2016年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)ⅲ）

2016年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）設(shè)集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，則S∩T=（）A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞） C．[3，+∞） D．（0，2]∪[3，+∞） 2．（5分）若z=1+2i，則=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 3．（5分）已知向量=（，），=（，），則∠ABC=（）A．30° B．45° C．60° D．120° 4．（5分）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖，圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃，下面敘述不正確的是（）A．各月的平均最低氣溫都在0℃以上 B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大 C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D．平均最高氣溫高于20℃的月份有5個(gè) 5．（5分）若tanα=，則cos2α+2sin2α=（）A． B． C．1 D． 6．（5分）已知a=，b=，c=，則（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）執(zhí)行如圖程序框圖，如果輸入的a=4，b=6，那么輸出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．（5分）在△ABC中，B=，BC邊上的高等于BC，則cosA等于（）A． B． C．﹣ D．﹣ 9．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（）A．18+36 B．54+18 C．90 D．81 10．（5分）在封閉的直三棱柱ABC﹣A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是（）A．4π B． C．6π D． 11．（5分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E．若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（）A． B． C． D． 12．（5分）定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）A．18個(gè) B．16個(gè) C．14個(gè) D．12個(gè) 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13．（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為．14．（5分）函數(shù)y=sinx﹣cosx的圖象可由函數(shù)y=sinx+cosx的圖象至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．15．（5分）已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ln（﹣x）+3x，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，﹣3）處的切線方程是．16．（5分）已知直線l：mx+y+3m﹣=0與圓x2+y2=12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|=2，則|CD|=．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan，其中λ≠0．（1）證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖．注：年份代碼1﹣7分別對(duì)應(yīng)年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；（Ⅱ）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．參考公式：相關(guān)系數(shù)r=，回歸方程=+t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：=，=﹣．19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面PAB；（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)．（Ⅰ）若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程．21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，記|f（x）|的最大值為A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）證明：|f′（x）|≤2A．請(qǐng)考生在第2224題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修41：幾何證明選講]22．（10分）如圖，⊙O中的中點(diǎn)為P，弦PC，PD分別交AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大??；（2）若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點(diǎn)G，證明：OG⊥CD．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]23．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=2．（1）寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)．[選修45：不等式選講]24．已知函數(shù)f（x）=|2x﹣a|+a．（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≤6的解集；（2）設(shè)函數(shù)g（x）=|2x﹣1|，當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍．2016年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）設(shè)集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，則S∩T=（）A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞） C．[3，+∞） D．（0，2]∪[3，+∞） 【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【專題】37：集合思想；4O：定義法；5J：集合．【分析】求出S中不等式的解集確定出S，找出S與T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（5分）若z=1+2i，則=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】11：計(jì)算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：z=1+2i，則===i．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，考查計(jì)算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），則∠ABC=（）A．30° B．45° C．60° D．120° 【考點(diǎn)】9S：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【專題】11：計(jì)算題；41：向量法；49：綜合法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)便可求出，及的值，從而根據(jù)向量夾角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根據(jù)∠ABC的范圍便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的方法，以及向量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍，已知三角函數(shù)值求角．4．（5分）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖，圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃，下面敘述不正確的是（）A．各月的平均最低氣溫都在0℃以上 B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大 C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D．平均最高氣溫高于20℃的月份有5個(gè) 【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4A：數(shù)學(xué)模型法；5M：推理和證明．【分析】根據(jù)平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖進(jìn)行推理判斷即可．