必修五專題復習

期末考試復習專題〔必修五〕【解三角形】1.在△ABC中,a=3,b=5,sinA=,那么sinB=()A.B.C.思路點撥正弦

定理=代入

數(shù)據(jù)求sinB[答案]B[解析]根據(jù)=,有=,得sinB=.應選B.2.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b=2,B=,C=,那么△ABC的面積為()+2B.-2D.-1思路點撥[答案]B[解析]由=及條件得c=2.又sinA=sin(B+C)=×+×=.從而S△ABC=bcsinA=×2×2×=+1.應選B.3.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.A=,a=1,b=,那么B=________.思路點撥正弦定理=代入數(shù)據(jù)求sinB判斷解的個數(shù)得角B[答案]或[解析]由=得=,∴sinB=.又∵b>a,∴B=或.4.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,那么△ABC的面積等于________.思路點撥正弦

定理求sinB求B、C面積公式

求面積[答案]2[解析]由=,得sinB=sinA=×=1,∴B=90°,故C=30°,∴S△ABC=AC·BCsinC=×4×2×=2.5.在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對的邊,假設ccosA=b,那么△ABC的形狀為()思路點撥由正弦定理化邊為角B=π-(A+C)化簡求角C,判斷形狀[答案]C[解析]由正弦定理及得sinCcosA=sinB,而B=π-(A+C),故sinCcosA=sin(A+C)=sinAcosC+cosA·sinC,整理得sinAcosC=0,又因為sinA≠0,所以cosC=0,即C=.所以△ABC是直角三角形.6.在△ABC中,如果a2sinB=b2sinA,那么△ABC的形狀為()思路點撥由正弦定理化角為邊整理判斷[答案]A[解析]由正弦定理及得a2b=b2a,即ab(a-b)=0.又因為ab≠0,所以a=b.故△ABC為等腰三角形.7.△ABC中,a=2bcosC,那么△ABC的形狀是________三角形.思路點撥利用正弦定理將等式化為角的形式,再將sinA=sin(B+C)代入并利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡,整理后得到B=C,即可判斷出三角形的形狀.[答案]等腰[解析]由a=2bcosC及正弦定理得sinA=2sinBcosC,∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,即sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)=0,∵B與C為三角形內(nèi)角,∴B-C=0,即B=C,∴△ABC為等腰三角形.8.△ABC的三個內(nèi)角之比為A∶B∶C=3∶2∶1,那么,對應的三邊之比a∶b∶c等于()A.3∶2∶1B.∶∶1C.3∶∶1D.2∶∶1[答案]D[解析]∵A∶B∶C=3∶2∶1,A+B+C=180°,∴A=90°,B=60°,C=30°.∴a∶b∶c=sin90°∶sin60°∶sin30°=1∶∶=2∶∶1.9.△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,a=4,b=4,A=30°,那么B等于()A.60°B.30°或150°C.60°D.60°或120°[答案]D[解析]由正弦定理可知=,∴sinB=b·=4×=.∵0°<B<180°,∴B=60°或120°,應選D.10.△ABC中,sinB=2sinA,C=,S△ABC=2,那么a=()[答案]B[解析]由正弦定理得==2,所以b=2a,所以S△ABC=absinC=a×2a×sin=a2=2,解得a=2.11.假設銳角△ABC的面積為10,且AB=5,AC=8,那么BC等于________.思路點撥面積

公式求角A余弦

定理求BC[答案]7bcsinA=10得sinA=,因為A為銳角,所以A=60°,cosA=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+64-2×40×=49,故a=7,即BC=7.12.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且acosA=bcosB,那么△ABC的形狀為()思路點撥解法一:利用余弦定理將

轉(zhuǎn)化為邊之間的關系化簡判斷解法二:利用正弦定理將

條件轉(zhuǎn)化為角之間的關系化簡判斷[答案]D[解析]解法一:由余弦定理和得a×=b×.整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,故a2=b2或a2+b2-c2=0.即a=b或c2=a2+b2,所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.解法二:由正弦定理及得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因為A,B∈(0,π),所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.13.設△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,那么c=________.思路點撥正弦

