數(shù)學-專題34 旋轉綜合題中的面積問題（帶答案）

專題34旋轉綜合題中的面積問題【題型演練】一、單選題1．（2020·廣西玉林·九年級期中）將直角邊長為的等腰直角繞點逆時針旋轉后得到△，則圖中陰影部分的面積(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉的性質，旋轉角∠CAC=15°，則∠BAC=45°?15°=30°，可見陰影部分是一個銳角為30°的直角三角形，且已知直角邊AC=3厘米，根據(jù)勾股定理或者三角函數(shù)求出另一直角邊即可解答．【詳解】解：設與交于點，根據(jù)旋轉性質得，而，，又，，，陰影部分的面積．故選：．【點睛】本題考查旋轉的性質和解直角三角形．旋轉變化前后，對應點到旋轉中心的距離相等以及每一對對應點與旋轉中心連線所構成的旋轉角相等．要注意旋轉的三要素：①定點·旋轉中心；②旋轉方向；③旋轉角度

2．（2022·廣東·廣州天省實驗學校九年級階段練習）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，點D是斜邊上任意一點，將點D繞點C逆時針旋轉60°得到點E，則線段DE長度的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】A【分析】由旋轉的性質可證△CDE為等邊三角形，當DE最短，CD最短，CD⊥AB時，CD最短，由直角三角形等面積法，即可求得．【詳解】解：由旋轉的性質得，CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE為等邊三角形，∴CD＝CE＝DE，當DE最短，CD最短，當CD⊥AB時，CD最短，此時S△ABC＝AC?BC＝AB?CD，即AC?BC＝AB?CD，在Rt△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝5，BC＝3，由勾股定理得，AC＝4，∴3×4＝5CD，∴CD＝，∴線段DE長度的最小值是，∴故選：A．【點睛】本題主要考查了旋轉以及等邊三角形，熟練等面積法是解決本題的關鍵．3．（2022·新疆·烏魯木齊市第126中學九年級期末）如圖，在正方形ABCD中，點O為對角線的交點，點P為正方形外一點，且滿足∠BPC＝90°，連接PO．若PO＝4，則四邊形OBPC的面積為（）

A．6 B．8 C．10 D．16【答案】B【分析】先畫出將△OCP順時針旋轉90°到△OBQ的位置的圖形，再證Q、B、P在同一條直線上，再利用旋轉的性質和正方形的性質，證△POQ是直角三角形，求出S△POQOP?OQ4×4＝8，最后由S四邊形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ求解．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴OC＝OB，∠BOC＝90°，∴將△OCP順時針旋轉90°，則到△OBQ的位置，則△OCP≌△OBQ，∵∠BPC＝90°，∴∠OCP+∠OBP＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠OCP＝∠OBQ，∴∠OBQ+∠OBP＝180°，∴Q、B、P在同一條直線上，∵PO＝4，△OCP≌△OBQ，∴QO＝PO＝4，∠COP＝∠BOQ，

∴∠QOP＝∠BOC＝90°，∴△POQ是直角三角形，∵S△POQOP?OQ4×4＝8，∴S四邊形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ＝8，故選：B．【點睛】本題屬旋轉綜合題目，考查了旋轉的性質，正方形的性質，利用旋轉性質和數(shù)形結合思想得出S四邊形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ是解題的關鍵．4．（2021·新疆農(nóng)業(yè)大學附屬中學九年級期末）如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將△ACP繞點A順時針旋轉60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，則四邊形APBQ的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接PQ．由題意△PQA是等邊三角形，利用勾股定理的逆定理證明∠PQB＝90°即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接PQ．∵△ACP繞點A順時針旋轉60°得到△ABQ，∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°，∴△PAQ是等邊三角形，∴PQ＝PA＝2，

∵PB＝4，∴，∴∠PQB＝90°，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質以及勾股定理的逆定理，熟練掌握相關內容是解題的關鍵．5．（2022·天津·塘沽二中九年級期中）將兩塊斜邊長度相等的等腰直角三角形板如圖①擺放，如果把圖①中的繞點C逆時針旋轉得，連接，如圖②．下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法一一進行判斷即可得到答案．【詳解】解：∵和是等腰直角三角形，且斜邊相等，∴，

