初高中數(shù)學銜接教編輯版

開篇

數(shù)學學習方法

1.思考：思考是數(shù)學學習方法的核心。在學這門課中，思考有重大意義。解數(shù)學題時，首先

要觀察、分析、思考。思考往往能發(fā)現(xiàn)題目的特點，找出解題的突破口、簡便的解題方法。

在我們周圍，凡是真正學得好的同學，都有勤于思考，經(jīng)常開動腦筋的習慣，于是腦子就越

用越靈，勤于思考變成了善于思考。

2.動手試一試：動手有助于消化學習過的知識，做到融會貫通。課下，我常常把老師講過的

公式進行推導，推導時不要看書，要默記。這樣就能使自己對公式掌握滾瓜爛熟，可為公式

變形計算打下扎實的基礎。

3.培養(yǎng)創(chuàng)造精神：所謂創(chuàng)造，就是想出新辦法，做出新成績，建立新理論。創(chuàng)造，就要不局

限于老師、課本講的方法。平時，有一些難度高的題目，我在聽懂了老師講的方法后，還要

自己去找?找有沒有另外的解法，這樣能加深對題目的理解，能比較兒種解法的利弊，使解

題思維達到一個更高的境界。

科學的學習方法在課內(nèi)課外應注意些什么呢？

第一，認真聽老師講課。這是我取得好成績的主要原因。聽講時要做到全神貫注，聚精

會神，跟著老師的思路走，不能開小差，更切忌一邊講話一邊聽講。其次要專心凝聽老師講

的每一個字，因為數(shù)學是以嚴謹著稱的，一字之差就非同小可，一字之間就隱藏玄機無限。

聽講時還要注意記筆記。一次老師講了一個高難度的兒何題，我一時沒有聽懂，多虧我記下

了這道題以及解法，回家后仔細琢磨，終于理解透了，以至在一次競賽中我輕而易舉地解出

了類似的一道題，獲得了寶貴的10分。上課還要積極舉手發(fā)言，舉手發(fā)言的好處可真不少!

①可以鞏固當堂學到的知識。②鍛煉了自己的口才。③那些模糊不清的觀念和錯誤能得到老

師的指教。真是一舉三得。總之，聽講要做到手到、口到、眼到、耳到、心到。

第二，課外練習。孔子曰：“學而時習之”。課后作業(yè)也是學習和鞏固數(shù)學的重要環(huán)節(jié)。

我很注意解題的精度和速度。精度就是準確度，專心致志地獨立完成作業(yè)，力求一次性準確,

而一旦有了錯，要及時改正。而速度是為了鍛煉自己注意力集中，有緊迫感。我經(jīng)常是這樣

做的，在開始做作業(yè)時定好鬧鐘，放在自己看不見的地方再做作業(yè)，這樣有助于提高作業(yè)速

度?？荚嚂r，就不會緊張，也不會顧此失彼了。

第三，復習、預習。對數(shù)學的復習，預習我定在每天晚上，在完成當天作業(yè)后，我將第

二天要學的新知識簡要地看一看，再回憶一下老師已講過的內(nèi)容。睡覺時躺在床上，腦海里

再像看電影一樣將老師上課的過程“看”一遍，如果有什么疑難，我立即爬起來看書，直到搞

懂為止。每個星期天我還作一星期功課的小結(jié)復習、預習。這樣對學數(shù)學有好處，并掌握得

牢固，就不會忘記了。

第四，提高。在完成作業(yè)和預習、復習之后，我就做一些爬坡題。做這類題，盡可能自

己獨立思考，努力找出隱藏的條件，這是解題的關鍵。如果實在想不出來就需要看一看參考

書，以及請教師長和同學?？傊?，要做到多看、多做、多問、虛心、勤奮，保持積極向上的

精神這才是關鍵的關鍵。

關注每一位學生的成長，讓每一位學生都有進步!