定理化角

為邊求b余弦定

理求c[答案]4[解析]由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×=16,所以c=4.14.在△ABC中,假設a=7,b=8,cosC=,那么最大角的余弦值是()[答案]C[解析]由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC=9,所以c=3.根據(jù)三邊的長度知角B為最大角,故cosB==-.所以cosB=-.15.△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=4∶3∶2,那么cosB=()A.B.C.D.[答案]A[解析]令A,B,C所對的邊分別是a,b,c,又∵sinA∶sinB∶sinC=4∶3∶2,∴根據(jù)正弦定理,得a∶b∶c=4∶3∶2.不妨設a=4t,b=3t,c=2t(t>0),∴cosB===.16.海上有A,B兩個小島相距10nmile,從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角,那么B,C兩島之間的距離為()nmileB.nmile[答案]D[解析]在△ABC中,A=60°,B=75°,∴C=45°.∵=,∴BC===5(nmile).17.在200m高的山頂上,測得山下一塔的塔頂和塔底的俯角分別是30°、60°,那么塔高為()A.mB.mC.mD.m[答案]A[解析]如圖,在△ABC中,BC=ABtan∠BAC=200×tan30°=(m),AE=BC,那么DE=AEtan30°=×=(m),所以塔高CD=200-=(m).18.兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40°,燈塔B在觀察站C的南偏東60°,那么燈塔A在燈塔B的()A.北偏東40°B.北偏西10°C.南偏東10°D.南偏西10°[答案]B[解析]如下圖,∠ECA=40°,∠FCB=60°,∠ACB=180°-40°-60°=80°.∵AC=BC,∴∠A=∠ABC==50°.∴∠ABG=180°-∠CBH-∠CBA=180°-120°-50°=10°.應選B.【數(shù)列】19.在等差數(shù)列{an}中,a2=2,a3=4,那么a10=()思路點撥求a1,d→求an→求a10[答案]D[解析]因為a2=2,a3=4,故d=2,a1=0,那么an=2n-2,所以a10=2×10-2=18,應選D.20.在等差數(shù)列{an}中,a1=2,a3+a5=10,那么a7=()思路點撥等差數(shù)