【解答】解：A．由雷達(dá)圖知各月的平均最低氣溫都在0℃以上，正確B．七月的平均溫差大約在10°左右，一月的平均溫差在5°左右，故七月的平均溫差比一月的平均溫差大，正確C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同，都為10°，正確D．平均最高氣溫高于20℃的月份有7，8兩個(gè)月，故D錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查推理和證明的應(yīng)用，根據(jù)平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖，利用圖象法進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵．5．（5分）若tanα=，則cos2α+2sin2α=（）A． B． C．1 D． 【考點(diǎn)】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；56：三角函數(shù)的求值．【分析】將所求的關(guān)系式的分母“1”化為（cos2α+sin2α），再將“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，“弦”化“切”是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．6．（5分）已知a=，b=，c=，則（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【考點(diǎn)】4Y：冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】b==，c==，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，可比較a，b，c，進(jìn)而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，綜上可得：b＜a＜c，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，冪函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．7．（5分）執(zhí)行如圖程序框圖，如果輸入的a=4，b=6，那么輸出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6 【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【專題】11：計(jì)算題；27：圖表型；4B：試驗(yàn)法；5K：算法和程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序，根據(jù)賦值語(yǔ)句的功能依次寫出每次循環(huán)得到的a，b，s，n的值，當(dāng)s=20時(shí)滿足條件s＞16，退出循環(huán)，輸出n的值為4．【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0執(zhí)行循環(huán)體，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不滿足條件s＞16，執(zhí)行循環(huán)體，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不滿足條件s＞16，執(zhí)行循環(huán)體，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不滿足條件s＞16，執(zhí)行循環(huán)體，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4滿足條件s＞16，退出循環(huán)，輸出n的值為4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫出每次循環(huán)得到的a，b，s的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）在△ABC中，B=，BC邊上的高等于BC，則cosA等于（）A． B． C．﹣ D．﹣ 【考點(diǎn)】HT：三角形中的幾何計(jì)算．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；58：解三角形．【分析】作出圖形，令∠DAC=θ，依題意，可求得cosθ===，sinθ=，利用兩角和的余弦即可求得答案．【解答】解：設(shè)△ABC中角A、B、C、對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC邊上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=coscosθ﹣sinsinθ=×﹣×=﹣．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形中，作出圖形，令∠DAC=θ，利用兩角和的余弦求cosA是關(guān)鍵，也是亮點(diǎn)，屬于中檔題．9．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（）A．18+36 B．54+18 C．90 D．81 【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】11：計(jì)算題；5F：空間位置關(guān)系與距離；5Q：立體幾何．【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以主視圖為底面的直四棱柱，進(jìn)而得到答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以主視圖為底面的直四棱柱，其底面面積為：3×6=18，側(cè)面的面積為：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面積為：18×2+18+18=54+18．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．10．（5分）在封閉的直三棱柱ABC﹣A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是（）A．4π B． C．6π D． 【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】11：計(jì)算題；5F：空間位置關(guān)系與距離；5Q：立體幾何．【分析】根據(jù)已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的內(nèi)切球半徑為，代入球的體積公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的內(nèi)切圓半徑r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的內(nèi)切球半徑為，此時(shí)V的最大值=，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱柱的幾何特征，根據(jù)已知求出球的半徑，是解答的關(guān)鍵．11．（5分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E．若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】34：方程思想；48：分析法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由題意可得F，A，B的坐標(biāo)，設(shè)出直線AE的方程為y=k（x+a），分別令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得H的坐標(biāo)，運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，結(jié)合離心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由題意可設(shè)F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），設(shè)直線AE的方程為y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），設(shè)OE的中點(diǎn)為H，可得H（0，），由B，H，M三點(diǎn)共線，可得kBH=kBM，即為=，化簡(jiǎn)可得=，即為a=3c，可得e==．另解：由△AMF∽△AEO，可得=，由△BOH∽△BFM，可得==，即有=即a=3c，可得e==．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線方程的運(yùn)用和三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．12．（5分）定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）A．18個(gè) B．16個(gè) C．14個(gè) D．12個(gè) 【考點(diǎn)】8B：數(shù)列的應(yīng)用．【專題】16：壓軸題；23：新定義；38：對(duì)應(yīng)思想；4B：試驗(yàn)法．【分析】由新定義可得，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項(xiàng)2m項(xiàng)，且所含0與1的個(gè)數(shù)相等，首項(xiàng)為0，末項(xiàng)為1，當(dāng)m=4時(shí)，數(shù)列中有四個(gè)0和四個(gè)1，然后一一列舉得答案．