目錄

第一章數(shù)與式

1.1數(shù)與式的運算

1.1.1絕對值

1.1.2乘法公式

1.1.3二次根式

1.1.4分式

1.2分解因式

第二章二次方程與二次不等式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

2.1.2根與系數(shù)的關系

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)產(chǎn)ax?+bx+c的圖像和性質(zhì)

2.2.2二次函數(shù)的三種表達方式

2.2.3二次函數(shù)的應用

2.3方程與不等式

2.3.1二元二次方程組的解法

第三章相似形、三角形、圓

3.1相似形

3.1.1平行線分線段成比例定理

3.1.2相似三角形形的性質(zhì)與判定

3.2三角形

3.2.1三角形的五心

3.2.2解三角形：鈍角三角函數(shù)、正弦定理和余弦定理及其應用

3.3圓

3.3.1直線與圓、圓與圓的位置關系：圓嘉定理

3.3.2點的軌跡

3.3.3四點共圓的性質(zhì)與判定

3.3.4直線和圓的方程（選學）

1.1數(shù)與式的運算

1.1.1,絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對

值仍是零.即

a,?>0,

\a\=<0,Q=0,

一用a<0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：卜-。|表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)b之間的距離.

例1解不等式：|x—]+|尤—3|>4.

解法一：由x-l=0,得x=l；由x-3=0,得x=3；

①若x<l,不等式可變?yōu)椤?x-l)—(x—3)>4,

即一2x+4>4,解得xVO,

又xVl,

.\x<0；

②若l<x<2,不等式可變?yōu)?x-l)-(x-3)>4,

即1>4,

.??不存在滿足條件的X；

③若x23,不等式可變?yōu)?x-l)+(x—3)>4,

即2x-4>4,解得x>4.

又x>3,

Ax>4.

綜上所述，原不等式的解為

x<0,或x>4.

解法二：如圖1.1-1,卜-1|表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離

\PA\,即照|=,一1|；|x—3|表示x軸上點尸到坐標為2的點B之間的距離|尸外即|PB|=|x—

卜一3|

所以，不等式卜-1|+卜-3|>4的幾何意義即為_________A__________

<->

\PA\+\PB\>4.PCABD

IIIII音

由以。=2,可知x0134x

點P在點C(坐標為0)的左側(cè)、或點P在點。(坐標^Y~)

為4)的右側(cè).|x—l|

x<0>或x>4.圖1.1-1

練習

1.填空：

(1)若兇=5,則尸；若國二卜41則k.

(2)如果|4+網(wǎng)=5,且〃二一1,貝|Jb=；若|1一=2,則c=

2.選擇題：

下列敘述正確的是()

(A)若同=網(wǎng)，則〃=/?(B)若同〉同，則a>h

(C)若avb,則同<同(D)若同=問，則。=±力

3.化簡：|x-5|_|2JV_13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-b)-a2-b2；

(2)完全平方公式(a±〃)2=a2±2ab+〃.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；

(2)立方差公式("/?)(/+ab+b2)-a3-b3；

(3)三數(shù)和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+hc+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(5)兩數(shù)差立方公式(a-h)3=a3-3a2b+3ab2-b\

對上面列出的五個公式,有興趣的同學可以自己去證明.

例1計算：(X+1)(無一I)"?一尤+1)(/+X+1).

解法一：原式=(/-1)[，+1)2-X2]

=(x2-l)(x4+x2+l)

=x6-1.

解法二：原式=(X+1)(x2-X+l)(x-l)(x2+X+1)

=(x3+l)(x3-l)

=x6—1.

例2已知a+6+c=4,ab+bc+ac-4,^.a2+b2+c2

解：a2+b~+c2-(a+b+c)2-2(ab+be+ac)=8.

練習

1.填空：

(1)-a2--b2=(-b+-a)()；

9423

(2)(4m+>=16，”2+4機+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().

2.選擇題：

(1)若爐+工機x+4是一個完全平方式，則左等于

)

2

(A)m2(B)-in2(C)-tn2(D)—m2

4316

(2)不論〃，〃為何實數(shù)，c/+/—2。一4/7+8的值()

(A)總是正數(shù)(B)總是負數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負數(shù)

1.1.3.二次根式

一般地，形如右(a20)的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方

的式子稱為無理式.例如3.+E+爪R等是無理式，而后+孝川,

x2+y[2xy+y2,值等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.為了進行分母(子)有理化，需

要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式,

我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如&與VL3日與坦+屈與6-巫,

2G-3正與2G+3山，等等.一般地，aG與6,a?+b6與-b6，aG+b與

。4-匕互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；

而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運

用公式五6=而他20/20）；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通

過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括

號與合并同類二次根式.

2.二次根式V7的意義

77第=卜"2

[-a,a<0.

例1將下列式子化為最簡二次根式：

(1)712^：(2)Va^(a>0)；(3)，4X6〉(》<0).

