遂寧市高中2023屆三診考試數(shù)學(xué)（文科）試題

遂寧市高中2023屆三診考試

數(shù)學(xué)（文科）試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分?？偡?/p>

150分?？荚嚂r間120分鐘。

第I卷（選擇題，滿分60分）

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡

上。并檢查條形碼粘貼是否正確。

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標號的位置上，非選擇題用0.5毫米黑色墨水

簽字筆書寫在答題卡對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題

無效。

3.考試結(jié)束后，將答題卡收回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每個小題給

出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。

1.已知集合M={刈N={T,0,l,2,3},則

（CRM）N=

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{T，0，L2}D.{2,3}

2.若復(fù)數(shù)z滿足z-（2+3i）=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，叫z卜

A.0B.-1C.而D.1

3.下圖是遂寧市2022年4月至2023年3月每月最低氣溫與最高氣溫（℃）

的折線統(tǒng)計圖：已知每月最低氣溫與最高氣溫的線性相關(guān)系數(shù)r=

0.88,則下列結(jié)

論正確的是

A.月溫差（月最高氣溫一月最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在8月

B.每月最低氣溫與最高氣溫有較強的線性相關(guān)性，且二者為線性負

相關(guān)

C.每月最高氣溫與最低氣溫的平均值在4-8月逐月增加

D.9-12月的月溫差相對于5-8月，波動性更小

4.下列說法不正確的是

A.am2<bm2,貝！

v

B.命題p：VxeR,2>0,則m：3x0eR,2&<0

C.回歸直線方程為y=L23x+0.08,則樣本點的中心可以為（4,5）

D.在AA3C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c則“A>B”是

“a+sinA>/?+sin3"的充要條件

'2x-y<2

5.已知實數(shù)x,y滿足卜-2y*2則戶3x的最小值為

x>0

O

A.—B.—2C.-1D.1

3

6.已知數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列，%，%是方程/-8》+4=0的兩個根，設(shè)

等差數(shù)列也｝的前〃項和為S“，若/=%，則$9=

A.-18或18B.-18C.18D.2

2

7.函數(shù)/（x）=（l-*TT>cosx的圖像大致為

D.

8.已知函數(shù)〃元）=9加(ox+—+COS69X>0)?/(5)=0，/(尢2)二百，

6

且k-目的最小值為兀，則。的值為

9.如圖，正方體A8CD-A8CQ的棱長為2,線段四。|上有兩個動點

E,F（E在尸的左邊），且EF=&.下列說法不正確的是

A.異面直線AB]與BC,所成角為60°

當E,尸運動時，平面跖4_L平面ACGA

D.當E,尸運動時，三棱錐體積牙、不變rK-----------/

10.已知數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，且q=1,2Sn=all+lan,貝!]S20=

A.210B.110

11.已知”為雙曲線E：「-*=1（〃>0,。>0）的左焦點,過點E的直線

與圓0:/+），2=2/交于4,8兩點（A在耳,8之間），與雙曲線E在

第一象限的交點為P,若KA=BP,/AOB=90。（。為坐標原點），則

雙曲線E的離心率為

B.5/5-1C.GD.6

12.己知定義在R上的函數(shù)0（x）滿足：當為K出時，恒有

"3）二"至2>0，若對任意X6R,<p（ex-/?）>e（or）恒成立，則ah的

最大值為

A.4e

第II卷（非選擇題，滿分90分）

注意事項：

1.請用藍黑鋼筆或圓珠筆在第n卷答題卡上作答，不能答在此試卷上。

2.試卷中橫線及框內(nèi)注有“▲”的地方，是需要你在第n卷答題卡上作答。

二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量之=?幻力=（1,-2）,且（5一2。）,則，=.

14.已知，"e"g2+lg5/og43,（5），tanl-,從這四個數(shù)中任取一個數(shù)

m,使函數(shù)/（力=丁+2g+1有兩不相等的實數(shù)根的概率為

15.如圖，在△A3C中，AB=AC=2,

C，

ZBAC=|^>。是的中點，以4。為

折痕把△AC。折疊，使點C到達點C的包尸=c

位置，則當三棱錐體積最大時，

其外接球的體積為.