列性質(zhì)→a1+a7=a3+a5→a7=(a3+a5)-a1[答案]B[解析]由等差數(shù)列的性質(zhì)知a1+a7=a3+a5,∴a7=(a3+a5)-a1=10-2=8.21.等差數(shù)列{an}的公差d=-1,a1=2,那么a3等于()[答案]B[解析]a3=a1+(3-1)d=2+2×(-1)=0.22.假設首項為-24的等差數(shù)列從第10項起為正數(shù),那么公差的取值范圍是()A.B.(-∞,3)C.D.[答案]D[解析]設該等差數(shù)列為{an},其公差為d,那么an=-24+(n-1)d,a9=-24+8d,a10=-24+9d.因為從第10項起為正數(shù),所以即即<d≤3.23.等差數(shù)列{an}滿足條件a3=4,公差d=-2,那么a2+a6等于()[答案]C[解析]∵等差數(shù)列{an}滿足條件a3=4,公差d=-2,∴a4=2.∴a2+a6=2a4=4,應選C.24.在等差數(shù)列{an}中,a4+a8=16,那么該數(shù)列前11項和S11=()思路點撥等差數(shù)列性質(zhì)→a1+a11=a4+a8→公式法求S11[答案]B[解析]S11=,∵a1+a11=a4+a8=16,∴S11===88,應選B.25.設{an}為等差數(shù)列,公差d=-2,Sn10=S11,那么a1=()思路點撥S10=S11→a11=0→求a1[答案]B[解析]由S10=S11得a11=0,即a1+10d=0,又d=-2,∴a1=20.選B.26.設數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,那么a8的值為()[答案]A[解析]解法一:S8=82=64,S7=72=49,a8=S8-S7=64-49=15.解法二:∵Sn=n2,∴a1=S1=1.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.∵a1=1也符合上式,∴an=2n-1.∴a8=2×8-1=15.27.等差數(shù)列{an}中,an=2n-1,那么其前n項和Sn=________.[答案]n2[解析]a1=1,Sn===n2.28.等差數(shù)列16,14,12,…的前n項和為Sn,那么使得Sn最大的序號n的值是________.[答案]8或9[解析]根據(jù)前n項和Sn的二次函數(shù)特征,可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求滿足條件的n的值.由題意知,等差數(shù)列16,14,12,…的公差為-2,所以Sn=16n+×(-2)=-n2+17n=-+,∴當n取與最接近的整數(shù)8或9時,Sn取值最大.29.在等差數(shù)列{an}中,a2=-1,a4=5,那么{an}的前5項和S5=()[答案]A[解析]等差數(shù)列{an}中,∵a2=-1,a4=5,∴解得a1=-4,d=3,∴{an}的前5項和S5=5×(-4)+×3=10,應選A.30.數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a5=1,a9=81,那么a7=()[答案]B[解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a7為a5與a9的等比中項,所以=a5×a9=1×81,解得a7=9或a75,a7,a9為等比數(shù)列的奇數(shù)項,所以三項同號,故a7=9,應選B.31.在正項等比數(shù)列{an}中,lga3+lga6+lga9=6,那么a1a11的值是()A.10B.1000C.100D.10000[答案]D[解析]由得lga3+lga6+lga9=lg(a3a6a9)=6,所以a3a6a9=106,而a3a9=,所以=106.所以a6=102.由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a11==104,應選D.32.等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a2·a6=9a4,a2=1,那么a1的值為()D.[答案]D[解析]{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,設公比為q(q>0),那么a2·a6==9a4,∴a4=9,∴q2==9,q=3,∴a1==.33.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},a1·a9=16,那么a2·a5·a8的值為()[答案]D[解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1·a9==16,∵an>0,∴a5=4,∴a2·a5·a8==64.應選D.34.設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.假設S2=3,S4=15,那么S6=()思路點撥等比數(shù)列前

n項和性質(zhì)→S2,S4-S2,S6-

S4成等比數(shù)列→代入數(shù)據(jù)

求S6[答案]C[解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)得(S4-S2)2=S2·(S6-S4),即122=3×(S6-15),解得S6=63.應選C.35.數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,那么數(shù)列{an}的前n項和等于________.思路點撥求a1,q→公式法求Sn[答案]2n-1[解析]由得,a1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,解得或而數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,∴a1<a4,∴a1=1,a4=8,從而q3==8,即q=2,那么前n項和Sn==2n-1.36.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{ann=126,那么n=________.思路點撥由條件及等比數(shù)列的定義可知,數(shù)列{an}為等比數(shù)列且公比q=2,進而結(jié)合a1=2,Sn=126可求n值.[答案]6[解析]由得{an}為等比數(shù)列,公比q=2,由首項a1=2,Sn=126得=126,解得2n+1=128,∴n=6.

