高二數(shù)學(xué)排列組合和二項(xiàng)定理人教版

高二數(shù)學(xué)排列組合和二項(xiàng)定理人教版目錄排列與組合基本概念排列組合解題技巧二項(xiàng)式定理及其性質(zhì)排列組合在二項(xiàng)式定理中應(yīng)用經(jīng)典例題解析與討論總結(jié)回顧與拓展延伸01排列與組合基本概念從n個不同元素中取出m（m≤n，m與n均為自然數(shù),下同）個不同元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號A(n,m）或P(n,m）表示。排列定義A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!/(n-m)!，其中"!"表示階乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1。排列公式排列定義及公式從n個不同元素中取出m個元素（不重復(fù)），不考慮其順序，稱為從n個元素中取m個元素的組合；其組合數(shù)用符號C(n,m)表示。組合定義C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(m!×(n-m)!)，其中"!"表示階乘。組合公式組合定義及公式區(qū)別與聯(lián)系排列與組合都是研究從一些元素中取出部分元素的問題，但排列考慮元素的順序，而組合不考慮順序。因此，對于同一個問題，如果考慮順序則為排列問題，如果不考慮順序則為組合問題。相互轉(zhuǎn)化排列問題和組合問題在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。例如，從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)可以轉(zhuǎn)化為從n個元素中取m個元素的組合數(shù)與m個元素的全排列數(shù)的乘積，即A(n,m)=C(n,m)×m!。排列與組合關(guān)系02排列組合解題技巧

特殊元素法對于含有特殊元素（如特定位置、特定顏色等）的排列組合問題，可以先考慮特殊元素，再處理其他元素。特殊元素法通常用于解決一些具有限制條件的排列組合問題，如“在n個元素中取m個元素進(jìn)行排列，其中某些元素具有特定屬性”的問題。在應(yīng)用特殊元素法時，需要注意特殊元素的數(shù)量、位置以及與其他元素的關(guān)系等因素。對于要求某些元素相鄰的排列組合問題，可以采用插空法。即先將相鄰的元素捆綁在一起看作一個整體，再將其插入到其他元素的空隙中。插空法適用于解決一些具有相鄰要求的排列組合問題，如“在n個元素中取m個元素進(jìn)行排列，其中某些元素必須相鄰”的問題。在應(yīng)用插空法時，需要注意捆綁后整體的數(shù)量、位置以及與其他元素的關(guān)系等因素。相鄰問題插空法對于要求某些元素不相鄰的排列組合問題，可以采用捆綁法。即先將不相鄰的元素分別捆綁在一起看作一個整體，再對整體進(jìn)行排列。捆綁法適用于解決一些具有不相鄰要求的排列組合問題，如“在n個元素中取m個元素進(jìn)行排列，其中某些元素不能相鄰”的問題。在應(yīng)用捆綁法時，需要注意捆綁后整體的數(shù)量、位置以及與其他元素的關(guān)系等因素。同時，還需要注意捆綁后整體內(nèi)部元素的排列順序問題。不相鄰問題捆綁法03二項(xiàng)式定理及其性質(zhì)$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+ldots+C_n^ka^{n-k}b^k+ldots+C_n^nb^n$，其中$ninN^*$，$C_n^k$表示組合數(shù)。二項(xiàng)式定理公式$T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$，表示二項(xiàng)展開式中第$k+1$項(xiàng)的系數(shù)和形式。二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)式定理內(nèi)容對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即$C_n^k=C_n^{n-k}$。增減性與最大值當(dāng)$kleqfrac{n}{2}$時，二項(xiàng)式系數(shù)$C_n^k$逐漸增大；當(dāng)$k>frac{n}{2}$時，二項(xiàng)式系數(shù)$C_n^k$逐漸減??；且當(dāng)$n$為偶數(shù)時，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)$n$為奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大。各二項(xiàng)式系數(shù)和所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為$2^n$，即$(a+b)^n$展開后所有項(xiàng)的系數(shù)之和等于$2^n$。二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)求展開式中的特定項(xiàng)近似計(jì)算解決組合問題在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用二項(xiàng)式定理應(yīng)用舉例利用通項(xiàng)公式$T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$，可以求出展開式中的任意一項(xiàng)。二項(xiàng)式定理中的組合數(shù)$C_n^k$可以用來解決一些組合問題，如分配問題、抽取問題等。利用二項(xiàng)式定理可以對一些復(fù)雜數(shù)進(jìn)行近似計(jì)算，如求平方根、立方根等。二項(xiàng)式定理在數(shù)學(xué)證明中也有廣泛的應(yīng)用，如利用二項(xiàng)式定理證明一些恒等式、不等式等。