解：⑴=2廝；

(2)\Ja2h=|a|y/h=ayfb(a>0)；

(3)y]4x6y=2|.x31y[y=-2x5y[y(x<0).

例2計算：6+(3-6).

角星法——：V34-(3—V3)-

3-6

_73-(3+73)

(3--)(3+6)

_3百+3

9-3

_3(6+1)

^6

_V3+1

2

6心揚:三

解法二:

V3

一G(工1)

_1

V3—1

_V3+1

(V3-1)(73+1)

_A/3+I

2

例3試比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

2

(1)Til-VTT^iVTT-Vio；(2)——和2女一指.

V6+4

Vi2-VH_(Vi2-Vn)(Vi2+Vn)_1

解：⑴vVi2-VTT=

-

1Vi2+Vn712+VTT)

ViT-Vio(ViT-Vio)(Vn+Vio)1

VTT-Vio

-

1Vn+VioVil+Vio)

又厄+而>而又/歷，

/.VT2-VIT<VTI-VIO.

2V2-V6_(2V2-V6X2V2+V6)

(2)v2V2-V6=2

-

12V2+V6272+5/6?

又4>2啦，

.'.^6+4>"^6+2-^2,

2<2^-V6.

V6+4

例4化簡：(通+痣>叫(Q-及產(chǎn)5.

解：(內(nèi)+夜嚴.(6-逝產(chǎn)

=(G+V2)2004?(G-逝嚴4.(V3-V2)

—^(V3+V2)-(V3—V2)J,(-y3—V2)

=l2004.(V3-V2)

=>/3-V2.

(2)JrH——2(0<x<1).

例5化簡：(1)，9-46；

解：(1)原式=15+4后+4

=7(V5)2+2x2x75+22

=4(2￥

=|2-四

=75-2.

1

(2)原式=x——

X

V0<x<l,

一>1〉X，

X

所以，原式

X

例6已矢口x=―皇二省’省,求3/-5肛+3)/的值.

角牟：???工+.=色￡+嚴+，=(退一物2+(6+物2=1(),

V3+V2V3-V2

>/3—V2V3+V21

孫=耳不方僅二方

2

3x-5孫+3y2=3(x+?-11盯=3x1_11=289.

練習

1.填空:

1-V3_

(I)

1+V3'

(2)若J(5_x)(x_3>=(X-3)7^7,則x的取值范圍是

(3)4724-6454+3796-27150=

_V5.-Jx+l—y/x—\Jx+l+Jx-1_

(4)右x=E'川內(nèi)+?+內(nèi)一?二一

2.選擇題:

x目成立的條件是

等式)

\x-2

(A)xH2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

.；.,y]d~—I+yfl-ci7

3.若匕=--------一--，--求--a-+b的值.

Q+1

4.比較大?。?f.術一木（填“>”，或y"）.

1.1.4.分式

1.分式的意義

AAA

形如一的式子，若B中含有字母，且6H0,則稱一為分式.當M和時，分式一具有下列性質(zhì):

BBB

AAxM

BBxM

A_A^M

萬一B+M

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

a

像、+P這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

〃+p

5x+4AB

例1若-----------=-----F,求常數(shù)A,8的值.

x(x+2)xx+2

??仆BA(x+2)+Bx(A+8)x+2A5x+4

解:?—I-------

xx+2x(x+2)x(x+2)九(x+2)

*14+8=5,

??〈

2A=4,

解得A=2,8=3.

1

例2(1)試證：---=■L（其中〃是正整數(shù)）;

〃(〃+1)n〃+1

(2)計算：-L+-L+…+—

1x22x39x10

有-L+—L+…+11

(3)證明：對任意大于1的正整數(shù)〃,--------<一.

2x33x4〃(〃+1)2

..11_(〃+1)-〃_1

(1)證明:?——----------——-------

n〃+1n(n+1)n(n+1)

A---=-----------(其中〃是正整數(shù))成立.

及(〃+1)n〃+1

(2)解：由(1)可知

111

----++…

1x22x39x10

=1----

10

9

10

證明：?.?'+」一+…+―1—

(3)

2x33x4〃(〃+1)

A1A1

=(-----)+(----)+?—F

2334n〃+1

11

2?+1

又92,且〃是正整數(shù),

.1

一定為正數(shù),

??〃+1

.1111

-----1------F…H<2.

