復變函數(shù)與場論簡明教程：留數(shù)

留數(shù)

5.1孤立奇點5.2留數(shù)及留數(shù)定理5.3留數(shù)在定積分計算上的應用

5.1孤立奇點

1.孤立奇點的定義

定義設z0為一個復數(shù)，若存在δ>0，使得函數(shù)f(z)在0<|z－z0|<δ內(nèi)處處解析，且f(z)在z0不解析，則稱z0為f(z)

的一個孤立奇點。該定義強調(diào)了所有孤立奇點的共性，即函數(shù)在該點

的一個去心鄰域內(nèi)處處可導。我們知道，函數(shù)不解析的

點為奇點，但函數(shù)的奇點并不一定是孤立奇點。如函數(shù)

，z=0是它的一個奇點，但并不是孤立奇點。

2.孤立奇點的分類

1）可去奇點

如果在洛朗級數(shù)中不含z－z0的負冪項，那么孤立奇點z0稱為f(z)的可去奇點。這時，f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)實際上就是一個普通的冪級數(shù)：

c0+c1(z－z0)+…+cn(z－z0)n+…例如，z=0是的可去奇點，因為這個函數(shù)在z=0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)

2）極點

如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個z－z0的負冪項，且其中關于(z－z0)－1的最高冪為(z－z0)－m，即m≥1,c－m≠0那么孤立奇點z0稱為函數(shù)f(z)的m級極點。上式也可寫成(5.1.1)

如果z0為f(z)的極點，由式（5.1.1），就有或?qū)懽?/p>

3）本性奇點

如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多個z－z0的負冪項，那么孤立奇點z0稱為f(z)的本性奇點。

例如，函數(shù)以z=0為它的本性奇點。因為在級數(shù)中含有無窮多個z的負冪項。

3.孤立奇點的判別方法

1）可去奇點的判別法

定理一f(z)以z0為可去奇點的充分且必要條件為

存在且有限。

例如，設函數(shù)f(z)在|z|<δ內(nèi)處處解析，f(0)=0，則函數(shù)在0<|z|<δ處處解析，且z=0為g(z)的可去奇點。

2）極點的判別法

定理二

f(z)以z0為m級極點的充分且必要條件是存在δ>0，在0<|z－z0|<δ內(nèi)，有其中，m≥1，j(z)在|z－z0|<δ內(nèi)解析，且j(z0)≠0。定義不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示為

(5.1.2)

其中，j(z)在z0解析并且j(z0)≠0，m為某一正整數(shù)，那么z0稱為f(z)的m級零點。

例如，z=0與z=1分別是函數(shù)f(z)=z(z－1)3的一級與三級零點。根據(jù)這個定義，我們可以得到下列結(jié)論：

如果f(z)在z0解析，那么z0為f(z)的m級零點的充要條件是(5.1.3)例如，z=1是f(z)=z3－1的零點，由于f′(1)=3z2｜z=1

=3≠0，從而知z=1是f(z)的一級零點。定理三如果z0是f(z)的m級極點，那么z0就是

的m級零點；反過來也成立。

3）本性奇點

定理四

z0為f(z)的本性奇點的充分必要條件為當z→z0時，f(z)的極限不存在且不為無窮大。5.2留數(shù)及留數(shù)定理

1.留數(shù)

定義設z0為f(z)的孤立奇點，那么f(z)在z0的留數(shù)記作Res［f(z),z0］，定義為實際上，由于z0為f(z)的一個孤立奇點，可以將函數(shù)

f(z)在z0的某個去心鄰域0<|z－z0|<R內(nèi)展開成洛朗級數(shù)其余各項的積分都等于零，所以

2.留數(shù)定理

定理一設函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點z1,z2,…,zn外處處解析，C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,那么（5.2.1）證明把zk(k=1,2,…,n)在內(nèi)的孤立奇點用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍繞起來（見圖5.1），那么根據(jù)復合閉路定理有以2πi除等式兩邊，得即圖5.1

3.留數(shù)計算方法

法則1若z0是f(z)的可去奇點，則Res(f,z0)=0。

證明因為當z0是f(z)的可去奇點時，f(z)在z0點的洛朗

級數(shù)展開式?jīng)]有負冪項，所以

Res(f,z0)=c－1=0

法則2

若z0是f(z)的一級極點，則

證明設有為了求出c－1，兩端乘以(z－z0)，有［例1］設z1≠z0，求函數(shù)

在z=z1點和z=z0點處的留數(shù)。

解因為z=z1，z=z0都是f(z)的一級極點，得

法則3

設，其中，j(z)及ψ(z)都在

z0點解析，且j(z0)≠0，ψ(z0)=0，ψ′(z0)≠0，即z0為

f(z)的一級極點，則

法則4

若z0是f(z)的m級極點，則

證明由假設可知，在z0點的環(huán)域0<|z－z0|<r內(nèi)f(z)可以展開為為了求c－1，兩端乘以(z－z0)m，再求m－1階導數(shù)，有因此于是［例3］求函數(shù)在z=0點的留數(shù)。

