專題06 冪函數(shù)及其復(fù)合函數(shù)的綜合問題（課時訓(xùn)練）教師用-課后輔導(dǎo)專用2021年秋季高一數(shù)學(xué)上學(xué)期講義（人教A版）

專題06冪函數(shù)及其復(fù)合函數(shù)的綜合問題A組基礎(chǔ)鞏固1．（2020·全國）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過分析冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的特征可得解.【詳解】函數(shù)，與，答案A沒有冪函數(shù)圖像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故選D.【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像特征，屬于基礎(chǔ)題.2．（2020·磐安縣第二中學(xué)）若函數(shù)是冪函數(shù)，則（）A．3 B． C．3或 D．【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義可知,解方程即可求得的值.【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù),所以,解得或.故選:C【點睛】本題考查了冪函數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.3．（2020·重慶高三其他模擬（文））已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則（）A．1 B．﹣1 C．0 D．【答案】B【分析】由題目條件，可判定出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，據(jù)此可得，結(jié)合函數(shù)的解析式可得答案.【詳解】,又為上的奇函數(shù)，，是周期為4的周期函數(shù)，故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的周期性，奇偶性等性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值，是基礎(chǔ)題.4．（2020·江蘇儀征市第二中學(xué)高三月考）已知冪函數(shù)的圖象過點，則______．【答案】3【分析】先利用待定系數(shù)法代入點的坐標(biāo)，求出冪函數(shù)的解析式，再求的值.【詳解】設(shè)，由于圖象過點,得，，，故答案為3.【點睛】本題考查冪函數(shù)的解析式，以及根據(jù)解析式求函數(shù)值，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5．（2020·山東省青島第十六中學(xué)高一月考）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實數(shù)________.【答案】2【分析】由函數(shù)是冪函數(shù)，求得或，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)是冪函數(shù)，可得，即，解得或，當(dāng)時，函數(shù)，此時在上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，函數(shù)，此時在上單調(diào)遞減，不符合題意，故答案為：.【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的定義及圖像與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記冪函數(shù)的定義，結(jié)合冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判定是解答的關(guān)鍵，著重考查運(yùn)算能力.6．（2020·湖北武漢·高一期中）冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的值為______.【答案】-1【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及冪函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由冪函數(shù)知，得或.當(dāng)時，在上是增函數(shù)，當(dāng)時，在上是減函數(shù)，∴.故答案為【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的定義及單調(diào)性，屬于中檔題.7．（2020·山東高一期中）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的值為_______．【答案】【分析】由函數(shù)是冪函數(shù)，列方程求出的值，再驗證是否滿足題意．【詳解】解：由函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或；當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，不合題意；當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，滿足題意．故答案為．【點睛】本題考查了冪函數(shù)的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．8．（2017·湖北荊州中學(xué)高一期中（理））若函數(shù)的值域為R，則實數(shù)k的取值范圍為_____．【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為能取盡所有的正數(shù)，然后再分和兩種情況，并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵函數(shù)的值域為R，∴能取盡所有的正數(shù)．①當(dāng)時，，能取盡所有的正數(shù)，符合題意；②當(dāng)時，要使能取盡所有的正數(shù)，則需滿足，解得或，綜上可得或,∴實數(shù)的取值范圍為.【點睛】解答本題的關(guān)鍵是深刻理解題意，解題中容易出現(xiàn)的錯誤是將“函數(shù)的值域為R”與“函數(shù)的定義域為R”誤認(rèn)為相同；另外，解題時還要注意分類討論思想方法的靈活運(yùn)用．9．（2018·棲霞市第一中學(xué)高三一模（文））已知函數(shù)則__________．【答案】【解析】由題意得，故．答案：10．（2017·全國）函數(shù)，的值域為________．【答案】.【解析】∵，∴.∴.∴值域為.B組能力提升11．（2020·洛陽市第一高級中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意的且，滿足，若，則的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)以及函數(shù)在的單調(diào)性，可得，然后可得函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：函數(shù)是冪函數(shù)則或又對任意的且，滿足所以函數(shù)為的增函數(shù)，故所以，又，所以為單調(diào)遞增的奇函數(shù)由，則，所以則故選：B【點睛】本題考查冪函數(shù)的概念以及函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，熟悉函數(shù)單調(diào)遞增的幾種表示，比如，屬中檔題.12．（2020·內(nèi)蒙古杭錦后旗奮斗中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題先判斷函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，再運(yùn)用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍即可.【詳解】因為函數(shù)滿足對任意的，都有成立，所以函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，所以，解得，所以故選：B【點睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，關(guān)鍵點是數(shù)形結(jié)合.13．（2019·青銅峽市高級中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，求．判斷并證明函數(shù)的奇偶性；已知，求a的值．【答案】（1）1；（2）；（3）100.【解析】【分析】將x=1代入計算即可；先求定義域并判斷是否關(guān)于原點對稱，然后用奇偶性定義判斷；先計算f（lga），再解方程可得．【詳解】；要使函數(shù)有意義，則，解得，函數(shù)的定義域為；，函數(shù)為奇函數(shù)．，，且，解得．．【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性定義證明及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．(2)在內(nèi)為增函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減且恒正,.14．（2019·全國高一單元測試）求函數(shù)在上的值域．【答案】.【分析】值域是y的取值范圍，將指數(shù)看做一個整體，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出值域.【詳解】解：而，則當(dāng)時，；當(dāng)時，∴值域為【點睛】本題考查二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的域的求法，關(guān)鍵是明確構(gòu)建出復(fù)合函數(shù)的兩個基本函數(shù)，再結(jié)合基本函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性“由內(nèi)向外”的求解復(fù)合函數(shù)的值域.15．（2020·全國高一單元測試）已知是常數(shù)）為冪函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞增．（1）求的表達(dá)式；（2）討論函數(shù)在，上的單調(diào)性，并證之．【答案】（1）；（2）在，，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性，列出方程，求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求得到解析式，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可判斷和證明.【詳解】（1）是常數(shù)）為冪函數(shù)，且在第一象限單調(diào)遞