【不等式】37.假設a>b>0,c<d<0,那么一定有()A.>B.<C.>D.<思路點撥不等式性質(zhì)→條件式變形→正確選項[答案]B[解析]∵c<d<0,∴0>>,兩邊同乘-1,得->->0,又a>b>0,故由不等式的性質(zhì)可知->->0,兩邊同乘-1,得<.應選B.38.設a,b,c∈R,且a>b,那么()A.ac>bcB.<2>b23>b3思路點撥不等式性質(zhì)→排除法[答案]D[解析]A選項,當c<0時,ac<bc,故A不正確;B選項,當a>0>b時,顯然B不正確;C選項,當a=1,b=-2時,a2<b2,C不正確;D選項,因y=x3是單調(diào)增函數(shù),所以當a>b時,有a3>b3,D是正確的.應選D.39.設a+b<0,且b>0,那么()2>a22<a22<-ab<b22>-ab>b2[答案]D[解析]∵a+b<0,且b>0,∴a<0,a<-b,b<-a.由不等式的根本性質(zhì)得a2>-ab>b2,應選D.40.函數(shù)y=的定義域是()A.{x|x<-4或x>3}B.{x|-4<x<3}C.{x|x≤-4或x≥3}D.{x|-4≤x≤3}[答案]C[解析]要使函數(shù)有意義,只需x2+x-12≥0.方程x2+x-12=0的解為x1=-4,x2=3.函數(shù)y=x2+x-12的圖象開口向上且與x軸的兩個交點為(-4,0),(3,0).故原不等式的解集為{x|x≤-4或x≥3}.41.設變量x,y滿足約束條件那么目標函數(shù)z=3x+y的最大值為()思路點撥畫平面區(qū)域→找最優(yōu)解→求最大值[答案]C[解析]由x,y的約束條件畫出可行域(如圖),其中A(2,3),B(2,1),當直線3x+y-z=0經(jīng)過點A(2,3)時,z取最大值9,應選C.42.x,y滿足約束條件那么z=2x+4y的最小值是()[答案]B[解析]可行域為圖中△ABC及其內(nèi)部的平面區(qū)域,當直線y=-+經(jīng)過點B(3,-3)時,z最小,zmin=-6.43.a>0,b>0,a+b=2,那么y=+的最小值是()A.B.4C.[答案]C[解析]∵a+b=2,∴=1,y=+=(a+b)=+≥+·2=,當且僅當=時,上式取等號,應選C.44.x<,那么函數(shù)y=2x+的最大值是()[答案]C[解析]y=2x+=-+1,由x<,可得1-2x>0.根據(jù)根本不等式可得(1-2x)+≥2,當且僅當1-2x=,即x=0時,等號成立,那么ymax=-1.45.正數(shù)x、y滿足+=1,那么x+2y的最小值是________.[答案]8[解析]∵正數(shù)x,y滿足+=1,∴x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=4+4=8,當且僅當=,即x=2y=4時等號成立,∴x+2y的最小值是8.46.x<,那么函數(shù)y=4x-2+的最大值為________.[答案]1[解析]∵x<,∴4x-5<0,5-4x>0.由于y=4x-2+=(4x-5)++3,∴-y=(5-4x)+-3≥2-3=-1,當且僅當5-4x=,即x=1時,等號成立.故-y≥-1,∴y≤1,∴y=4x-2+的最大值為1.

數(shù)列解答題考點一：等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)【例1】設等差數(shù)列滿足，?！并瘛城蟮耐椆?；〔Ⅱ〕求的前項和及使得最大的序號的值?！窘馕觥俊?〕由及，得解得數(shù)列的通項公式為。(2)由(1)知因為.所以時，取得最大值。點評：此題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前項和公式、利用函數(shù)思想求最值。【例2】等比數(shù)列中，，公比?！睮〕為的前項和，證明： 〔II〕設，求數(shù)列的通項公式?！窘馕觥俊并瘛骋驗樗浴并颉? 所以的通項公式為【例3】等差數(shù)列的公差不為零，，且成等比數(shù)列.〔Ⅰ〕求的通項公式；〔Ⅱ〕求.【點評】本組題考查等差、等比數(shù)列的根本運算和性質(zhì).考點二：裂項相消求和法【例4】設是數(shù)列的前項和，且，〔〕．〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項公式及前項和； 〔Ⅱ〕令，求數(shù)列的前項和．【解析】〔Ⅰ〕因為，所以，得，當時，，，相減，得，得，由等比數(shù)列定義知，數(shù)列是等比數(shù)列，且，所以，．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，，那么，那么所以．【例5】正項數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.【解析】(1)由，