∴(ASA)

，故選項A正確；根據(jù)旋轉的性質可得，故選項B正確；∵，，并不一定相等，∴不一定全等，故選項C錯誤；∵，∴,

∵,∴，∴，∴,∵，∴，故選項D正確；故選C．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質、旋轉的性質和全等三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．6．（2021·湖北荊州·九年級期中）如圖，兩個邊長都為2的正方形ABCD和OPQR，如果O點正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以繞O點旋轉，那么它們重疊部分的面積為(

)A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【分析】連OA，OB，設OR交BC于M，OP交AB于N，由四邊形ABCD為正方形，得到OB=OA，∠BOA=90°，∠MBO=∠OAN=45°，而四邊形ORQP為正方形，得∠NOM=90°，所以∠MOB=∠NOA，則△OBM≌△OAN，即可得到S四邊形MONB=S△AOB=×2×2=1．【詳解】連OA，OB，設OR交BC于M，OP交AB于N，如圖，

∵四邊形ABCD為正方形，∴OB=OA，∠BOA=90°，∠MBO=∠OAN=45°，而四邊形ORQP為正方形，∴∠NOM=90°，∴∠MOB=∠NOA，∴△OBM≌△OAN，∴S四邊形MONB=S△AOB=×2×2=1，即它們重疊部分的面積為1．故選C．【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了正方形的性質．7．（2022·重慶一中九年級階段練習）如圖，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，連接BD，將△BCD繞點D順時針旋轉n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，連接BB′，CC′，延長CC′交BB′于點N，連接AB′，當∠BAB′＝∠BNC時，則△ABB′的面積為（）A． B． C． D．【答案】C

【分析】過點D作DE⊥AB′，交的延長線于點E，利用直角三角形的邊角關系可得AD的長，由旋轉可知：DC＝DC′，DB＝DB′，∠CDC′＝∠BDB′，得到△CDC′∽△BDB′，則∠DCC′＝∠DBB′，利用三角形的內角和定理可得∠BNC=∠CDB=60°，于是∠BAB′＝60°；在中利用直角三角形的邊角關系可得AE，DE，在中，利用勾股定理可求，則AB′＝B′E﹣AE；利用平行線之間的距離相等可得△ABB′中AB′邊上的高等于DE，利用三角形的面積公式結論可求．【詳解】解：過點D作DE⊥AB′，交B′A的延長線于點E，如圖，在矩形ABCD中，∵∠ABD＝60°，BD＝16，∴AD＝BC＝BD?sin∠ABD＝16×＝8．由旋轉可知：DC＝DC′，DB＝DB′，∠CDC′＝∠BDB′，∴，∴△CDC′∽△BDB′．∴∠DCC′＝∠DBB′．∴∠BNC＝∠CDB．∵∠CDB＝∠ABD，∠BNC＝∠BAB′，∠ABD＝60°，∴∠BAB′＝60°．∵∠BAD＝90°，∴∠EAD＝180°﹣∠BAB′﹣∠BAD＝30°．∴DE＝＝4，AE＝AD?cos∠EAD＝8×＝12．

∴B′E＝．∴AB′＝B′E﹣AE＝4﹣12．∵∠BAB′＝∠ABD＝60°，∴AB′∥BD．∴△ABB′中AB′邊上的高等于DE．∴＝×（4﹣12）×4＝8﹣24．故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，旋轉的性質，勾股定理，直角三角形的邊角關系，相似三角形的判定與性質，過點D作DE⊥，添加適當?shù)妮o助線，利用直角三角形的邊角關系求得的長是解題的關鍵．8．（2022·浙江·寧波市鎮(zhèn)海區(qū)駱駝中學九年級期中）如圖，中，，點是上一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉90°得到線段，連接，當面積最大時，的長為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】連接點A和中點F，過點F作，垂足為點H，連接，證明點H、F、E三點共線，則為的高，根據(jù)三角形的面積公式將的面積表示出來即可解答．

【詳解】連接點A和中點F，過點F作，垂足為點H，連接，∵點F為中點F，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，則點H、F、E三點共線，故為的高，設，則，根據(jù)勾股定理得：，∴，∵，∴，