2x33x4----------+

例3設e=￡，且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.

a

解：在2c2—5ac+2a2=0兩邊同除以得

2e2—5e+2=0,

.?.(2e-l)(e—2)=0,

<1,舍去；或e=2.

練習

1.填空題：

對任意的正整數(shù)〃，一--=—(----)；

〃(九+2)n〃+2

2.選擇題：

若生2=2,則'=

()

x+y3y

546

(A)1(B)-(C)-(D)

455

3.正數(shù)滿足％2-》2=2"，求0的值.

x+y

、…1111

4.計,算----1-----------1-----------F...H---------------

1x22x33x499x100

習題1.1

A組

1.解不等式：

(1)|x-1|>3；(2)|x+3|+|x-2|<7；

(3)|x-1|+|.x+1|>6.

2.已知x+y=l,求d+y3+3盯的值.

3.填空：

(1)(2+V3)18(2-V3),9=；

(2)若7(1-?)2+-1+。)2=2,則。的取值范圍是；

11111

T772+V273+V37V4+^W5+V57V6=——

B組

1.填空：

3a2-ab

(1)a=—,h=—,則

233a2+Sab-2b2

(2)若盯-2)，2=0,則￡+產(chǎn)y：、2=_______________

x+y

2?已知：x=-,求廠—廠的值.

237yy/x+yjy

C組

1.選擇題：

(1)若d-a~b~~ab=N—b-J——,則)

(A)a<h(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

」等于

(2)計算〃()

a

(A)4-a(B)4a(C)(D)-4a

.11

2,解方程2(/+三)一3(1+—)—1=0.

x

1

3.計算：「-+」-+」-+…+------

1x32x43x59x11

11

4.試證：對任意的正整數(shù)〃，有一—+H--------------------------<4?

1x2x32x3x4〃(〃+l)(〃+2)

1.2因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應

了解求根法及待定系數(shù)法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)%2-3x+2；(2)X2+4X-12；

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-l+x-y.

解：(1)如圖1.1-1,將二次項f分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項2分解成一1

與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為一3x,就是f—3x+2中的一次項，所

以，有

x2—3x+2=(x—l)(x—2).

圖1.1-1圖1.1-2圖1.1一3圖1.1-4

說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖1.1-1中的兩個x用1

來表示(如圖1.1—2所示).

(2)由圖1.1-3,得

X2+4X—12=(X—2)(X+6).

(3)由圖1.1-4,得

/一5+h)xy+aby1=(x--by)

(4)xy-l+x-y=xy+(x—y)—1

=(x—l)(y+l)(如圖1.1—5所示).

課堂練習

一、填空題：

1、把下列各式分解因式：

2

(1)x+5x—6=o

(2)—5x+6=o

(3)x~+5x+6=o

=

(4)廠—5x-6o

(5)x2-(614-1)x4-62=o

(6)x~-11九+18=o

2

(7)6%+7x+2=o

(8)4〃/—127724-9=o

(9)5+7x_6x^—o

(10)12x2+盯_6y2=___________________________________________

2、x2-4x+=(x+3)(x+)

3、若％?+ax+b=(x+2)(x-4)貝Ila=,b=

二、選擇題：(每小題四個答案中只有一個是正確的)

1、在多項式(1)廠+7%+6(2)x'+4x+3(3)x~4-6x+8(4)x~+7x+10

(5)/+15X+44中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式〃2+8M—33/得()

A、+(〃一3)B、(〃+1-3/?)C>(a-\\b)(a-3b)D、(a-\lb)(a+3b)

3、(〃+b)2+8(〃+b)-20分解因式得()

A、(〃+/7+10)(〃+/?—2)B、(a+。+5)(a+/?—4)

C、(a+/7+2)(a+Z?—10)D、(a+0+4)(a+。-5)

4、若多項式一一3無+a可分解為(x—5)(x—b),則〃、。的值是()

A^a=10,b=2B、a=10,/?=—2C、a=—10,b=-2D、a=—10,b=2

5、若Y+m工一10=(工+。)(1+匕)其中。、/?為整數(shù)，貝lJ/九的值為()

A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9

三、把下列各式分解因式

1、6(2p—-11(?！?P)+32、優(yōu)—5a~b+6ab~

3、2y2-4.y-64、/一2/-8

2.提取公因式法

例2分解因式：

(1)a~(b-5)+a(5-b)(2)x3+9+3x2+3x

解：(1).a2(Z?-5)+a(5-b)=a(h-5)(a-1)

(2)X3+9+3X2+3X=(X3+3X2)+(3X+9)=X2(X+3)+3(X+3)

=(x+3)(x2+3).

