浙江省2024年普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬卷(四)（含答案）

浙江省2024年普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬卷(四)(時(shí)間:80分鐘,滿分:100分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共12小題,每小題3分,共36分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合題目要求的,不選、多選、錯(cuò)選均不得分)1.已知集合A={1,2,3},B={2,4},則A∪B=()A.{2} B.{2,3,4} C.{1,2,3,4} D.{0,2,3,4}2.已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1+2i)+(-3+2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.函數(shù)f(x)=2-x+lg(x-1)的定義域?yàn)?A.{x|x≥2} B.{x|x<1} C.{x|1≤x≤2} D.{x|1<x≤2}4.已知a=(2,1),b=(x,-2),若a∥b,則a+b=()A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1)5.已知α∈π,3π2,且tanα=34,則cosα=(A.-35 B.35 C.-45 6.“a≤1”是“方程x2+2x+a=0(a∈R)有正實(shí)數(shù)根”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知圓錐的底面半徑為1,其側(cè)面展開(kāi)圖是半圓,則該圓錐的體積為()A.3π3 B.3π C.2π3 8.已知a=e13,b=ln13,c=sin1A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b9.現(xiàn)測(cè)得某放射性元素的半衰期為1350年(每經(jīng)過(guò)1350年,該元素的存量為原來(lái)的一半),某生物標(biāo)本中該放射性元素的初始存量為m,經(jīng)檢測(cè)現(xiàn)在的存量為m5.據(jù)此推測(cè)該生物距今約為()(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.A.2452年 B.2750年 C.3150年 D.3856年10.已知函數(shù)f(x)=lg(x+x2+1)-22x+1,則不等式f(2x+1)+f(xA.-13,+∞ B.-13,100 C.-∞,-13 D.-23,10011.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=1,則1x+1+A.12+2 B.3+22 C.12.在四面體ABCD中,△ABC與△BCD都是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,且二面角A-BC-D的大小為60°,則四面體ABCD外接球的表面積是()A.52π B.54π C.56π D.60π二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中,有多個(gè)是符合題目要求的,全部選對(duì)得4分,部分選對(duì)且沒(méi)有錯(cuò)選得2分,不選、錯(cuò)選得0分)13.已知a,b∈R,則下列選項(xiàng)中能使1a<1A.b>a>0 B.a>b>0 C.b<0<a D.b<a<014.不透明的袋中裝有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球,其中3個(gè)紅球、2個(gè)白球,從袋中一次性取出2個(gè)球,記事件A=“兩球同色”,事件B=“兩球異色”,事件C=“至少有一紅球”,則()A.P(A)=35 B.P(C)=C.事件A與事件B是對(duì)立事件 D.事件A與事件B是相互獨(dú)立事件15.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則()A.若A>B,則sin2A>sin2BB.若S△ABC=1,a=1,則sinA的最大值為8C.若a=23,b=4,A=π4D.若AB|AB|+AC|AC|·BC=16.已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足fx-32=-f(x),且fx+34為奇函數(shù),f(-1)=-1,f(0)=2.下列說(shuō)法正確的是()A.3是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=34C.函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=2三、填空題(本大題共4小題,共15分)17.已知f(x)是冪函數(shù),且滿足:①f(-x)=f(x);②f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,請(qǐng)寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)f(x)=.

18.已知a=(2,1),b為單位向量,且(a+2b)⊥(a-b),則a·b=,向量b在向量a上的投影向量為.

19.某班共有學(xué)生40人,將一次數(shù)學(xué)考試成績(jī)(單位:分)繪制成頻率分布直方圖,如圖所示,成績(jī)不低于85分的人數(shù)有人.

20.已知函數(shù)f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)在0,π3內(nèi)存在最值,且在2π3,π內(nèi)單調(diào),則ω的取值范圍是.

