西藏自治區(qū)拉薩市高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文）

拉薩市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)文科注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，，，則（）A B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第二象限 D.第四象限3.雙曲線的焦點坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，4.的值為（）A.0 B. C. D.5.將函數(shù)（）的圖象向左平移個單位長度，得到偶函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.7.已知拋物線：焦點為，點在拋物線上，且，為坐標(biāo)原點，則（）A. B. C.4 D.58.四面體中，在各棱中點的連線中任取1條，則該條直線與平面相交的概率是（）A. B. C. D.9.若變量，滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C. D.10.若一個圓錐軸截面是一個腰長為，底邊上的高為1的等腰三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）A B.C. D.11.已知函數(shù)，當(dāng)時，恒有，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.12.“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的角尺，用來測量?畫圓和方形圖案的工具.有一圓形木板，首先用矩測量其直徑，如圖，矩的較長邊為10cm，較短邊為5cm，然后將這個圓形木板截出一塊四邊形木板，該四邊形ABCD的頂點都在圓周上，如圖，若，則（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，向量，.若，則______.14.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______.15.如果兩個球的表面積之比為，那么這兩個球的體積之比為_____________．16.函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知等比數(shù)列的公比，且.（1）求的通項公式；（2）若為等差數(shù)列，且，，求的前項利.18.如圖，正方體的棱長為2.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離.19.果切是一種新型水果售賣方式，商家通過對整果進(jìn)行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包裝組合銷售，在“健康消費”與“瘦身熱潮”的驅(qū)動下，果切更能滿足消費者的即食需求.（1）統(tǒng)計得到10名中國果切消費者每周購買果切的次數(shù)依次為：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求這10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差；（2）統(tǒng)計600名中國果切消費者的年齡，他們的年齡均在5歲到55歲之間，按照，，，，分組，得到如下頻率分布直方圖.（?。┕烙嬤@600名中國果切消費者中年齡不小于35歲的人數(shù)；（ⅱ）估計這600名中國果切消費者年齡的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）.20.設(shè)橢圓：（）的上頂點為，左焦點為.且，在直線上.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與交于，兩點，且點為中點，求直線的方程.21已知函數(shù).（1）證明：，有；（2）設(shè)（），討論的單調(diào)性.（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的直角坐標(biāo)方程以及曲線的普通方程；（2）過直線上一點作曲線的切線，切點為，求的最小值.【選修45：不等式選講】23.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）證明：，，使得.拉薩市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)文科注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)補集、交集的知識求得正確答案.【詳解】因為，，所以，因為，所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第二象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第二象限.故選：B．3.雙曲線的焦點坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】先求得，進(jìn)而求得焦點坐標(biāo).【詳解】因為，，所以，得，所以焦點坐標(biāo)為和.故選：C4.的值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值求得正確答案.【詳解】.故選：D5.將函數(shù)（）的圖象向左平移個單位長度，得到偶函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得的解析式，然后根據(jù)為偶函數(shù)求得.【詳解】將的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，因為為偶函數(shù)，且，所以，得.故選：A6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)趨于正無窮時函數(shù)值大于0可得到答案.【詳解】因為，又函數(shù)的定義域為，故為奇函數(shù)，排除CD；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故，則，排除B.故選：A.7.已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且，為坐標(biāo)原點，則（）A. B. C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求得點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】設(shè)，由得，又，得，所以，.故選：B8.四面體中，在各棱中點的連線中任取1條，則該條直線與平面相交的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率計算公式求得正確答案.【詳解】設(shè)各棱中點依次為，，，，，，如圖所示，確定的直線有15條：，，，，，，，，，，，，，，，其中在條與平面平行：，3條在平面內(nèi)：，其余與平面相交，共有9條，故所求概率.故選：D9.若變量，滿足約束條件，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出可行域，然后利用斜率的知識求得的最小值.【詳解】根據(jù)約束條件畫出如圖所示的可行區(qū)域，再利用幾何意義知表示點與點連線的斜率，直線的斜率最小，由，得，所以.故選：C10.若一個圓錐的軸截面是一個腰長為，底邊上的高為1的等腰三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得圓錐的母線長和底面半徑，從而求得圓錐的側(cè)面積.【詳解】由題意可得該圓錐的軸截面是一個等腰直角三角形，腰長為，底邊長為2，所以圓錐的母線長，底面圓半徑，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B11.