16.己知點尸（2,0）為拋物線C：丁=2a（p>0）的焦點，點M（-2,0）

若第一象限內(nèi)的點P在拋物線C上，則幽的最大值為.

陽

三、解答題：共70分。第17題至第21題為必考題，每個試題考生都必

須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

17.（12分）習(xí)近平總書記在黨史學(xué)習(xí)教育動員大會上強調(diào)：“回望過往

的奮斗路，眺望前方的奮進路，必須把黨的歷史學(xué)習(xí)好、總結(jié)好，

把黨的成功經(jīng)驗傳承好、發(fā)揚好.”為慶祝建黨100周年，某市積極

開展“青春心向黨，建功新時代”系列主題活動.該市某中學(xué)為了

解學(xué)生對黨史的認知情況，舉行了一次黨史知識競賽，全校高一和

高二共選拔100名學(xué)生參加,其中高一年級50人,高二年級50人.并

規(guī)定將分數(shù)不低于135分的得分者稱為“黨史學(xué)習(xí)之星”，這100

名學(xué)生的成績（滿分為150分）情況如下表所示.

（1）能否有99%的把握認為學(xué)生獲得“黨史學(xué)習(xí)之星”與年級有關(guān)？

獲得“黨史學(xué)未獲得“黨史學(xué)

總計

bl-h??

高一年綿401050

高二年細90anAn

Q+rn4ninn

（2）獲得“黨史學(xué)習(xí)之星”的這60名學(xué)生中，按高一和高二年級采用

分層抽樣，隨機抽取了6人，再從這6人中隨機抽取2人代表學(xué)校

參加區(qū)里的黨史知識競賽，求這2人中至少有一人是高二年級的概

參考公式：套=(a+8)(c+d)(a+c)(b+d)'其中〃=4+"0+小

P(K*k.)0.100.050.0250.0100.001

k02.7063.8415.0246.63510.828

▲

18.（12分）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

6cosA+4/cosB=2ccosA

（1）求角4的值；

（2）已知。在邊BC上，且BO=3OC,A￡>=3,求AABC的面積的最大

值

▲

19.（12分）如圖，已知四棱錐S—ABCD中，

NDAB=ZABC=2ZABD=90°,ASAB是面積人

為有的等邊三角形，且S￡>=2a,BC=-AD/

（1）證明：直線ADLS8；乂'>\

（2）求點C到平面SBD的距離.^^之。

__________________________▲__________________________

20.（12分）已知橢圓C:二+3=l（a>6>0）的左右焦點分別是耳,尸2,

|耳月卜4,點P為橢圓短軸的端點，且△/￥；鳥的面積為4,過左焦

點K的直線/與橢圓C交于兩點（A8不在無軸上）.

(I)求橢圓c的標準方程;

(2)若點。在橢圓C上，且OQ-AB=O(0為坐標原點)，求述網(wǎng)的

|時

取值范圍.

▲

21.(12分)已知函數(shù)〃x)=x(e'-l)-；x2.

(1)求〃x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；

(2)若/(xjWlnx+Q-ZK-gr1+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍

選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多

做，則按所做的第一題計分。

22.【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】(10分)

,fx=2+2cos0

在直角坐標系％6少中，已知曲線Cdy=2sinJ(。為參數(shù)，

e?。,萬］),在極坐標系中，曲線C?是以卜費)為圓心且過極點0的圓.

(1)分別寫出曲線Ci普通方程和曲線C2的極坐標方程；

(2)直線/：0=；(°eR)與曲線G、g分別交于業(yè)/V兩點(異于極點

0),求pw?v|.

23.【選修4-5：不等式選講】(10分)

已知函數(shù)/(x)=kT+|x+“，t@R.

(1)若r=l,求不等式〃x)M8--的解集；

(2)已知祖+〃=4,若對任意xeR,都存在，〃>0,”>0使得

〃力=加?,求實數(shù)，的取值范圍.

inn

▲

遂寧市高中2023屆三診考試

數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評分意見

一、選擇題（12X5=60分）

123456789101112

ADCBACBADcDA

二、填空題(4X5=20分)

1

13.-714.-15.41萬16.1

三、解答題

17.(12分)

解：(1)在MBC中因為bcosA+acosB=2ccosA.