【解答】解：由題意可知，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項(xiàng)2m項(xiàng)，且所含0與1的個(gè)數(shù)相等，首項(xiàng)為0，末項(xiàng)為1，若m=4，說(shuō)明數(shù)列有8項(xiàng)，滿足條件的數(shù)列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題是新定義題，考查數(shù)列的應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，枚舉時(shí)做到不重不漏，是壓軸題．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13．（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為．【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】首先畫出平面區(qū)域，然后將目標(biāo)函數(shù)變形為直線的斜截式，求在y軸的截距最大值．【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值為1+；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃；一般步驟是：①畫出平面區(qū)域；②分析目標(biāo)函數(shù)，確定求最值的條件．14．（5分）函數(shù)y=sinx﹣cosx的圖象可由函數(shù)y=sinx+cosx的圖象至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】33：函數(shù)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），則f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依題意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），則﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），當(dāng)k=0時(shí)，正數(shù)φmin=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，屬于中檔題．15．（5分）已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ln（﹣x）+3x，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，﹣3）處的切線方程是2x+y+1=0．【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】34：方程思想；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】由偶函數(shù)的定義，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0時(shí)，f（x）=lnx﹣3x，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程．【解答】解：f（x）為偶函數(shù)，可得f（﹣x）=f（x），當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0時(shí)，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，﹣3）處的切線方程為y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即為2x+y+1=0．故答案為：2x+y+1=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，同時(shí)考查函數(shù)的奇偶性的定義和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．16．（5分）已知直線l：mx+y+3m﹣=0與圓x2+y2=12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|=2，則|CD|=4．【考點(diǎn)】J8：直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5B：直線與圓．【分析】先求出m，可得直線l的傾斜角為30°，再利用三角函數(shù)求出|CD|即可．【解答】解：由題意，|AB|=2，∴圓心到直線的距離d=3，∴=3，∴m=﹣∴直線l的傾斜角為30°，∵過(guò)A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，∴|CD|==4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan，其中λ≠0．（1）證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）若S5=，求λ．【考點(diǎn)】87：等比數(shù)列的性質(zhì)；8H：數(shù)列遞推式．【專題】34：方程思想；4R：轉(zhuǎn)化法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系進(jìn)行遞推，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明求解即可．（2）根據(jù)條件建立方程關(guān)系進(jìn)行求解就可．【解答】解：（1）∵Sn=1+λan，λ≠0．∴an≠0．當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1，即（λ﹣1）an=λan﹣1，∵λ≠0，an≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{an}是等比數(shù)列，公比q=，當(dāng)n=1時(shí)，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴an=?（）n﹣1．（2）若S5=，則若S5=1+λ[?（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，則=﹣，得λ=﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1的關(guān)系進(jìn)行遞推是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．18．（12分）如圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖．注：年份代碼1﹣7分別對(duì)應(yīng)年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；（Ⅱ）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．參考公式：相關(guān)系數(shù)r=，回歸方程=+t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：=，=﹣．【考點(diǎn)】BK：線性回歸方程．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）由折線圖看出，y與t之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，將已知數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)方程，可得答案；（2）根據(jù)已知中的數(shù)據(jù)，求出回歸系數(shù)，可得回歸方程，2016年對(duì)應(yīng)的t值為9，代入可預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量．【解答】解：（1）由折線圖看出，y與t之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y與t之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y關(guān)于t的回歸方程=0.10t+0.92，2016年對(duì)應(yīng)的t值為9，故=0.10×9+0.92=1.82，預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量為1.82億噸．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線性回歸方程，回歸分析，計(jì)算量比較大，計(jì)算時(shí)要細(xì)心．19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面PAB；（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行；MI：直線與平面所成的角．【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空間角．