∴，即，解得：，∴，，∴當面積最大時，，故選：C．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，勾股定理，全等三角形和相似三角形的判定，以及二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是根據(jù)題意畫出輔助線構造全等三角形．9．（2020·湖北武漢·模擬預測）如圖，將繞點逆時針旋轉60°得到，連接．若，，則四邊形面積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將四邊形的面積轉化為，再進行分析解答【詳解】由旋轉得：，∴，設四邊形面積為S，∴．由旋轉可知，AB＝AD，而∠DAB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴，∠ADB＝∠ABD＝∠DAB＝60°，

∴，∴最大時，最小，作的外接圓，易知．∴，．當為中點時，面積最大，過作于，則．設，．∴，．∴．∴．故選D．【點睛】本題求面積的最小值，考查的知識點有等邊三角形的判定與性質、圓周角定理、旋轉的性質、勾股定理等知識，綜合性強，難度較大．10．（2021·廣東·廣州市第七中學九年級期中）如圖，O是正△ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，下列結論：①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；②點O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④S四邊形AOBO′=6+4；⑤S△AOC+S△AOB=6+，其中正確的結論是（）

A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【答案】D【分析】證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論①正確；由△OBO′是等邊三角形，可知結論②正確；在△AOO′中，由三邊長為3，4，5，得△AOO′是直角三角形；進而求得∠AOB=150°，故結論③正確；S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故結論④正確；將△AOC繞A點順時針旋轉60°到△ABO'位置，S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+，故結論⑤正確．【詳解】如圖，由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論①正確；如圖，連接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等邊三角形，∴OO′=OB=4．

故結論②正確；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故結論③正確；S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，故結論④正確；如圖2，將△AOC繞A點順時針旋轉60°到△ABO'位置，同理可得S△AOC+S△AOB=S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+，故⑤正確；故選D．【點睛】本題考查了旋轉變換中等邊三角形，直角三角形的性質．利用勾股定理的逆定理，判定勾股數(shù)3、4、5所構成的三角形是直角三角形，這是本題的要點．11．（2021·四川內江·一模）一副三角板按圖1所示的位置擺放，將△DEF繞點A(F)逆時針旋轉60°后(圖2)，測得CG＝10cm，則兩個三角形重疊(陰影)部分的面積為(

)A．75cm2； B．（25＋25)cm2； C．(25＋)cm2； D．(25＋)cm2

【答案】C【分析】過點G作，根據(jù)題意及三角函數(shù)可得，，結合圖形求解即可得出結果．【詳解】解：過點G作，如圖所示，，，，在中，，在中，，∴，陰影部分的面積為：，故選：C．【點睛】本題考查旋轉、三角形的面積公式，銳角三角函數(shù)解三角形等，掌握旋轉的特征和三角形的面積公式是解答本題的關鍵．12．（2022·福建·廈門市華僑中學九年級期中）如圖（1），有兩全等的正三角形，，且，A分別為，的重心.固定點，將逆時針旋轉，使得A落在上，如圖（2）所示.則圖（1）與圖（2）中，兩個三角形重疊區(qū)域的面積比為（

）

A．2：1 B．3：2 C．4：3 D．5：4【答案】C【分析】連接，交于點O，根據(jù)等邊三角形的性質及三角形重心的性質得出，，再結合圖形及三角函數(shù)計算陰影部分的面積求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，交于點O，設等邊三角形的邊長是x，則高長為，圖（1）中陰影部分為一個內角是的菱形，∴，，∴，∴，∴，

