圓錐曲線最值問題

圓錐曲線最值問題從幾何本身出發(fā)，發(fā)掘幾何特征，才是解決最值問題的根本。而解析幾何的解析是在幾何的基礎上去解析的。引入：對于解析幾何而言，到高中層面我們研究的對象主要背景是在直線、圓、圓錐曲線、平面三角形、四邊形等綜合性問題中體現的。所以要學好解析幾何應該對于這幾大幾何“元素”的每一個元素都要熟練掌握。那么這篇文章我們就從基本面去單獨分析這些元素的特性。來為我們后期解析幾何打下基礎。第一篇：直線及直線的幾何變換一、首先我們來說一下直線的生成來源；在平面內任取不重合兩點即可生成一條直線，所以說直線的生成必須要包含兩個點。兩點定，即直線定。這是一條解析式確定的直線；例如：是平面內不重合的兩個定點，那么兩點所在的直線方程就是若有一點定，另有一動點，那么生成的直線就是過定點的直線。過定點的直線在方程的描述上就比較有意思：例如過定點的直線用方程來表示的話就是；有很多學生都想的是，這是不全面的；同時方程中變化了對應的幾何變換是啥呢？其實就是把過這個定點的直線進行“旋轉”，旋轉的時候也有“特殊”位置，就是斜率不存在的情況，當旋轉至垂直于軸時，這一類直線我們沒有辦法用來表示；所以在做題的時候可能必須要進行討論。平面內任意一條直線我們都可以把他進行平移，當我們把一條直線平移后產生的一些列直線稱之為平行線集合。比如說，就是一個平行線的集合。里面包含著無數條直線，每一個值就代表著一這個集合中的一個元素。二、直線的方程表示；從我們學習直線開始，主要學習直線的方程表示；下面我將歸類常見直線的各種表示方法：1.截距式。（分別代表這條直線在軸上的截距）舉例：過兩點；根據坐標特征我們發(fā)現這個截距都是1，故方程為過兩點的截距式方程為？過兩點的直線方程為？點斜式。過不同兩點兩點的點斜式，我們先要根據點坐標去算斜率，再把一個點帶入。即：斜截式。也是我們大家最熟悉的反斜式。一般式。（用來求距離問題居多）你看直線作為我們最基礎的解析曲線，它竟然也包含了這么多的表示方法。并且在不同的問題情境之下，不同的表示方法在后續(xù)計算量上也是有天差地別的，那么有沒有什么思想能貫通的理解一下直線呢？并且能夠讓學生能夠在一開始抓住計算量控制最好的直線設法?答案肯定是有的；我們就絕大多數情況下的直線來說。無非研究的就是這個斜率以及截距，也就是中的。所以理解一條直線，就從它的本質上去理解，凡直線的產生都要確定這兩個量，而他們恰好分別代表了我前面說過的直線在幾何位置關系中的兩種變換方式，旋轉和平移。下面我著重強調兩個直線的方程，代表了這條直線過定點，并且定點為。需要注意的是，一定要注意看題目是否需要對不存在進行討論。也就是說如果直線過的定點在軸時，很可能采用斜截式比較好，但也不是絕對的。為什么呢？請注意，我們所說的計算量是針對后期操作而言，請大家想一想，直線設好之后，接下來常規(guī)操作是不是就是聯立曲線方程，然后整理韋達了。因為我們大部分的最值問題都是通過韋達來建立我們所要求的量有關的一個函數，所以在你計算之前，一定要去在幾何上分析，最后是消還是消，其實計算量的大小就在這里了。，代表了這條直線過定點，并且定點為。需要注意的是，一定要注意看題目是否需要對進行討論。也就是說如果直線過的定點在軸上時，很可能采用反斜截式比較好，理由同上。（也可表示過定點的直線方程），直線這部分就討論到這里。接下來我們回歸正題；開始最值專題的初級探索。所謂的最值最初是來源于我們的函數，給其變量區(qū)間；判其單調性；然后即可確定最值。故確定最值的兩大關鍵就是變量區(qū)間和函數單調性。由于我們目前還沒有學習導數，不能求解任意函數的單調變化。只能根據我們以前學過的單調性概念以及復合函數單調性還有基本不等式來進行判定。再說說函數吧，解析幾何本來是方程與曲線之間的聯系；函數是我們在研究“變化”問題時最后轉化的變量關系；那么這個關系是從哪里來？當然是從問題中來。這也是入門最值的關鍵。先來引入題：已知橢圓的離心率為，且經過點求橢圓的方程已知為坐標原點，過橢圓頂點且斜率為的直線交橢圓于另一點，求直線斜率的取值范圍解題：第一問我們帶點把統(tǒng)一之后求解即可得故橢圓的方程為。