)最優(yōu)值(24.56度)的偏差。算法如下:((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。這單的5就是上面的k時(shí)刻你預(yù)測(cè)的那個(gè)23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進(jìn)入k+1時(shí)刻以后k時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差(對(duì)應(yīng)于上面的3)。

就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運(yùn)行的很快，而且它只保留了上一時(shí)刻的covariance。上面的Kg，就是卡爾曼增益(KalmanGain)。它可以隨不同的時(shí)刻而改變它自己的值。2024/2/1825精選2021版課件離散型基本方程設(shè)隨機(jī)線性離散系統(tǒng)的方程（不考慮控制作用）為：

式中是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，是系統(tǒng)的觀測(cè)序列，是系統(tǒng)過(guò)程中的隨機(jī)噪聲序列，是觀測(cè)噪聲序列，是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，是噪聲輸入矩陣，是觀測(cè)矩陣。2024/2/1826精選2021版課件根據(jù)先前假設(shè),過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲應(yīng)為白噪聲,所以有如下統(tǒng)計(jì)特性：2024/2/1827精選2021版課件

在上述條件的約束下，的估計(jì)量可求解如下：一步狀態(tài)預(yù)測(cè)狀態(tài)估計(jì)2024/2/1828精選2021版課件

濾波增益矩陣

一步預(yù)測(cè)誤差方差陣估計(jì)誤差方差陣2024/2/1829精選2021版課件就實(shí)現(xiàn)形式而言，卡爾曼濾波器實(shí)質(zhì)上是一套由數(shù)字討算機(jī)

實(shí)現(xiàn)的遞推算法.每個(gè)遞推周期中包含對(duì)被估計(jì)量的時(shí)間更新和量測(cè)更新兩個(gè)過(guò)程。時(shí)間更新由上一步的量測(cè)更新結(jié)果和設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器時(shí)的先驗(yàn)信息確定，量測(cè)更新則在時(shí)間更

新的基礎(chǔ)上根據(jù)實(shí)時(shí)獲得的量測(cè)值確定。因此。量測(cè)量可看

做卡爾曼濾波器的輸入，估計(jì)值可看做輸出，輸入與輸出之

間由時(shí)間更新和量測(cè)更新算法聯(lián)系，這與數(shù)字信號(hào)處理概念

是類似的，所以有些書(shū)稱卡爾曼濾波為廣義數(shù)字信號(hào)處理。2024/2/1830精選2021版課件2024/2