初中數(shù)學九年級上冊 3.5 用計算器求方差

3.5用計算器求方差說題流程說解法說題目說背景說拓展

說反思說題說評價說題題目（2014?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為

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本題主要考查求一條線段長度，縱觀近幾年江蘇省各市的中考題，對此知識點的考查比較基礎(chǔ)，解決此類問題主要有以下幾種常規(guī)解題思路：1、利用線段的和差，通過平移或等量變換轉(zhuǎn)化到同一直線上解決問題。2、利用勾股定理，構(gòu)造一個直角三角形，并找到其中兩邊的數(shù)量，從而求出線段長度。3、利用平面直角坐標系，通過建立坐標系，知道點的坐標，通過勾股定理，求出兩點間的距離。4、利用相似比，構(gòu)造兩個相似三角形，并知道比例關(guān)系中四個量中的三個量。反觀本題，在前面所述的基礎(chǔ)上，滲透圖形變換思想。

說背景本題涉及的知識點有：全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)。初看這道題時，有四邊形，有對角線，有等腰直角三角形和3、4，想當然的在圖形中直接尋找直角三角形來解決。真正下手時，發(fā)現(xiàn)行不通。接著想通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決，但幾次嘗試后，發(fā)覺直接把線段BD轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中仍無法解決。雖然通過勾股定理解決線段長度，是解決本題的切入點，但題目的難點是學生無法將要求的線段轉(zhuǎn)化到合適的直角三角形中。由于本題條件比較分散，需要學生通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形，從而把要求的線段等量轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中，在證明兩三角形全等和一個三角形為直角三角形的基礎(chǔ)上，利用勾股定理，解決問題，因此難度較大。說解法要求BD，BD是一條傾斜的線段，從已有的經(jīng)驗知識考慮，在直觀上構(gòu)造以BD為斜邊的直角三角形的模型即可，過哪個點作呢？可以過點D作BC延長線的垂線，或點D作BA延長線上的垂線，或過點B作DA延長線上的垂線，幾種方法可以都試試，從這些輔助線夠成的草圖里，看到了一個全等的基本圖形，利用這個圖形證明三角形全等得到線段相等，通過AD=4，CD=3及勾股定理，求出CE，AE，從而得到BF，DF，最后用勾股定理解決。在此，也教導學生解題時，往往不是一下就成功的，需要我們不斷嘗試。EF說解法一說解法一對于數(shù)學中等以上難度問題的解答，個人把它們分成兩種類型：一是“好想不好做”，即學生在解答過程中很容易找到解題的切入點，但解題過程繁雜；二是“好做不好想”，即解題的切入點很隱蔽，需要學生把解題的時間主要放在“突破口”上，一旦突破，解題過程比較簡單。上述解法，即“好想不好做”。這時，我們可以引導學生再次深挖圖形特點，通過圖形旋轉(zhuǎn)，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)△ABD90度，就可以達到集中條件、溝通已知，便于求解的目的。說解法二說解法二作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖，∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD與△CAD′中，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得CD′=∴BD=CD′=，解：將△ADC繞著點A旋轉(zhuǎn)900，則△ADC≌AD′B∴AD=AD′,∠DAC′=∠D′AB∠DAC′+∠CAD′=∠D′AB

+∠CAD′∴∠DAD′=∠CAB

=900∵∠ADC

=∠ADD′=450,則D、C、D′三點共線在Rt△ADD′中，由勾股定理易得DD′=

由旋轉(zhuǎn)可知

，∠DD′B=900在Rt△DD′B中再次利用勾股定理得DB=

說解法三初中幾何在提高學生的基本技能，推理能力上有著非常重要的作用。在幾何解答題中，問題的解決往往要通過“鋪設(shè)橋梁”（即參量），將已知和未知聯(lián)系起來，當題目給出的條件顯得不夠或者不明顯時，我們可以將圖形作一定的變換，這樣將有利于發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，抓住問題的切入點，使問題得以突破，找到滿意的解答。像本題這樣，通過圖形變換綜合考查多項知識點的題目，能夠很好的發(fā)展學生空間觀念、推理能力及綜合分析能力，是近幾年中考命題的熱點，常常在中考中起到甄選的作用。說評價5說拓展1—由其他特殊角度聯(lián)想到的拓展拓展意圖：拓展1是在原題基礎(chǔ)上，針對特殊角度進行的簡單變式，讓學生一是掌握此類問題的常規(guī)解決思路，二是對于30、45、60、90度這些特殊角在圖形解答過程中往往需用圖形的三種變換來解決，以此提高學生面對此類問題時想到圖形變換的敏感性。2、四邊形ABCD，∠ADC=30度，∠ABC=60度，AB=BC.試判斷BD,AD,DC之間的數(shù)量關(guān)系。BE說拓展2—由其他設(shè)問聯(lián)想到的拓展拓展意圖：拓展2是針對設(shè)問進行的拓展，讓學生掌握其中一般性的數(shù)量關(guān)系，從特殊到一般的解題常規(guī)思路總結(jié)。3、如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．

說拓展3—由其他解題思路聯(lián)想到的拓展分析：延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論。拓展意圖：前面的拓展，解題思路都是利用勾股定理，構(gòu)造直角三角形來解決。而本題是利用線段的和差，通過構(gòu)造全等三角形，然后利用等量變化轉(zhuǎn)化到同一直線來解決，讓學生體會到在知識點考查相同情況下，不同解題思路的區(qū)別與聯(lián)系。說拓展4—由其他圖形變換聯(lián)想到的拓展

4、已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點D，且BD=2，CD=3，求AD的長.拓展意圖：原題是通過圖形旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造直角三角形，利用全等和勾股定理解決，而拓展4在遵循原題出題意圖基礎(chǔ)上，對具體解題突破口的改變，使學生更進一步體會到圖形三種變化在解題中的應(yīng)用。5、如圖，在四邊形ABCD中，CD=3，DB=，△ABC與△ADE都是等腰三角形，且∠CAB=∠DAE，ED=，設(shè)∠ACB=∠1,∠ADC=∠2，試說明∠1與∠2之間的數(shù)量關(guān)系。分析：連結(jié)CE，證明△ADB與△ACE全等，得到CE的長，利用勾股定理逆定理得到△CDE為直角三角形。從而可以得到∠1+∠2=90°說拓展5—由逆向思考聯(lián)想到的拓展拓展意圖：拓展5是原題的部分條件和結(jié)論對調(diào)進行的拓展變形。在保證考查內(nèi)容的同時，使學生感悟到勾股定理和勾股定理逆定理之間的聯(lián)系。通過此拓展，使學生在幾何解題中體會互逆命題的關(guān)系。說反思圖形變換是一種重要的思想方法，它是一種以變化的、運動的觀點來處理孤立的、離散的問題的思想，變換的目的是為了實現(xiàn)已知與結(jié)論中的相關(guān)元素的相對集中或分散重組，使表面上不能發(fā)生聯(lián)系的元素聯(lián)系起來。初中圖形變換包含平移、旋轉(zhuǎn)和翻折，現(xiàn)實中，學生對幾何類的題目最怕，復(fù)雜的幾何圖形將學生弄得頭昏腦脹，幾何題中又