由正弦定理得sin3cosA+sinAcosB=2sinCeosA，

所以sin(A+B)=2sinCcosA..............................................................2

分

因為A+B+C=7T>所以sin(A+B)=sinC.故

sinC=2sinCcosA--4分

又C是AA8C的內(nèi)角，所以sinC/O.從而cosA='.

2

而4為AABC的內(nèi)角，所以

A=—..............................................................6分

3

(2)因為BC=3DC所以AD-AB=3(AC-AD)所以

13

AD=-AB+-AC-8分

44

從而

120231rqe3

9=—A5.+—二=—二人c...........10分

16168161616

329

由基本不等式可得：+=,當且僅當

81616

6=如三0=46時等號成立

3

故AABC的面積的最大值為

—xl6x—=4拒....................12分

22

18.(12分)

(1)因為學(xué)生初試成績X服從正態(tài)分布N3b6其中〃=65,

<r2=152,

則〃+<T=65+15=80,

所以

P(X>80)=P(X>//+CT)=1X(1-0.6827)=0.15865，...........3

分

所以估計初試成績不低于80分的人數(shù)為

0.15865x1000=158.65?159人.....5分

(3)Y的取值分別為0,10,20,30,............6分

…8分

333

p(y=20)=-xC^Xk=2

555)209

分

33

p(y=30)=jx

I啜10分

故Y的分布列為:

Y0102025

16927

P

252520100

所以數(shù)學(xué)期望為

E（y）=0x—+10x—+20x—+30x—=19.512分

',252520100

19(12分)

(1)取A8得中點￡1,連接5瓦。石，如圖所示:

因為NZM8=NA8C=2N45O=90,所以AB=AD,因為

△SAB的面積為招的等邊三角形，所以AB=4）=2.

在A50E中，SE=4-f=6,SD=26,DE=df+寸=石,

因為

SE2+DE2=SD2,所以SEJ.OE,............2分

因為是等邊三角形，E為線段A3的中點，所以

SErAB,又因為A8DE=E,AB,OEu平面ABC。，所以

SE_L平面ABC。，............4分

ADu平面ABCD二SE1AD,

又

AD±AB,SEcAB=E,:.AD±平面SA3,又SBu平面SAB,

直線AO，SB............6分

(2)以￡為原點，EA,ES分別為y,z軸，平行AD的直線為x軸，建立

空間直角坐標系，

則E(0,0,0),5(0,0,y/3),D(2,1,0),A(0,l,0),C(l,-1,0),

SA=(0,1,-5^),SD=(2,l-y/3),SC=(1,-1,-73),

2x+y-y/3z=0

〃=(x,y,z)為平面sc￡＞的法向量，則一代一=o，取平面

SCO的一個法向量為〃=（2,-1,月），...........9分

取平面SAB法向量

777=（1,0,0）,.......................................10分

平面SAB與平面SCO所成的角為a,則

IIm-n1.V2

cosa=cos<w,n>=r=—產(chǎn)=—,所以cosa：1,

?|叫〃|2V222

所以平面SAB與平面SCD所成角的余弦值為正......12分

2

20（12分）

解：（1）由題設(shè)方程為法+W一時=0因為

<42G與圓刀2+y2=日才目切,

3

」2a2b28

所以：d=了"=3'……”2分

Q巴=近所以"[2=8,分2=4,

cb2

22

所以橢圓方程為2+3=1.…5分

o4

（2）由（1）知耳的坐標為（一2,0）,

①當直線/的斜率不存在時，|4卻=2四，|OQ|2=8,則

2閨M「

6分

\OQ\2

②當直線/的斜率存在且不為0時，設(shè)直線/的方程為y=%（x+2）且

攵工0,

y=k(x+2)

聯(lián)立x2丁，得(2尸+i)f+8&2^+8公-8=0,

一+T-1

8

設(shè)A（X1,yJ,3（孫％）,則王+々=看^

乙K十1

8產(chǎn)-8

中一赤77分

_8F-8W1)

\AB\=y/1+k24X=1

2V+12A:2+1

-8分

設(shè)點。（%,%）,則&=~4,即%=-5，代入橢圓方程得

X。K

廣豆+甚=],

84

解得慝’所以

|OQ|2=￥+M=\2；),..............9分

+2

所以

16」+1)

2夜|4例2妙+1_2標+4_3.............................................

|OQ「-8伊+1)-2Z?+1-2標+1

?+2

10分

又2k2+1>1,所以逆網(wǎng)的取值范圍是

10。/

（1,4）...................................................11分

綜上所述，201A4的取值范圍是

IOQF

[1,4）....................................................................12分

21.（12分）

解：⑴因為/(x)=mex-2x,所以f\x)=mex-2.............1

分

當加40時，，/'(x)<0,所以f(x)在R上單調(diào)遞

減；..............2分

,2,?

當〃2>0時，令/(x)>0,得一,令/(x)<0,得%>1〃一

mm

綜上所述，當加40在R上單調(diào)遞減；

當相>0時，”X)在(1〃2,內(nèi))上單調(diào)遞增，/(x)在，(HO,lnZ))

mm

上單調(diào)遞減.5分

3

(2)因為/(x)=inex-2x,,g(x)=cosx+—x~7,

32

所以/2(x)=加6“-2x-C0SX-gX

則

/z(x)=mex-2+sinx-3x.................................

.......6分

令尸(工)=%(%)=機6'一2+5拍尢一3%，則

F(x)=mev+cosx-3..

①當機40時，F(xiàn)'(x)<0,則"(x)在R上單調(diào)遞減，〃(%)不可能

存在兩個極值點;

②當加>0時，因為函數(shù)/z(x)存在兩個不同的極值點，所以

h(x)=0有兩個不同的實根,

因為"(x)=e\m+SmX~2~3x),即加+sinx—2-3x.七加人

----------=0有兩個

不同的實根.

令G(x)smT-3x+機，則。cosx-sinx+3x-l

ex

令"O尸cosx-sinx+3x-l,則"(x)=-sinx-cosx+3>0

所以單調(diào)遞增.

因為4(0)=0,所以G(x)在(-8.0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)

遞增.

所以G(x)min=G(0)=機-2.................................9分

當加22時,G(x)》0,G(x)=0不可能有兩個不等實根.

當0〈根<2時，G(x)min=6(0)=，"-2<0,6(-萬)=^^+機>0

e"

G(x)在(-8,0)上連續(xù)且單調(diào)，所以存在唯一實數(shù)X,G(YO,0),使

得G(X1)=0.10分

當x>0時，易證F(x)=me'-2+sinx-3x>mx2-3x-3

取/=3+^+12m,貝1]F(XO)>O,即G(x0)>0

因為G(x)在(0,+oo)上連續(xù)且單調(diào)

所以存在唯一實數(shù)x2G(0,+OO),使得G(A：2)=0,則

(*2，+0°)

X(一8,占)王(小々)X2

h'(x)+0-0+

h(x)T極大值X極小值T

所以函數(shù)〃(x)存在兩個不同的極值點.

綜上實數(shù)加的取值范圍為

0<m<2..............................12分

22.(10分)

x=2+2cos6

(1)由曲線G:?(。為參數(shù),8e[0,1]),

y=2sin。

消去參數(shù)(9,得(x-2)2+y2=4cos2。+4sin2。=42

分

所以曲線G的直角坐標方程為

(x-2)2+/=4(0<y<2)....................3分

因為曲線G是以為圓心的圓，且過極點0,所以圓心為(0,1),

半徑為1,

故C?的直角坐標方程為：x2+(y-l)2=l,

cc\x=DCQsO.

即產(chǎn)+/一2)，=0,將y.0代入可得：圓G的極坐標方程為

[y=psin6

夕=2sin〃...........5分

(2)因為曲線G的直角坐標方程為(x—2)2+y2=4(04yW2).即

x2+y2-4x=0,

將[=°cos,代入化簡可得c的極坐標方程為：夕=4cos，

[y=psinO

(6￡0,y),

所以G的極坐標方程為0=4COS4O494、｝G的極坐標方程為

p=2sin6；…7分

因為M、N是直線/:M=；(p€R)與曲線G、G的兩個交點，

不妨設(shè)由