好了圖畫好了之后，我們現在思考一下，在這個圖中，根據題意有個過定點的直線，并且在以為旋轉中心進行旋轉，然后和橢圓交到另一個點，再來看一下的位置，由于它自己也在橢圓上，故我們可以幾何角度認為、兩個點就是一條直線和橢圓的兩個的交點，只不過這條直線比較“特殊”。（這么特殊的直線我會采用斜截式的形式）那好了，曲線有公共點對應的就是方程上這兩個點對應的坐標解就和韋達有關系。（并且如果曲直方程組聯立的話，消之后，只含的二次方程中有個解是）。再來看一下本題的問題：探尋點處縱橫坐標的比值變化規(guī)律。解幾的開局：有點設點，有線設線。設;所在的直線方程為（）我是開門見山：直接翻譯了本題的問題，這樣好讓我判斷在聯立之后要做什么。（或者有沒有聯立的必要）問題所求為斜率的取值范圍：；又因為點都在直線上，我打算把這個來替換；然后,有同學就問我這么做能干啥？好的我來解釋一下，通過韋達我們只能求出交點橫坐標之間的和積關系，或者交點縱坐標之間的和積關系；但是你聯立一次要么消，要么消?？倸w你能得到一個，但是我們的問題顯然與橫縱坐標都是有關的，所以在這里要用代換思想學會只求一個坐標然后帶入直線或者曲線方程，把另一個坐標表示出來，這樣就達到了變量統(tǒng)一的目的，好的我們不妨來聯立一下；現在你面臨著消，還是消？同學們大都回答肯定消，回答是對的，但是理由呢？聯立時我們把直線所在的方程兩邊平方直接帶入比較快捷；這是理由之一；但是更重要的是，因為這個題我得求也就是說我聯立之后韋達之和里面，兩個根其中一個根是0，那不就等說我韋達和就是。而且我在開局就是在翻譯問題與有啥關系，這樣一來兩頭對上了。好了我們聯立之后；；這個題最后我們所求的問題終于轉化到了函數這一步；；接下來我們不是說過，函數出來了，變量范圍也知道了，那單調性呢？像這種簡單的函數，我還是建議用基本性質去判定一下好了，因為減號嘛，基本不等式在這里不好用的。故最后我們學習是希望從一個題目中觸類旁通，總結出經驗用以推廣。那么在這個題目的基礎上我也想改造母題，慢慢的讓我們學生能夠在最值問題上抓到一些可以抓住的“點”。廢話不多說；例題改：已知橢圓的離心率為，且經過點（1）求橢圓的方程（2）已知為坐標原點，過橢圓右的直線交橢圓于兩點，求三角形面積的最大值。有了第一個題目讓我們上手最值題目之后，我來給大家介紹一些比較入門的最值問題。其中面積最值可以說是我們解析中的熱點，也是重難點。同樣的，在面積這類最值這里，難的是面積表示和轉化上，要把三角形最常見的幾種面積求法牢牢掌握。弦長+定點到底邊弦直線的距離是萬能的三角形面積計算。但是計算量頗大。如果能夠在具體的題目情境中發(fā)掘三角形的特殊性，那么根據幾何特征進行轉化能夠大大縮減計算量。下面我談談在三角形這里的一些經驗，三角形如果是條件下的等腰三角形，推薦正弦面積公式+三角換元設點法比較好。三角形面積在特定條件下的割補，以及定底轉換高法。以本題為例，就是比較典型的定底轉換高法。設;所在的直線方程為有同學問了，那這個題按常規(guī)的直線設法行不行？下面我們來試試看。我們先翻譯問題，把這個三角形的面積給表示出來。法1.那么這里有兩個量可以計算，一個是，一個是.故咱高二的娃看到這里再往下做得換元了。再往下就得小心了，我們是求最大值的。所以千萬不要跳到基本不等式的坑里去。分母有最小值，我們才有面積的最大值。分母是個對勾函數，換元后我們的元是并且故：，此時直線斜率不存在。所以面積的最大值就是。法1.（直線的常規(guī)設法）設;所在的直線方程為當所在的直線斜率不存在時，直線為此時當所在的直線斜率存在時：這個運算那是相當惡心。故再往下做，還是換元。令原式=實際上，這個最值很明顯是取不到的，高二的學生看到這個式子也解不了這個最大值。因為單調性你不好去判斷。而且這個解法，解下來及其惡心，運算量不小的。到最后很可能學生還解不了最值，這就坑爹了。法2.下面展示這個題最接近幾何特征的做法。由于直線在旋轉過程中，過定點。所以把問題可以看做是定底的兩個小三角形之和。故這個定底轉化高說白了就是咱初中的水平寬定值，找鉛垂高的變量。直線在軸過定點，所以：設;所在的直線方程為開局我們幾何特征提醒我們，目標就是找。后面的做法和法1的就一模一樣了。就這么簡單的一個題，能折射出的就是同學們對于幾何的敏感性。能夠構圖，從開局確定變量，然后直奔主題。