則陰影部分的面積為：，圖2中，，，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積為：，兩個重疊區(qū)域的面積比為：，故選：C．【點睛】題目主要考查等邊三角形的性質及解三角形的應用，菱形的性質等，理解題意，作出相應輔助線及掌握三角形重心的性質是解題關鍵．13．（2021·湖北武漢·九年級期中）如圖，∠MAN＝60°，點B、C分別在AM、AN上，AB＝AC，點D在∠MAN內部、△ABC外部，連接BD、CD、AD．下列結論：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤BD?DC；③若DB＝m，DC＝n，則S△ADB≤+mn．其中錯誤的結論個數(shù)為（）個．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】①將△ACD繞點A逆時針旋轉60°得到△ABC′，可證得△AC′D是等邊三角形，再運用三角形三邊關系即可判斷①正確；②過點C作CH⊥BD于H，則∠BHC＝90°，根據(jù)S△BDC＝BD?CH，由垂線段最短判斷出②正確；③把△BDC繞點B順時針旋轉60°得到△ABK，連接DK，由旋轉的性質可證得△BDK是等邊三角形，分K落在△ABD的邊上、內部、外部討論即可判斷③正確．【詳解】解：①如圖1，將△ACD繞點A逆時針旋轉60°得到△ABC′，

則△ABC′≌△ACD，∴AC′＝AD，BC′＝CD，∵∠DAC′＝60°，∴△AC′D是等邊三角形，∴C′D＝AD，在△BC′D中，BC′+BD＞C′D，∴CD+BD＞AD，當∠ADC＝60°，即∠AC′B＝60°時，C′、B、D三點共線，∴CD+BD＝AD，故①正確；②如圖2，過點C作CH⊥BD于H，則∠BHC＝90°，∴S△BDC＝BD?CH，由垂線段最短知，CH≤CD，∴S△BDC≤BD?CD，故②正確；③把△BDC繞點B順時針旋轉60°得到△ABK，連接DK，

由旋轉得：BD＝BK，∠DBK＝60°，∴△BDK是等邊三角形，（推導等邊三角形的面積公式如下：S△ABC=）∴S△BDK＝，∵△ABK≌△BDC（根據(jù)旋轉的性質），當K落在△ABD外部時，S△ABK＝S△BDC≤BD?CD，即S△ABK≤mn，∴S△ABD<S△ABK+S△BDK≤+mn，當K落在AD邊上時，S△ABD=S△ABK+S△BDK≤+mn，

當K落在△ABD內部時，過點B、D分別作BN⊥AK于N，DM⊥AK于M，設AK與BD交于點O，S△ABD=S△BDK+S△ABK+S△ADK=m2+AK·BN+AK·DM=m2+AK（BN+DM）∵BO≥BN，OD≥DM，∴S△ABD≤m2+AK（OB+OD）=m2+mn故③正確；綜上所述，正確的結論為3個，錯誤的結論為0個，故選：A．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，旋轉變換的性質，三角形面積等知識點，解題關鍵是利用旋轉變換構造全等三角形．二、填空題14．（2022·浙江寧波·一模）如圖，一副三角板如圖1放置，，頂點重合，將繞其頂點旋轉，如圖2，在旋轉過程中，當，連接，，此時四邊形的面積是________．【答案】

【分析】延長CE交AB于點F，先根據(jù)特殊直角三角形的性質和∠AED=75°，推出AB∥CD，從而可證四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質求出EF長，則可求出CF長，最后計算平行四邊形ABCD的面積即可．【詳解】解：如圖2，延長CE交AB于點F，∵，∴，又，∴，∴AB∥CD，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，即，∴，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，平行四邊形的判定和平行四邊形面積的計算，先證出四邊形ABCD是平行四邊形是解題的關鍵．15．（2022·天津市第五十五中學九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D是AC的中點，將CD繞著點C逆時針旋轉，在旋轉的過程中點D的對應點為點E，連接AE、BE，則△AEB面積的最小值是_______．

【答案】1【分析】作于，如圖，先利用勾股定理計算出，再利用面積法計算出，再根據(jù)旋轉的性質得，然后利用點在線段上時，點到的距離最小，從而可計算出的面積的最小值．【詳解】解：作于，如圖，，，，，，，點是的中點，

，將繞著點逆時針旋轉，在旋轉過程中點的對應點為點，，即點在以為圓心，2為半徑的圓上，點在線段上時，點到的距離最小，的面積的最大值為．故答案為：1．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了勾股定理．