已知函數(shù)，當(dāng)時，恒有，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由在區(qū)間上恒成立列不等式，分離參數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】依題意可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上恒成立.因為，所以在區(qū)間上恒成立，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，的取值范圍是.故選：B12.“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的角尺，用來測量?畫圓和方形圖案的工具.有一圓形木板，首先用矩測量其直徑，如圖，矩的較長邊為10cm，較短邊為5cm，然后將這個圓形木板截出一塊四邊形木板，該四邊形ABCD的頂點都在圓周上，如圖，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求得圓的直徑，結(jié)合正弦定理，即可求得的長.【詳解】因為，所以為圓的直徑，根據(jù)題意，可得，又因為在以為直徑的圓上，即以為直徑的圓為的外接圓，由正弦定理，可得.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，向量，.若，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)向量平行列方程，從而求得的值.【詳解】因為，所以，即.故答案為：14.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】正數(shù)，滿足，利用“1”的代換，將已知轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式求解即可.【詳解】正數(shù)，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：.15.如果兩個球的表面積之比為，那么這兩個球的體積之比為_____________．【答案】【解析】【分析】先求出半徑之比，從而可求體積之比.【詳解】根據(jù)球的表面積公式，可求得兩個球的半徑之比為，利用球的體積公式可得出兩個球的體積比為故答案為：.16.函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，由求解.【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，，所以.故答案為：2三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知等比數(shù)列的公比，且.（1）求通項公式；（2）若為等差數(shù)列，且，，求的前項利.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得.（2）求得的首項和公差，從而求得.【小問1詳解】因為等比數(shù)列公比，所以，，所以.【小問2詳解】由（1）得，，所以的公差，所以，所以.18.如圖，正方體的棱長為2.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證得結(jié)論成立.（2）利用等體積法求得點到平面的距離.【小問1詳解】由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，∴平面.小問2詳解】設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，即，解得.所以點到平面的距離為.19.果切是一種新型水果售賣方式，商家通過對整果進(jìn)行清洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包裝組合銷售，在“健康消費”與“瘦身熱潮”的驅(qū)動下，果切更能滿足消費者的即食需求.（1）統(tǒng)計得到10名中國果切消費者每周購買果切的次數(shù)依次為：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求這10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差；（2）統(tǒng)計600名中國果切消費者的年齡，他們的年齡均在5歲到55歲之間，按照，，，，分組，得到如下頻率分布直方圖.（?。┕烙嬤@600名中國果切消費者中年齡不小于35歲的人數(shù)；（ⅱ）估計這600名中國果切消費者年齡的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）.【答案】（1）5；3.6（2）（?。?20；（ⅱ）24.【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法求得正確答案.（2）（ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖求得正確答案；（ⅱ）根據(jù)中位數(shù)的求法求得正確答案.【小問1詳解】，.【小問2詳解】（?。?00名中國果切消費者中年齡不小于35歲的人數(shù)為:.（ⅱ）由，，可得，所以，解得，所以這600名中國果切消費者年齡的中位數(shù)為24.20.設(shè)橢圓：（）的上頂點為，左焦點為.且，在直線上.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與交于，兩點，且點為中點，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，可直接求出點，，從而確定基本量的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況分析，當(dāng)斜率不存在時，直曲聯(lián)立，解方程即可進(jìn)行取舍；當(dāng)斜率存在時，直曲聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式列方程即可求.【小問1詳解】由題意，直線與軸的交點為，與軸的交點為，所以，，，因此標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，：，聯(lián)立，解得或，故，，不滿足，即不是的中點，不符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線：，，.聯(lián)立可得，即.所以.由于為的中點，所以，即，解得.綜上，直線的方程為，即.21.已知函數(shù).（1）證明：，有；（2）設(shè)（），討論的單調(diào)性.【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，從而證得結(jié)論成立.（2）先求得，然后對進(jìn)行分類討論，從而求得正確答案.【小問1詳解】因為，，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以.【小問2詳解】因為，所以，因為，令，得或，若，則，時，，單調(diào)遞減，和時，，單調(diào)遞增；若，則，，在上單調(diào)遞增；若，則，時，，單調(diào)遞減，和時，，單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.【點睛】求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區(qū)間，考查這若干個區(qū)間內(nèi)的符號，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間：，則在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；，則在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.如果