一路做下來，會順暢很多。例題改：已知橢圓的離心率為，且橢圓的長軸為4。求橢圓的方程過坐標原點的直線交橢圓于兩點，右焦點為,求面積的取值范圍課后提升：已知橢圓的一個焦點為，左、右頂點分別為經過點的直線與橢圓交于兩點。求橢圓的方程；記與的面積分別為和，求的最大值。設點法解最值已知直線分別與拋物線相切于點若點的坐標為，求直線的方程；若直線的交點為,且點在圓上，設直線與軸分別交于點,求的取值范圍.解：從這個題開始我們嘗試教同學們開局設點法來解一些特定的最值問題。以本題為例，第二問是一個點驅動問題的最值。第一問：問切線即求切線。如果是沒有學習導數的話，我們只能通過聯立判別式法來求解切線方程。這也是在這個題目當中唯一用到曲直聯立的地方了，僅僅是為了求出直線方程而已。并沒有像前面的那些例題，去解韋達來為我們提供變量的函數關系。設。這是所有解析幾何的開局萬能設點方式，其實我們還可以更加精簡一點由于點在拋物線上，所以拋物線上一個點一個變量就可以了。故。那么要求切線，你就得設切線。這里也考察了同學們對于直線的掌握，已知某點坐標求切線，說白了就是求直線的斜率。故在這里我們要用點斜式。這部分的聯立對于一般學生來說比較困難，原因之一就是搞不清主元，其次沒有觀察到配完全方整理化簡；在這個函數中，我們注意是以為主元的聯立式；故這部分的聯立對于一般學生來說比較困難，原因之一就是搞不清主元，其次沒有觀察到配完全方整理化簡現在我們可以得到拋物線上任意一點的切線方程：帶入點即可得；如果要用求導的方法那這個第一問就簡化多了?！，F在開始分析第二問；先從幾何上分析，圖中的信息有：是兩切線的交點。同時還被“拉”到圓上去，作為驅動點，這句話怎么理解？什么叫做驅動點？我用這幅圖形象的演示一下，雖然是不能動的，但是我們可以想象這個過程。當我在拋物線上任意找兩個點時，然后再生成兩條切線，再讓相交生成點。很明顯，這個點位置也是任意的，根本不滿足一直在圓上。那要讓這個點“嵌入”圓上去，我就定義圓上的點。使得這兩個點的坐標分別對應相等，那不就等同于我把點“嵌”到圓上去了么。在這個圖中，點現在嵌入圓上，那么點在圓上動，就會導致切線發(fā)生變化，切點位置發(fā)生變化。我們可以認為點在圓上的位置決定了，切點的位置以及切線。所以我們就把稱為“驅動點”，就是“從動點”。這樣理順了之后，我們通過第一問的切線方程求法把設出來的兩點處的切線方程給它聯立一下：以及我們分析的接下來，就是最關鍵的題中問題翻譯，我們要把問題翻譯成某變量的函數，并且找到這個變量來源和區(qū)間，然后利用單調性、或者基本不等式來進行最值求解。問題：求的取值范圍.那么我們肯定得先把這兩個距離表示出來。先來搞，由題意得分別是切線在軸上的截距。故的長，千萬不能再跑回去找直線聯立然后弦長法去解了；完全沒有必要的。因為我們開局就把坐標設出來了，那點坐標有了，直接距離公式懟：這個式子也在考察學生的變形能力。故：=接下來發(fā)大招了：從開局設點，找切線再到找切線的交點。然后分析如何“嵌入”圓上去，到我們把問題翻譯成函數，我都是有一個方向的。因為我深知驅動點和從動點的先后關系，最后的函數一定是與驅動點的坐標相關的。所以在我找出這個式子之后，我立馬去翻譯函數了，而且我們函數的最后形式也只和相關，那又與是等價的。是啥？那是驅動點的縱坐標，題目直接給了我們所在的圓方程，那這個圓上的點它縱坐標的取值范圍壓根都不用算的，直接口答了。。這個式子的單調性非常好判別的，就是減函數。故：馬后炮：按照常規(guī)解析的思路，我是建議直接先翻譯問題，很多同學都是學習韋達，但是像這類驅動點問題，我們再核心過程中，并沒有和韋達有任何關系，如果高三的學生做這個題，開局的切線方程也可以直接寫的，不需要聯立。但是翻譯函數有個意識必須經過大量的題目來鍛煉，那就是找誰為變量，這個變量在哪里？變量范圍如何確定？沒有經驗的同學開局直接翻譯函數，變量找起來沒有方向。所以這也是解析難學的一個因素。只能多做題，多總結。當然馬后炮還是要的：在變量這里，我的經驗，韋達能告訴我的無非就是曲線和“特定”直線聯立之后的坐標關系（）凡我最后函數需要的變量和這幾個有關，我就會去聯立。這個題我們分析到最后，這玩意長的是十分“韋達”，但是這并不是一條“特定”的直線