16．（2022·廣東·湖景中學九年級階段練習）如圖在RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，等腰直角三角形ADE繞點A旋轉，∠DAE=90°，AD=AE=4，連接DC，點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點，連接MP、PN、MN，則△PMN面積的最小值是_______．【答案】【分析】通過和為等腰直角三角形，判定出，得到通過已知條件，再設得到為等腰直角三角形，所以當BD最小時，的面積最小，D是以A為圓心，AD=4為半徑的圓上的點，所以點D在AB上時，BD最小，即可得到最終結果．【詳解】RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，為等腰直角三角形，又∠DAE=90°，AD=AE=4，為等腰直角三角形，點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點，設是等腰直角三角形，當BD最小時，的面積最小，

是以A為圓心，AD=4為半徑的圓上的點，點D在AB上時，BD最小，△PMN面積的最小值是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，涉及全等三角形的性質和判定，等腰直角三角形的性質等知識，有一定難度和綜合性，屬于壓軸題，熟練掌握這些性質，利用旋轉解題是關鍵．17．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖所示，在和中，，，，連接、，將繞點旋轉一周，在旋轉的過程中，當最大時，______．【答案】6【分析】先確定D的軌跡是以A為圓心，AD為半徑的圓，再由，分析出當最大時，AH最大，再由直角三角形斜邊大于直角邊得在旋轉過程中，即，時，AH取得最大值3，算出此時的面積為，再通過取BD中點G，連接AG并延長至F，使得FG=AG，證明即可．【詳解】解：如圖，將繞點A旋轉一周，D的軌跡為以點A圓心，AD為半徑的圓，過A作BD垂線交BD延長線于H，

當最大時，AH最大，在旋轉過程中，即時，AH取得最大值3此時直角三角形中，的面積為，如圖，取取BD中點G，連接AG并延長至F，使得FG=AG，故答案為：6．

【點睛】本題考查旋轉的性質、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質等知識，難度較大，掌握相關知識是解題關鍵．三、解答題18．（2022·四川綿陽·九年級期中）如圖1，在中，，，點、分別在邊、上，，連接，點、、分別為、、的中點．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關系是_________，位置關系是_________；(2)探究證明：把繞點逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點在平面內自由旋轉，若，，直接寫出面積的最大值．【答案】(1)，(2)是等腰直角三角形，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理，以及平行線的性質即可得解；（2）先證明，得到，再根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質即可得證；（3）當最長，即最長時，的面積最大，根據(jù)，當點在的延長線上時，的面積最大，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵點，是，的中點，∴，，∵點，是，的中點，∴，，

∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形．理由如下：由旋轉知，，∵，，∴，∴，，利用三角形的中位線得，，，∴，∴是等腰三角形，同（1）的方法得，，∴，同（1）的方法得，，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∴是等腰直角三角形．（3）∵是等腰直角三角形，∴當最大時，面積最大；∵∴最大時，面積最大；∵，∴當點在的延長線上時，最大，，此時：，∴面積的最大值．【點睛】本題考查三角形的中位線定理，以及旋轉的綜合應用．熟練掌握三角形的中位線定理和旋轉的性質是解題的關鍵．19．（2022·安徽·阜陽實驗中學九年級階段練習）如圖，為等邊的外接圓，半徑為2，點D在劣弧上運動（不與點A，B重合），連接，，．(1)求證：是的平分線；(2)四邊形ADBC的面積S是線段DC的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式，并寫出x的范圍；如果不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)是，

【分析】（1）由等邊三角形的性質可得，圓周角定理可得，可得結論；（2）將繞點逆時針旋轉，得到，可證是等邊三角形，可得四邊形的面積，即可求解；（1）證明：是等邊三角形，，，，，是的平分線；（2）解：四邊形的面積是線段的長的函數(shù)，理由如下：如圖1，將繞點逆時針旋轉，得到，，，四邊形是圓內接四邊形，，，點，點，點三點共線，，，是等邊三角形，