或

x3+9+3/+3x=(x3+3x2+3x+l)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+23

=[(x+l)+2][(x+l)"—(x+l)x2+2']

=(x+3)(x2+3)

課堂練習：

一、填空題：

]、多項式6x2y-2xy2+4xyz中各項的公因式是。

2、〃?(x-y)+“(y-x)=(x-y)?。

3、m(x—y)2+—JC)2=(x—y)2?。

4、〃?(x-y-z)+〃(y+z—x)=(x—y—z)?。

5、m(x_y_z)_x+y+z=(x-y-z)?。

6、-13ab2x6-39a3b2x5分解因式得。

7.計算99?+99=

二、判斷題：(正確的打上“J”，錯誤的打上"X")

1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)............................................................................()

2、am+bm+m-m[a+b)...............................................................................()

3、-3x3+6x2-15x=-3x(x~+2x-5)..........................()

4、x"+x"T=x"T(x+l).....................................()

3：公式法

例3分解因式：(1)-a4+16(2)(3x+2y)2-(x-y)2

解：(l)-a4+16=42-(a2)2=(4+a2)(4-a2)=(4+a2)(2+a)(2-a)

(2)(3x+2y)2—(x-'J=(3x+2y+x-y)(3x+2y-x+y)-(4x+y)(2x+3y)

課堂練習

一、a2-2ah+b2,a2-b2,/一/的公因式是

二、判斷題：（正確的打上“J”，錯誤的打上“X”）

1、#—0.01=(|,—(0.1)2=旨+0.1]旨—0.11.................()

2、9a2_8/=(3a)2_(4b)2=(3a+46)(3a_46)....................()

3、25a2-16%=(5a+4現(xiàn)5a—4b).............................()

4、-x2-y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)..........................()

5、a2-0+c)2=(〃+/?+c)(a-Z?+c).............................()

五、把下列各式分解

1、—9(/M—n)2+(m+n)22、3x2--

3

3、4-Q2-4X+2)24>x4-2x2+1

4.分組分解法

例4(1)x2—xy+3y—3x(2)2x2+xy-y2-Ax+5y-6.

(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6

=2/+(y-4)尤一(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).

或

2x2+盯—_4x+5),—6=(2X2+xy—y2)—(4x—5y)~6

=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6

=(2x—y+2)(x+y—3).

課堂練習：用分組分解法分解多項式(1)x2-y2+a2-b2+2ax+2by

(2)a2-4ab+4b2—6a+\2b+9

5.關于x的二次三項式ax2+/>x+c(a=0)的因式分解.

若關于x的方程ax?+bx+c=0(。H0)的兩個實數(shù)根是當、々，則二次三項式+bx+c(aH0)

就可分解為。(犬-王)(工一》2),

例5把下列關于x的二次多項式分解因式：

(1)x2+2x-l；(2)x2+4xy-4y2.

2

解：(1)x+2x—1=0,則解得玉=—1+啦，x2=—1-V2,

x2+2x_l=[x-(-1+0)][無_(-1-亞)]

=(X+1—V2)(x+1+V2).

(2)令/+4盯一4)，=0,則解得玉=(-2+2y[2)y,玉=(-2-26y,

x2+4xy-4y2=[x+2(l—V2)^][x+2(1+V2)y].

練習

1.選擇題：

多項式2/一盯一15)，2的一個因式為()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)X2+6X+8；(2)Sa3~b3；

(3)x2—2x—1；(4)4(x-y+l)+y(y-2x).

習題1.2

1.分解因式：

(1)dp+1；(2)4%4—13x2+9；

(3)&2+c2+2ab4-2ac+2bc；(4)3f+5盯一2y2+元+9y一4.

2.在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

(1)——5x+3；(2)x~—2^2%—3；

(3)3x2+4xy-y2；(4)，一2X)2—7，—2X)+12.

3.AABC三邊a,b,c^&a2+h2+c2=ab+he+ca,試判定AA6C的形狀

4.分解因式:x2+x-(a2—a).