04排列組合在二項(xiàng)式定理中應(yīng)用利用帕斯卡爾三角形（楊輝三角）求二項(xiàng)式系數(shù)，即每一項(xiàng)的系數(shù)都是其肩上兩個數(shù)字之和。通過遞歸關(guān)系式$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$求二項(xiàng)式系數(shù)，適用于較復(fù)雜的情況。通過組合數(shù)公式$C_n^k$求二項(xiàng)式系數(shù)，其中$n$是二項(xiàng)式的次數(shù)，$k$是需要求的項(xiàng)的次數(shù)。排列組合求二項(xiàng)式系數(shù)通過數(shù)學(xué)歸納法證明二項(xiàng)式定理，即先驗(yàn)證$n=1$時成立，然后假設(shè)$n=k$時成立，證明$n=k+1$時也成立。利用組合數(shù)學(xué)中的基本計(jì)數(shù)原理來證明二項(xiàng)式定理，即考慮$n$個不同元素的所有$k$元子集的數(shù)量。通過構(gòu)造法證明二項(xiàng)式定理，即構(gòu)造一個包含$n$個不同元素的集合，并考慮其所有$k$元子集的構(gòu)造方式。排列組合證明二項(xiàng)式定理在二項(xiàng)式展開中，利用排列組合的知識可以確定每一項(xiàng)的系數(shù)和次數(shù)。通過排列組合可以方便地求出二項(xiàng)式展開后的特定項(xiàng)或特定次數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)。利用排列組合的性質(zhì)和技巧，可以簡化二項(xiàng)式展開的計(jì)算過程，提高計(jì)算效率。排列組合在二項(xiàng)式展開中應(yīng)用05經(jīng)典例題解析與討論從5個不同的紅球和4個不同的白球中，任取3個球，求取出的3個球中至少有1個紅球的概率。某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表，問在下列條件下，各有多少種不同的選法？經(jīng)典排列組合例題例2例1（1）男生甲必須當(dāng)選；（2）男生甲不能當(dāng)選，且女生至少當(dāng)選1人；（3）至少當(dāng)選1名女生。經(jīng)典排列組合例題例3：用0，1，2，3，4五個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？（1）比21034大的偶數(shù)；（2）左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)。經(jīng)典排列組合例題求(a+b)^n的展開式中的通項(xiàng)公式和特定項(xiàng)的系數(shù)。例1利用二項(xiàng)式定理證明等式或不等式。例2求(a+b+c)^n的展開式中的特定項(xiàng)。例3經(jīng)典二項(xiàng)式定理例題例1：某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)X的概率分布。例2：甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者。（1）求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率；（2）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率；（3）設(shè)隨機(jī)變量ξ為這五名志愿者中參加A崗位服務(wù)的人數(shù)，求ξ的分布列。綜合應(yīng)用舉例06總結(jié)回顧與拓展延伸123理解排列和組合的定義，掌握排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，以及它們的性質(zhì)和計(jì)算方法。排列組合基本概念熟悉特殊元素和特殊位置優(yōu)先考慮、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、定序問題倍縮法等常用解題方法。排列組合問題的解決方法掌握二項(xiàng)式定理的展開式及通項(xiàng)公式，理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，能夠運(yùn)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的問題。二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用重點(diǎn)難點(diǎn)總結(jié)回顧排列與組合的區(qū)分01排列與組合都是研究取物問題，它們的區(qū)別在于取出元素后是否考慮元素的順序。排列要考慮元素的順序，而組合則不考慮。重復(fù)排列與重復(fù)組合的區(qū)別02重復(fù)排列允許取出的元素相同且順序不同算作不同的排列，而重復(fù)組合則只要求取出的元素相同即可，不考慮順序。二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別03二項(xiàng)式系數(shù)是指組合數(shù)$C_n^k$，而項(xiàng)的系數(shù)是指二項(xiàng)展開式中每一項(xiàng)前面的數(shù)字因數(shù)。兩者在數(shù)值上不一定相等。易錯易混點(diǎn)辨析注重基礎(chǔ)知識考查高考中對于排列組合和二項(xiàng)定理的考查往往以基礎(chǔ)題為主，注重考查學(xué)生對基本概念和方法的掌握情況。強(qiáng)化綜合應(yīng)用能力高考中往往將排列組合和二項(xiàng)定理與其他知識點(diǎn)（如概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)列等）綜合起來進(jìn)行考查，要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題。高考命題趨勢預(yù)測及備考建議熟練掌握排列組合和二項(xiàng)定理的基本概念、公式和方法，做到能夠準(zhǔn)確、快速地解答基礎(chǔ)題目