【分析】（1）法一、取PB中點(diǎn)G，連接AG，NG，由三角形的中位線定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，說(shuō)明四邊形AMNG為平行四邊形，可得NM∥AG，由線面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、證明MN∥平面PAB，轉(zhuǎn)化為證明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，過(guò)N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通過(guò)求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，則結(jié)論得證；（2）連接CM，證得CM⊥AD，進(jìn)一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD內(nèi)，過(guò)A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）證明：法一、如圖，取PB中點(diǎn)G，連接AG，NG，∵N為PC的中點(diǎn)，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，則NG∥AM，且NG=AM，∴四邊形AMNG為平行四邊形，則NM∥AG，∵AG?平面PAB，NM?平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，過(guò)N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，則sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，則EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，則NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，則MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC?AM?cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，則AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，則平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD內(nèi)，過(guò)A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中點(diǎn)，得AN==，在Rt△PAM中，由PA?AM=PM?AF，得AF=，∴sin．∴直線AN與平面PMN所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，是中檔題．20．（12分）已知拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)．（Ⅰ）若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程．【考點(diǎn)】J3：軌跡方程；K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）連接RF，PF，利用等角的余角相等，證明∠PRA=∠PQF，即可證明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求出N的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求AB中點(diǎn)的軌跡方程．【解答】（Ⅰ）證明：連接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中點(diǎn)，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），F(xiàn)（，0），準(zhǔn)線為x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，設(shè)直線AB與x軸交點(diǎn)為N，∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|，∵△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．設(shè)AB中點(diǎn)為M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中點(diǎn)軌跡方程為y2=x﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，記|f（x）|的最大值為A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）證明：|f′（x）|≤2A．【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】32：分類討論；35：轉(zhuǎn)化思想；4J：換元法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；56：三角函數(shù)的求值．【分析】（Ⅰ）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）討論a的取值，利用分類討論的思想方法，結(jié)合換元法，以及一元二次函數(shù)的最值的性質(zhì)進(jìn)行求解；（Ⅲ）由（I），結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可證明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）當(dāng)a≥1時(shí)，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，則A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且當(dāng)t=時(shí)，g（t）取得極小值，極小值為g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函數(shù)在對(duì)稱軸處取得極值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①當(dāng)0＜a≤時(shí)，g（t）在（﹣1，1）內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②當(dāng)＜a＜1時(shí)，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，綜上，A=．（III）證明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，當(dāng)0＜a≤時(shí)，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，當(dāng)＜a＜1時(shí)，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，當(dāng)a≥1時(shí)，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，綜上：|f′（x）|≤2A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)最值的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及換元法，轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．請(qǐng)考生在第2224題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修41：幾何證明選講]22．（10分）如圖，⊙O中的中點(diǎn)為P，弦PC，PD分別交AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大??；（2）若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點(diǎn)G，證明：OG⊥CD．【考點(diǎn)】NC：與圓有關(guān)的比例線段．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5M：推理和證明．【分析】（1）連接PA，PB，BC，設(shè)∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，運(yùn)用圓的性質(zhì)和四點(diǎn)共圓的判斷，可得E，C，D，F(xiàn)共圓，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得到所求∠PCD的度數(shù)；（2）運(yùn)用圓的定義和E，C，D，F(xiàn)共圓，可得G為圓心，G在CD的中垂線上，即可得證．【解答】（1）解：連接PB，BC，設(shè)∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中點(diǎn)為P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，則∠D=∠1，則四點(diǎn)E，C，D，F(xiàn)共圓，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）證明：由C，D，E，F(xiàn)共圓，由EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點(diǎn)G可得G為圓心，即有GC=GD，則G在CD的中垂線，又CD為圓G的弦，則OG⊥CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和四點(diǎn)共圓的判斷，以及圓的垂徑定理的運(yùn)用，考查推理能力，屬于中檔題．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]23．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin