初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè) 3.5 用計(jì)算器求方差

3.5用計(jì)算器求方差說(shuō)題流程說(shuō)解法說(shuō)題目說(shuō)背景說(shuō)拓展

說(shuō)反思說(shuō)題說(shuō)評(píng)價(jià)說(shuō)題題目（2014?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長(zhǎng)為

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本題主要考查求一條線段長(zhǎng)度，縱觀近幾年江蘇省各市的中考題，對(duì)此知識(shí)點(diǎn)的考查比較基礎(chǔ)，解決此類問(wèn)題主要有以下幾種常規(guī)解題思路：1、利用線段的和差，通過(guò)平移或等量變換轉(zhuǎn)化到同一直線上解決問(wèn)題。2、利用勾股定理，構(gòu)造一個(gè)直角三角形，并找到其中兩邊的數(shù)量，從而求出線段長(zhǎng)度。3、利用平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)建立坐標(biāo)系，知道點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)勾股定理，求出兩點(diǎn)間的距離。4、利用相似比，構(gòu)造兩個(gè)相似三角形，并知道比例關(guān)系中四個(gè)量中的三個(gè)量。反觀本題，在前面所述的基礎(chǔ)上，滲透圖形變換思想。

說(shuō)背景本題涉及的知識(shí)點(diǎn)有：全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)。初看這道題時(shí)，有四邊形，有對(duì)角線，有等腰直角三角形和3、4，想當(dāng)然的在圖形中直接尋找直角三角形來(lái)解決。真正下手時(shí)，發(fā)現(xiàn)行不通。接著想通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形來(lái)解決，但幾次嘗試后，發(fā)覺(jué)直接把線段BD轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中仍無(wú)法解決。雖然通過(guò)勾股定理解決線段長(zhǎng)度，是解決本題的切入點(diǎn)，但題目的難點(diǎn)是學(xué)生無(wú)法將要求的線段轉(zhuǎn)化到合適的直角三角形中。由于本題條件比較分散，需要學(xué)生通過(guò)添加輔助線構(gòu)造全等三角形，從而把要求的線段等量轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中，在證明兩三角形全等和一個(gè)三角形為直角三角形的基礎(chǔ)上，利用勾股定理，解決問(wèn)題，因此難度較大。說(shuō)解法要求BD，BD是一條傾斜的線段，從已有的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)考慮，在直觀上構(gòu)造以BD為斜邊的直角三角形的模型即可，過(guò)哪個(gè)點(diǎn)作呢？可以過(guò)點(diǎn)D作BC延長(zhǎng)線的垂線，或點(diǎn)D作BA延長(zhǎng)線上的垂線，或過(guò)點(diǎn)B作DA延長(zhǎng)線上的垂線，幾種方法可以都試試，從這些輔助線夠成的草圖里，看到了一個(gè)全等的基本圖形，利用這個(gè)圖形證明三角形全等得到線段相等，通過(guò)AD=4，CD=3及勾股定理，求出CE，AE，從而得到BF，DF，最后用勾股定理解決。在此，也教導(dǎo)學(xué)生解題時(shí)，往往不是一下就成功的，需要我們不斷嘗試。EF說(shuō)解法一說(shuō)解法一對(duì)于數(shù)學(xué)中等以上難度問(wèn)題的解答，個(gè)人把它們分成兩種類型：一是“好想不好做”，即學(xué)生在解答過(guò)程中很容易找到解題的切入點(diǎn)，但解題過(guò)程繁雜；二是“好做不好想”，即解題的切入點(diǎn)很隱蔽，需要學(xué)生把解題的時(shí)間主要放在“突破口”上，一旦突破，解題過(guò)程比較簡(jiǎn)單。上述解法，即“好想不好做”。這時(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生再次深挖圖形特點(diǎn)，通過(guò)圖形旋轉(zhuǎn)，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABD90度，就可以達(dá)到集中條件、溝通已知，便于求解的目的。說(shuō)解法二說(shuō)解法二作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖，∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD與△CAD′中，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得CD′=∴BD=CD′=，解：將△ADC繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)900，則△ADC≌AD′B∴AD=AD′,∠DAC′=∠D′AB∠DAC′+∠CAD′=∠D′AB