解因為z=0是f(z)的三級極點，所以得法則5如果z0是f(z)的本性奇點，求留數(shù)Res(f,z0)，通常是設法把f(z)的洛朗級數(shù)展開式的負一次冪項求出，然后取其系數(shù)。

［例4］求函數(shù)在z=0點處的留數(shù)。解因為故Res(f,0)=1［例5］求函數(shù)在z=0點處的留數(shù)。

解因z=0點是f(z)的9級極點，所以，按留數(shù)計算法則4，有這樣運算太繁，但可由立即得到這個例子說明，求高級極點的留數(shù)時，為避免求高階導數(shù)的復雜運算，可以借助于已知函數(shù)的泰勒級數(shù)展開式，直接作洛朗級數(shù)展開式，按定義通過取負一次冪項的系數(shù)c－1以求得留數(shù)。［例6］計算積分，其中，C為正向圓周：|z|=2。

解被積函數(shù)有四個一級極點±1，±i,

都在圓周|z|=2內(nèi)，所以由法則3，有故［例7］計算積分，其中，C為正向圓周：|z|=2。

解z=0為被積函數(shù)的一級極點，z=1為二級極點，而

4.函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)及留數(shù)

1）在無窮遠點的性態(tài)

（1）不含正冪項；

（2）含有有限多的正冪項，且zm為最高正冪；

（3）含有無窮多的正冪項，

那么z=∞是f(z)的

(1）可去奇點；

(2）m級極點；

(3）本性奇點。［例8］判斷函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)。解函數(shù)f(z)在圓環(huán)域f<|z|<+∞內(nèi)可以展開成它不含正冪項，所以是f(z)的可去奇點。如果我們?nèi)(∞)=1，那么f(z)就是解析的。［例9］判斷函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)。

解由于函數(shù)f(z)含有正冪項，且z為最高正冪項，所以為它的一級極點。

［例10］判斷函數(shù)f(z)=sinz在無窮遠點的性態(tài)。

解由于函數(shù)f(z)的展開式［例11］函數(shù)在擴充復平面內(nèi)有些什么類型的奇點？如果是極點，指出它的級。

解易知，函數(shù)f(z)除使分母為零的點z=0,±1,±2,…外，在|z|<+∞內(nèi)解析。由于(sinπz)′=πcosπz,在z=0,±1,±2,…處均不為零，因此這些點都是sinπz的一級零點，從而是(sinπz)3的三級零點。至于z=2，因為所以z=2是f(z)的可去奇點。

2）在無窮遠點的留數(shù)

定義設函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R<|z|<+∞內(nèi)解析，C為該圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，那么積分的值與C無關，我們稱此定值為f(z)在∞點的留數(shù)，記作值得注意的是,這里積分路線的方向是負的，也就是取順時針的方向。可以看出，

Res［f(z),∞］=－c－1

法則6

定理二如果函數(shù)f(z)在擴充復平面內(nèi)只有有限個孤立奇點，那么f(z)在所有各奇點(包括∞點)的留數(shù)的總和必等于零。［例12］計算積分，C為正向圓周：|z|=2(即［例6］)。

解函數(shù)在|z|=2的外部，除∞點外沒有其他奇點。因此根據(jù)定理二與法則6，有

［例13］計算積分，C為正向圓周：|z|=2。

解除∞點外，被積函數(shù)的奇點是－i，1與3。根據(jù)定理二，有由于－i與1在C的內(nèi)部，所以從上式、留數(shù)定理與法則6得到5.3留數(shù)在定積分計算上的應用

1.形如的積分(R(cosθ,sinθ)為cosθ與sinθ的有理函數(shù))

令z=eiθ，那么

從而，所設積分化為沿正向單位圓周的積分：其中,f(z)為z的有理函數(shù)，且在單位圓周|z|=1上分母不為零，所以滿足留數(shù)定理的條件。［例1］計算

(0<p<1)的值。

解由于0<p<1，被積函數(shù)的分母1－2pcosθ+p2=

(1－p)2+2p(1－cosθ)在0≤θ≤2π內(nèi)不為零，因而積分是有意義的。由于因此而因此

2.形如

當被積函數(shù)R(x)是x的有理函數(shù)，而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，且R(z)在實軸上沒有孤立奇點時，積分是存在的?，F(xiàn)在來說明它的求法。為不失一般性，設為一已約分式。取積分路線如圖5.2所示，其中，CR是以原點為中心，R為半徑的在上半平面的半圓周。取R適當大，使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點zk都包在這積分路線內(nèi)。根據(jù)留數(shù)定理，得（5.3.1）圖5.2這個等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變,因為而當|z|充分大時，總可使由于m－n≥2，故有因此，在半徑充分大的CR