四、解答題(本大題共3小題,共33分)21.(11分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若滿足2cosC(1)求ac(2)若sinB=154,b=2,求△ABC的面積22.(11分)已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AB=AD=2BC=2,E為PD的中點(diǎn).(1)求證:CE∥平面PAB;(2)設(shè)平面EAC與平面DAC的夾角為45°,求三棱錐E-ACD的體積.23.(11分)已知函數(shù)f(x)=log2[(3m-6)x+2m-5],g(x)=log21x+m,m∈R.(1)若f(1)=2,求m的值;(2)若方程g(x)-f(x)=0恰有一個(gè)實(shí)根,求m的取值范圍;(3)設(shè)m>0,若對(duì)任意t∈12,2,當(dāng)x1,x2∈[t,t+1]時(shí),滿足|g(x1)-g(x2)|≤1,求m的取值范圍.參考答案1.C2.B解析因?yàn)?1+2i)+(-3+2i)=-2+4i,所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,4),位于第二象限.故選B.3.D解析由題意,要使f(x)有意義,則2-x≥0,x-1>0,解得1<x≤2,故定義域?yàn)閧4.A解析因?yàn)閍=(2,1),b=(x,-2),a∥b,所以2×(-2)-1×x=0,所以x=-4,所以b=(-4,-2),所以a+b=(-2,-1),故選A.5.C解析由α∈π,3π2可知α為第三象限的角,故cosα<0,由tanα=34又sin2α+cos2α=1,解得cosα=-45,故選C6.B解析由于函數(shù)y=x2+2x+a圖象的對(duì)稱軸為直線x=-1,且開(kāi)口向上,所以x2+2x+a=0(a∈R)有正根,則必須f(0)<0,解得a<0,因?yàn)椤癮≤1”是“a<0”的必要不充分條件,故選B.7.A解析因?yàn)閳A錐底面半徑為1,其側(cè)面展開(kāi)圖是半圓,所以圓錐的底面周長(zhǎng)為2π,則圓錐的母線長(zhǎng)為2,故圓錐的高為22所以圓錐的體積為V=13×π×12×3=3π8.D解析因?yàn)閍=e13>e0=1,b=ln13<ln1=0,c=sin13∈(0,1),所以a>c>b9.C解析由題意可知m5=m12兩邊取對(duì)數(shù)得-lg5=t1350(-lg2),所以t=1350lg5lg2=1350(10.A解析由f(x)=lg(x+x2+1)-22x+1可知故f(x)+f(-x)=lg(x+x2+1)-22x+1+lg(-x+x2+1)-22-x+1=lg(x+x2+1)(-x+x即f(x)+1+f(-x)+1=0,令g(x)=f(x)+1,則g(x)+g(-x)=0,即g(x)=f(x)+1為奇函數(shù),f(x)=lg(x+x2+1)-22x+1為增函數(shù),則g(x)=f(x不等式f(2x+1)+f(x)>-2,即f(2x+1)+1+f(x)+1>0,即g(2x+1)+g(x)>0,g(2x+1)>-g(x)=g(-x),故2x+1>-x,x>-13,即f(2x+1)+f(x)>-2的解集為-13,+∞,故選A.11.C解析由題可得,x+2y=1,則(x+1)+2(y+1)=4,所以1x+1+2y+1=141x+1+2y+1[(x+1)+2(y+1)]=145+2(y+1)x+1+2(x12.A解析如圖所示,取BC的中點(diǎn)O,連接OD,OA,分別取△BCD和△ABC的外心E與F,過(guò)兩點(diǎn)分別作平面BDC和平面ABC的垂線,交于點(diǎn)P,則P就是外接球的球心,連接OP,DP,則∠AOD為二面角A-BD-C的平面角,即∠AOD=60°,則△AOD是等邊三角形,其邊長(zhǎng)為6×32=33,OE=13OD=13×33=3,在△POE所以PE=OEtan30°=3×3又由DE=23OD=23,所以PD=R=P所以四面體ABCD的外接球的表面積為4πR2=4π×(13)2=52π.故選A.13.BD解析對(duì)于A,由b>a>0可得1a>1b對(duì)于B,由a>b>0可得1b>1a對(duì)于C,由b<0<a可得1a>0>1b,C對(duì)于D,由b<a<0可得0>1b>1a,D正確14.BC解析隨機(jī)試驗(yàn)從袋中一次性取出2個(gè)球的樣本空間含10個(gè)樣本點(diǎn),隨機(jī)事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4,所以P(A)=410=2隨機(jī)事件C包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為9,所以P(C)=910,B正確事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生,所以事件A與事件B為互斥事件,又因?yàn)镻(A+B)=1,即事件A+B為必然事件,所以事件A與事件B是對(duì)立事件,C正確;隨機(jī)事件B包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6,所以P(B)=610=35,隨機(jī)事件AB為不可能事件,所以P(AB)=0,所以P(AB)≠P(A)所以事件A與事件B不是相互獨(dú)立事件,D錯(cuò)誤.