陜西省咸陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期模擬檢測(cè)（一）理科數(shù)學(xué)試題

咸陽(yáng)市2024年高考模擬檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)（理科）試題注意事項(xiàng)：1．本試題共4頁(yè)，滿分150分，時(shí)間120分鐘．2．答卷前，務(wù)必將答題卡上密封線內(nèi)的各項(xiàng)目填寫清楚．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題；本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合，，則集合（）A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，若，則（）A． B． C．1 D．4．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且等比數(shù)列滿足，若，則（）A．6 B．5 C．4 D．35．著名的本福特定律：以數(shù)字1開頭的數(shù)字在各個(gè)領(lǐng)域中出現(xiàn)的頻率似乎要高于其他數(shù)，也稱為“第一位數(shù)定律”或者“首位數(shù)現(xiàn)象”．意指在一堆從實(shí)際生活中得到的十進(jìn)制數(shù)據(jù)中，一個(gè)數(shù)的首位數(shù)字是的概率為．以此判斷，一個(gè)數(shù)的首位數(shù)字是1的概率與首位數(shù)字是9的概率之比約為多少？（參考數(shù)據(jù)：，）（）A．2.9 B．3.8 C．4.5 D．6.56．直線與圓有公共點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．7．某同學(xué)寒假期間想到咸陽(yáng)市的9個(gè)旅游景點(diǎn)乾陵、茂陵、漢陽(yáng)陵、袁家村、鄭國(guó)渠、昭陵、旬邑馬欄革命舊址、長(zhǎng)武亭口活動(dòng)舊址、涇陽(yáng)安吳青訓(xùn)班中的3個(gè)景點(diǎn)進(jìn)行旅游，其中旬邑馬欄革命舊址、長(zhǎng)武亭口活動(dòng)舊址、涇陽(yáng)安吳青訓(xùn)班三個(gè)景點(diǎn)為紅色旅游景點(diǎn)，則他所去的景點(diǎn)中至少包含一個(gè)紅色旅游景點(diǎn)的概率是（）A． B． C． D．8．將一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正四面體同一側(cè)面上的各棱中點(diǎn)兩兩連接，得到一多面體，則這個(gè)多面體的外接球的體積為（）A． B． C． D．9．等差數(shù)列中的，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（）A． B． C．3 D．10．已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為0，則（）A．3 B． C．2 D．11．已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則（）A． B． C． D．12．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題；本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知角，為銳角，且，，則角______．14．已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為______．15．設(shè)x，y滿足約束條件，設(shè)，則z的取值范圍為______．16．已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為______．三、解答題；共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知該三角形的面積．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若，求面積的最大值，并求當(dāng)面積取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)．18．（本小題滿分12分）為慶祝元旦，某商場(chǎng)回饋消費(fèi)者，準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，如果顧客一次消費(fèi)達(dá)到500元，可參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下；抽獎(jiǎng)盒子中初始裝有白球和紅球各一個(gè)，每次有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個(gè)球都是白球，則記該輪為成功，活動(dòng)結(jié)束．否則記為失敗，隨即獲得紀(jì)念品1份，當(dāng)然，如果顧客愿意可在盒子中再放入一個(gè)紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽獎(jiǎng)，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．（Ⅰ）某顧客進(jìn)行該抽獎(jiǎng)試驗(yàn)時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽獎(jiǎng)，記其進(jìn)行抽獎(jiǎng)試驗(yàn)的輪次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）為驗(yàn)證抽獎(jiǎng)試驗(yàn)成功的概率不超過，有1000名數(shù)學(xué)愛好者獨(dú)立的進(jìn)行該抽球試驗(yàn)，記t表示成功時(shí)抽獎(jiǎng)試驗(yàn)的輪次數(shù)，y表示對(duì)應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：t12345y23298604020求y關(guān)于t的回歸方程：，并預(yù)測(cè)成功的總?cè)藬?shù)（四舍五入精確到1）．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：，．參考數(shù)據(jù)：，，（其中）．19．（本小題滿分12分）如圖所示，在三棱錐中，，，點(diǎn)O、D分別是、的中點(diǎn)，底面．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）當(dāng)k取何值時(shí)，二面角的余弦值為？20．（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，依次連接四個(gè)頂點(diǎn)得到的圖形的面積為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過直線上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求證直線過定點(diǎn)．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）若恒成立，求a的取值集合；（Ⅱ）證明．（二）選考題：共10分，考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．（本小題滿分10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線l與x軸的交點(diǎn)為P，經(jīng)過點(diǎn)P的直線m與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線m的斜率．23．（本小題滿分10分）【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)．（Ⅰ）畫出函數(shù)的圖象；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的最大值為m，若正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，求的最小值．咸陽(yáng)市2024年高考模擬檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．B2．D3．C4．A5．D6．B7．C8．D9．A10．C11．C12．B二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．（或） 14． 15． 16．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．解：（Ⅰ）由，得．由余弦定理得：，．（Ⅱ）方法一：因?yàn)椋?，由余弦定理得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，，所以的面積：，此時(shí)的周長(zhǎng)為：12．方法二：，，由正弦定理得，的面積，，又，，當(dāng)時(shí)，面積最大值為．此時(shí)，，于是的周長(zhǎng)為：12．18．解：（Ⅰ）X的取值可能為1，2，3，；；；所以X的分布列為：X123P所以數(shù)學(xué)期望為：．（Ⅱ）令，則，由題意可知，，所以．所以，．故所求的回歸方程為所以估計(jì)時(shí)，；估計(jì)時(shí)，；估計(jì)時(shí)，；預(yù)測(cè)成功的人的總數(shù)為．19．解：（Ⅰ）證明：在中，點(diǎn)O、D分別是、的中點(diǎn)，，平面，平面，平面．（Ⅱ）O為中點(diǎn)，連接，，則，平面，平面，，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，在中，，，，，，則，，，平面，平面，，又且，平面，是平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即，令，得，，設(shè)為二面角的平面角．則，解得．方法二：作，又，，平面，平面，，又，是二面角的平面角．設(shè)，由題意可知，，，即為等腰三角形．在中，作，則，且，在中，，則，在中，根據(jù)余弦定理，解得．20．解：（Ⅰ）由題可得，即，，得．①又，即，②由①②可得，，所以橢圓C的方程為：．（Ⅱ）設(shè)，，，由題知，直線上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線斜率存在，設(shè)過點(diǎn)且與橢圓相切的直線方程為：，聯(lián)立方程得，，整理得，即，在橢圓上，，即，，，即，，解得，（此處也可以嘗試采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)進(jìn)而可得斜率）過點(diǎn)且與橢圓相切的直線方程為：，，即，整理可得以M為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為，同理，以N為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為，（上述切線方程也可以嘗試采用“構(gòu)造縮放法”證明二級(jí)結(jié)論：過橢圓上點(diǎn)切線方程為：）又兩切線均過點(diǎn)P，故，且，整理化簡(jiǎn)得，且，點(diǎn)，均在直線上，直線的方程為，直線過定點(diǎn)．21．解：（Ⅰ）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，得，由x，，列表如下xa0極小值，只需證明，．令，，得，由x，，列表如下x10極大值．又，，，，，故a的取值集合為．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，，即，，（當(dāng)時(shí)，“”成立），令，，則，，由累加法可知累加可得，即，令，，恒成立，在是遞減的，，，，（二）選考題：共10分，考生從22、23題中任選一題