2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊(cè) 第三章 數(shù)學(xué)探究活動(dòng)一正方體截面探究 作業(yè)

第三章§5數(shù)學(xué)探究活動(dòng)(一):正方體截面探究A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為2的正方體,E,F,G分別為AA1,D1C1,BC的中點(diǎn),過E,F,G的平面截正方體的截面面積為()A.3 B.2 C.33 D.322.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的一個(gè)截面經(jīng)過頂點(diǎn)A,C及棱A1D1上一點(diǎn)K,且將正方體分成體積之比為13∶41的兩部分,則D1KKA.1 B.22 C.123.如圖,在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱AB,B1C1的中點(diǎn),過C,M,N三點(diǎn)作正方體的截面,則以B點(diǎn)為頂點(diǎn),以該截面為底面的棱錐的體積為()A.8 B.7 C.16 D.144.(多選題)如圖,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E為A1D1的中點(diǎn),F為CC1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)由點(diǎn)A,E,F構(gòu)成的平面為α,則下列說法正確的是()A.平面α截正方體的截面可能是三角形B.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí),平面α截正方體的截面面積為26C.點(diǎn)D到平面α的距離的最大值為2D.當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面α截正方體的截面為五邊形B級(jí)關(guān)鍵能力提升練5.已知球O與棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的各面都相切,則平面ACB1截球O所得的截面圓與球心O所構(gòu)成的圓錐的體積為()A.239π B.C.2327π D.6.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,N為CC1的中點(diǎn),M為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),若過點(diǎn)A,M,N的平面截該正方體所得截面為四邊形,則線段BM長(zhǎng)度的取值范圍是()A.(0,1] B.[1,2)C.0,D.3C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練7.如圖所示,在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱C1D1,B1C1的中點(diǎn),過A,E,F三點(diǎn)作該正方體的截面,則截面的周長(zhǎng)為()A.18+32 B.613+32C.65+92 D.10+32+410

參考答案§5數(shù)學(xué)探究活動(dòng)(一):正方體截面探究1.C取A1D1,C1C,AB的中點(diǎn)M,N,K,連接EM,MF,FN,NG,GK,EK.根據(jù)正方體的性質(zhì),得六邊形EMFNGK為邊長(zhǎng)為2的正六邊形,所以面積為6×12×2×2×sin60°=2.C過點(diǎn)K作KE∥AC,交C1D1于點(diǎn)E,連接CE,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,設(shè)D1KKA1=1λ(∵截面將正方體分成體積之比為13∶41的兩部分,∴VKED1-ACD=13a12×解得λ=2(負(fù)值舍去),∴D13.A如圖,過C,M,N三點(diǎn)的截面為梯形MCNE,則幾何體MBC-EB1N為棱臺(tái),S△MBC=12×2×4=4,S△∴V四棱錐B-MCNE=V棱臺(tái)MBC-EB1N-V三棱錐B-4.BCD以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,延長(zhǎng)AE與z軸交于點(diǎn)P,連接PF與y軸交于點(diǎn)M,則平面α由平面AEF擴(kuò)展為平面APM,由此可知選項(xiàng)A錯(cuò)誤,選項(xiàng)D正確;對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí),截面是一個(gè)棱長(zhǎng)為5的菱形,該菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度分別為AC1=22+22+22=23和22+22=22,則此時(shí)截面的面積為12×23×22=26,故選項(xiàng)B正確;因?yàn)镈(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,4),設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,t,0),t∈[2,4],則DA=(2,0,0),AM=(-2,t,0),PA=(2,0,-4),點(diǎn)P到直線AM的距離為d2=|PA|2-PA·AM|AM|2=20t2+644+t2,所以△APM的面積S△APM=12t2+4·d2=5t2+16,又因?yàn)?.C由題意,球心O與點(diǎn)B的距離為12×23=3,B到平面ACB1的距離為13×23=233,球的半徑為1,球心到平面ACB1的距離為3-233=33,∴平面ACB1截此球所得的截面的圓的半徑為1-13=63,∴6.A當(dāng)點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)時(shí),截面為四邊形AMND1,又正方體的棱長(zhǎng)為2,∴當(dāng)0<BM≤1時(shí),截面為四邊形,當(dāng)BM>1時(shí),截面與正方體的上底面也相交,截面為五邊形,故線段BM的取值范圍為(0,1].故選A.7.B如圖所示,延長(zhǎng)EF,A1B1相交于點(diǎn)M,連接AM交BB1于點(diǎn)H,延長(zhǎng)FE,A1D1相交于點(diǎn)N,連接AN交DD1于點(diǎn)G,可