5.(嘗試題)已知abc=l,a+b+c=2,a2+b2+c2=,求------+--------+---i---的值.

ab+c-1bc+a-1ca+b-1

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

{情境設置：可先讓學生通過具體實例探索二次方程的根的求法，

如求方程的根(1)x2+2x-3=0(2)x2+2x+1=0(3)x2+2x+3=0}

我們知道，對于一元二次方程依2+6X+C=0(a/)),用配方法可以將其變形為

,b、2b2—4ac

①

4a2

因為存0,所以，4屋>0.于是

(1)當心一4川>0時,方程①的右端是一個正數(shù),因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根

-b+y/b2-4ac

(2)當4收=0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根

b

X]=X2=~——

2a

rb

(3)當b2-4ac<0時，方程①的右端是一個負數(shù)，而方程①的左邊(x+—/一定大于或等于零，因

2a

此，原方程沒有實數(shù)根.

由此可知，一元二次方程ax2+hx+c=0(#0)的根的情況可以由h2-4ac來判定，我們把4*

叫做一元二次方程加+法+c=0(a#0)的根的判別式，通常用符號“△”來表示.

綜上所述，對于一元二次方程a?+bx+c=0(〃邦)，有

(1)當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

-b+\jb2-4ac

孫2=-----;------；

2a

(2)當A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根

b

Xi=M=———;

2a

(3)當A<0時，方程沒有實數(shù)根.

例1判定下列關于x的方程的根的情況(其中。為常數(shù))，如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根.

(1)X2-3X+3=0；(2)x2~ax~1=0；

(3)x2—ax+(a—1)—0；(4)x—2x+a—0.

解：(1)?.?A=32-4xlx3=—3<0,...方程沒有實數(shù)根.

(2)該方程的根的判別式A=a2-4x1x(—1)=/+4>0,所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根

_a+\a2+4_a-\a2+4

(3)由于該方程的根的判別式為

222

A=a-4xlx(a—1)=?—4a+4=(a—2),

所以，

①當。=2時，△=(),所以方程有兩個相等的實數(shù)根

X[=應=1;

②當。起時，A>0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根

X|=1>必=〃-1.

(3)由于該方程的根的判別式為

△=22—4xlxa=4—44=4(l—a),

所以

①當△>(),即4(1一”)>0,即時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

X|=1+V1—4,》2=1-—a；

②當△=(),即”=1時、方程有兩個相等的實數(shù)根

X|—X.1—1;

③當AV。，即時，方程沒有實數(shù)根.

說明：在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號隨著“的取值的變化而變化，于是，在解題過程

中，需要對。的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學中一個非

常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運用這一方法來解決問題.

2.1.2根與系數(shù)的關系（韋達定理）

若一元二次方矍竺*r+c=O（"0）有兩個實數(shù)根

-b+\Jb2-4ac-b--Jb2-4ac

則有________________

-b+ylb2-4ac-b—y/b2—4ac-2bb

X,+=---------------------1--------------=----=—;

2a2a2aa

_-h+yjb2-4ac-b-yjh2-4ac_h2-（h2-4QC）_4〃c_c

2=—/w—=—后一=才=1

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關系：

_bc

如果依2+法+。=0（。河）的兩根分別是X1，的，那么修+M=--,XfX=—.這一關系也被稱為

a2a

韋達定理.

特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程f+p上+夕=0,若即，X2是其兩根，山韋達定理可知

X\~\~X2=-P，X\'X2~Qf

即p=一（工1+工2），4=修％2，

所以，方程f+px+g=O可化為f—3+應）/+為.應=0,由于X],%2是一元二次方程f+px+qn。

的兩根，所以，修，切也是一元二次方程f—3+切）^+的次2=0.因此有

以兩個數(shù)勺，M為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是

2

X—（Xj+x2）x+xi*X2=0.

例2已知方程5/+2%—6=0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.

分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根.但

由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即由于已知了方程的?個根及方程的二次項系數(shù)

和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出女的值.

解法一：???2是方程的一個根，

A5X22+*X2-6=0,

：.k=-7.

3

所以，方程就為5f—7x-6=0,解得乃=2,x2=--.

所以，方程的另一個根為一3'，k的值為-7.

5

解法二：設方程的另一個根為為，則2兩=一^,??內(nèi)=一|.

Rk

由（一二）+2=—2，得k=-7.

55

所以，方程的另一個根為一巳3，k的值為-7.

5

例3已知關于x的方程x2+2（m-2,+蘇+4=0有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩

個根