四邊形的面積，；【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，等邊三角形的性質，旋轉的性質，軸對稱的性質等知識，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．20．（2022·黑龍江省新華農(nóng)場中學九年級階段練習）如圖①，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D．(1)S△ABD=．（直接寫出結果）(2)如圖②，將△ABD繞點D按順時針方向旋轉得到△A′B′D，設旋轉角為α(α<90°)，在旋轉過程中：探究一：四邊形APDQ的面積是否隨旋轉而變化？說明理由；探究二：當α=________時，四邊形APDQ是正方形．【答案】(1)4(2)四邊形APDQ的面積不會隨旋轉而變化，理由見詳解；當時，四邊形APDQ是正方形．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質，由得，則；（2）①在中，根據(jù)等腰直角三角形的性質得，易得，，再利用等角的余角相等得到，于是可判斷，所以，即可判斷四邊形的面積不會隨旋轉而變化；②由于，則當時，四邊形為矩形，加上，于是可判斷四邊形是正方形，此時，即．（1）解：，，，，；故答案為4；

（2）解：①四邊形的面積不會隨旋轉而變化．理由如下：在中，，，，，，，，又，，，在和中，，（ASA），；②時，四邊形是正方形．理由如下：，當時，而，四邊形為矩形，，，四邊形是正方形，此時，即．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質和正方形的判定．

21．（2022·吉林通化·九年級期末）如圖，中，，，點、在邊上，，將繞點順時針旋轉得．(1)求證：；(2)連接，求證：；(3)若，，則______，四邊形的面積＝______．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)；【分析】（1）由旋轉的性質得，從而得到，即可證明結論；（2）由旋轉的性質得，，則，再利用即可證明；（3）如圖，過點作于，由（1）得，，在中，由勾股定理得，則，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出，再利用可得出答案．（1）證明：∵將繞點順時針旋轉得，∴，∵在中，，，∴，∴，∴．（2）證明：∵將繞點順時針旋轉得，∴，，

∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴．（3）解：如圖，過點作于，∵將繞點順時針旋轉得，，，∴，由（1）得，，在中，，由（2）得，，∴，，∴，∵在中，，，∴，∴，∴四邊形的面積：．

故答案為：；．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形三線合一的性質等知識．證明是解題的關鍵．22．（2022·吉林省第二實驗學校模擬預測）如圖1，在等腰三角形中，，點D、E分別在邊、上，，連接．點M、N、P分別為的中點．(1)觀察猜想．圖1中，線段的數(shù)量關系是__________，的大小為__________．(2)探究證明把繞點A順時針方向旋轉到如圖2所示的位置，連接，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸將圖1中的繞點A在平面內自由旋轉，若，請直接寫出面積的最大值．【答案】(1)NM=NP；60°；(2)是等邊三角形，理由見解析(3)的最大面積為【分析】（1）先證明由AB=AC，AD=AE，得BD=CE，再由三角形的中位線定理得NM與NP的數(shù)量關系，由平行線性質得∠MNP的大?。唬?）先證明△ABD≌△ACE得BD=CE，再由三角形的中位線定理得NM=NP，由平行線性質得∠MNP=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定定理得結論；（3）當最大，則最大，則等邊的面積最大，則當

時最大，再由等邊三角形的面積公式進行計算便可．(1)解：∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∵點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點，∴MN=BD，PN=CE，，∴MN=PN，∠ENM=∠EBA，∠ENP=∠AEB，∴∠MNE+∠ENP=∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°，∴∠MNP=60°，故答案為：NM=NP；60°；(2)△MNP是等邊三角形．理由如下：由旋轉可得，∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點．∴MN=BD，PN=CE，∴MN=PN，∠ENM=∠EBD，∠BPN=∠BCE，∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB，∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE，∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB=180°-∠BAC=60°，∴△MNP是等邊三角形；(3)由（2）得，當最大，則最大，則等邊的面積最大，當時最大，此時BD=AB+AD=8，

∴MN=PN=4，∴△MNP的面積=，∴△MNP的面積的最大值為．【點睛】本題是三角形的一個綜合題，主要考查了等邊三角形的判定，三角形的中位線定理，全等三角形的性質與判定，旋轉的性質，銳角三角函數(shù)的應用，關鍵證明三角形全等和運用三角形中位線定理使已知與未知聯(lián)系起來．23．（2022·湖北省水果湖第一中學九年級期中）如圖1，中，，，點D、E分別在上，．將繞點A逆時針旋轉度，使得B、D、E三點共線．(1)直接寫出：_________________（用表示）；(2)若，當時，作于F，在圖2中畫出符合要求的圖形，并探究之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；(3)如圖3，若，，