+∠CAD′∴∠DAD′=∠CAB

=900∵∠ADC

=∠ADD′=450,則D、C、D′三點(diǎn)共線在Rt△ADD′中，由勾股定理易得DD′=

由旋轉(zhuǎn)可知

，∠DD′B=900在Rt△DD′B中再次利用勾股定理得DB=

說(shuō)解法三初中幾何在提高學(xué)生的基本技能，推理能力上有著非常重要的作用。在幾何解答題中，問(wèn)題的解決往往要通過(guò)“鋪設(shè)橋梁”（即參量），將已知和未知聯(lián)系起來(lái)，當(dāng)題目給出的條件顯得不夠或者不明顯時(shí)，我們可以將圖形作一定的變換，這樣將有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的隱含條件，抓住問(wèn)題的切入點(diǎn)，使問(wèn)題得以突破，找到滿意的解答。像本題這樣，通過(guò)圖形變換綜合考查多項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)的題目，能夠很好的發(fā)展學(xué)生空間觀念、推理能力及綜合分析能力，是近幾年中考命題的熱點(diǎn)，常常在中考中起到甄選的作用。說(shuō)評(píng)價(jià)5說(shuō)拓展1—由其他特殊角度聯(lián)想到的拓展拓展意圖：拓展1是在原題基礎(chǔ)上，針對(duì)特殊角度進(jìn)行的簡(jiǎn)單變式，讓學(xué)生一是掌握此類問(wèn)題的常規(guī)解決思路，二是對(duì)于30、45、60、90度這些特殊角在圖形解答過(guò)程中往往需用圖形的三種變換來(lái)解決，以此提高學(xué)生面對(duì)此類問(wèn)題時(shí)想到圖形變換的敏感性。2、四邊形ABCD，∠ADC=30度，∠ABC=60度，AB=BC.試判斷BD,AD,DC之間的數(shù)量關(guān)系。BE說(shuō)拓展2—由其他設(shè)問(wèn)聯(lián)想到的拓展拓展意圖：拓展2是針對(duì)設(shè)問(wèn)進(jìn)行的拓展，讓學(xué)生掌握其中一般性的數(shù)量關(guān)系，從特殊到一般的解題常規(guī)思路總結(jié)。3、如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．

說(shuō)拓展3—由其他解題思路聯(lián)想到的拓展分析：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論。拓展意圖：前面的拓展，解題思路都是利用勾股定理，構(gòu)造直角三角形來(lái)解決。而本題是利用線段的和差，通過(guò)構(gòu)造全等三角形，然后利用等量變化轉(zhuǎn)化到同一直線來(lái)解決，讓學(xué)生體會(huì)到在知識(shí)點(diǎn)考查相同情況下，不同解題思路的區(qū)別與聯(lián)系。說(shuō)拓展4—由其他圖形變換聯(lián)想到的拓展

4、已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD=2，CD=3，求AD的長(zhǎng).拓展意圖：原題是通過(guò)圖形旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造直角三角形，利用全等和勾股定理解決，而拓展4在遵循原題出題意圖基礎(chǔ)上，對(duì)具體解題突破口的改變，使學(xué)生更進(jìn)一步體會(huì)到圖形三種變化在解題中的應(yīng)用。5、如圖，在四邊形ABCD中，CD=3，DB=，△ABC與△ADE都是等腰三角形，且∠CAB=∠DAE，ED=，設(shè)∠ACB=∠1,∠ADC=∠2，試說(shuō)明∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系。分析：連結(jié)CE，證明△ADB與△ACE全等，得到CE的長(zhǎng)，利用勾股定理逆定理得到△CDE為直角三角形。從而可以得到∠1+∠2=90°說(shuō)拓展5—由逆向思考聯(lián)想到的拓展拓展意圖：拓展5是原題的部分條件和結(jié)論對(duì)調(diào)進(jìn)行的拓展變形。在保證考查內(nèi)容的同時(shí)，使學(xué)生感悟到勾股定理和勾股定理逆定理之間的聯(lián)系。通過(guò)此拓展，使學(xué)生在幾何解題中體會(huì)互逆命題的關(guān)系。說(shuō)反思圖形變換是一種重要的思想方法，它是一種以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)處理孤立的、離散的問(wèn)題的思想，變換的目的是為了實(shí)現(xiàn)已知與結(jié)論中的相關(guān)元素的相對(duì)集中或分散重組，使表面上不能發(fā)生聯(lián)系的元素聯(lián)系起來(lái)。初中圖形變換包含平移、旋轉(zhuǎn)和翻折，現(xiàn)實(shí)中，學(xué)生對(duì)幾何類的題目最怕，復(fù)雜的幾何圖形將學(xué)生弄得頭昏腦脹，幾何題中又