故選BC.15.BCD解析A選項(xiàng),若A>B,如A=π2,B=π4,2A=π,2B=π2,sin2A=0,sin2B=1,sin2A<sin2B,所以B選項(xiàng),S△ABC=12bcsinA=1,bc=2由余弦定理得cosA=b2+c2-12bc,2bc·2·2sinA·cosA=b2+c2-1≥2bc-1=2·2即4cosAsinA≥4sin由于在三角形中,sinA>0,所以4cosA≥4-sinA,cosA≥1-14sinA>0,則cos2A≥1-14sinA2,又因?yàn)閏os2A=1-sin2A,即1-sin2A≥1-14sinA2,整理得178sinA-1·sinA≤0,解得0<sinA≤817,所以sinA的最大值為817,所以BC選項(xiàng),若a=23,b=4,A=π4,則bsinA=4×22=22,所以bsin所以滿足條件的三角形有兩個(gè),所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng),AB|AB|表示AB方向的單位向量;AC|根據(jù)平面向量加法的幾何意義可知AB|AB|+AC由AB|AB|+AC|AC|·BC=0可知∠BAC的角平分線與BC而AB|AB|·AC|AC|=1×1×cosA=cosA=12>0,所以A為銳角,且A=π3,所以三角形16.AC解析對(duì)于A選項(xiàng),因?yàn)閒x-32=-f(x),所以f(x-3)=-fx-32=f(x),所以3是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,故A正確;對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)閒x+34為奇函數(shù),所以f-x+34=-fx+34,所以點(diǎn)34,0是函數(shù)y=f(x)圖象的對(duì)稱中心,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)閒x+34為奇函數(shù),所以f-x+34=-fx+34,所以f-x+32=-f(x).又因?yàn)閒x-32=-f(x),所以f-x+32=fx-32,所以f(-x)=f(x),所以函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),故C選項(xiàng)正確;對(duì)于D選項(xiàng),由選項(xiàng)C知,函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),所以f(1)=f(-1)=-1.又因?yàn)?是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)周期,所以f(2)=f(-1)=-1,f(3)=f(0)=2,f(2023)=f(1)=-1,所以f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=20223×0-1=-1,故D錯(cuò)誤.17.x2(答案不唯一)(形如f(x)=xnm,m為正奇數(shù),n為正偶數(shù),都可以)解析因?yàn)閒(x)是冪函數(shù),且f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故可設(shè)f(x)=xnm(m,n∈N*,m又因?yàn)閒(-x)=f(x),所以m為奇數(shù),n為偶數(shù),故f(x)=x2為符合條件的一個(gè)函數(shù).18.-3-65,-35解析因?yàn)閍=(2,1),b為單位向量,則|a|=22+12=因?yàn)?a+2b)⊥(a-b),則(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=5+a·b-2=0,可得a·b=-3,所以向量b在向量a上的投影向量為|b|cos<a,b>·a|a|=a·b|a|2·a=-35a19.9解析由頻率分布直方圖的頻率和為1,可得0.005×10+0.0225×10+a×10+0.035×10+0.0075×10=1,解得a=0.030.故成績(jī)不低于85分的人的頻率為0.0302×10+0.0075×10=0.225,所以成績(jī)不低于85分的人數(shù)有0.225×4020.114,176解析因?yàn)閒(x)=sinωx-3cosωx=2sinωx-π3當(dāng)0<x<π3時(shí),因?yàn)棣?gt;0,則-π3<ωx-因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在0,π3內(nèi)存在最值,則πω3?π3>π2,解得ω>52,當(dāng)2π3<x<π時(shí),2因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在2π3,π內(nèi)單調(diào),則2πω3?π3,πω-π3?kπ-π2,kπ+π2所以2πω3-π解得32k-14≤ω≤k+56(k所以32k-14≤k+56,解得k又因?yàn)棣?gt;0,則k∈{0,1,2},當(dāng)k=0時(shí),0<ω≤56;當(dāng)k=1時(shí),54≤ω≤116;當(dāng)k=2時(shí),114≤又因?yàn)棣?gt;52,因此,實(shí)數(shù)ω的取值范圍是114,21.解(1)由2cosC得2sinBcosC-sinBcosA=sinAcosB-2sinCcosB,所以2sin(B+C)=sin(A+B),則2sinA=sinC,所以ac(2)由sinB=154,且2sinA=sinC則cosB=±14設(shè)a=x?c=2x,則b2=a2+c2-2accosB?4=x2+4x2-4x2cosB,所以x=1或x=63又因?yàn)镾=12acsinB=x2sinB當(dāng)x=1時(shí),S=154;當(dāng)x=63時(shí),S=22.(1)證明取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF,∵E是PD的中點(diǎn),∴EF∥AD且EF=12AD又BC∥AD且BC=12AD∴BC∥EF且BC=EF,∴四邊形BCEF為平行四邊形,CE∥BF,又CE?平面PAB,BF?平面PAB,∴CE∥平面PAB.(2)解取AD的中點(diǎn)G,連接EG,過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AC交AC于點(diǎn)H,連接EH,∵E,G分別是PD,AD的中點(diǎn),∴EG∥PA.又PA⊥平面ABCD,∴EG⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴EG⊥AC,又AC⊥HG,HG∩EG=G,HG,EG?平面EGH,∴AC⊥平面EGH,HE?平面EGH,∴AC⊥HE,∴∠EHG是平面EAC與平面DAC的夾角的平面角.∴∠EHG=45°.∵AB=2,B