廣東省廣州市三校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省廣州市三校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題５分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知為實(shí)數(shù)集，集合或，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由Ven圖可知，陰影部分表示為，因?yàn)?，或，所以，所以，故選：C.2.設(shè)是第二象限角，為其終邊上一點(diǎn)，且，則（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意有，且，故，.故選：C.3.計(jì)算×－＋lne2－2lg2－lg25＝（）A.20 B.21 C.9 D.11〖答案〗B〖解析〗原式.故選：B.4.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，再將所得的函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的得到：，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到：，所以.故選：B.5.已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗由，得，解得，所以的定義域?yàn)?，由?fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間即為：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：D．6.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，又，所以，，因此：.故選：C.7.已知奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以，解得：，即當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，且，則，即函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，故.故選：B.8.已知函數(shù)，在下列結(jié)論中：①是的一個(gè)周期；②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③在區(qū)間上無最大值.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以不是的一個(gè)周期，故①錯(cuò)誤；，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故②錯(cuò)；，，令，則，，，在上單調(diào)遞增，所以無最大值，即函數(shù)在上無最大值，故③正確.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是()A.命題“，”的否定是“，”B.已知，則“”是“”的必要不充分條件C.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是D.，〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于，命題“，”的否定是“，”，故A正確；對(duì)于，由得，∴“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對(duì)于C，由得函數(shù)的定義域?yàn)?，由在時(shí)單調(diào)遞增及在時(shí)單調(diào)遞增可知，的增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，作出函數(shù)和的圖象，∵，故在上，恒成立，∴，不成立，不正確.故選：AB．10.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A.為第二象限角 B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由同角三角函數(shù)平分關(guān)系可得，，因?yàn)?，所以，解得，，因?yàn)?，所以是第二象限角，故選項(xiàng)，正確，有同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可得，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，因?yàn)?，故選項(xiàng)正確.故選：.11.已知函數(shù)，其圖象的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心間的距離為，且，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的定義域C.函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為〖答案〗CD〖解析〗由正切函數(shù)的性質(zhì)可知，相鄰對(duì)稱中心的距離是半個(gè)周期，所以，得，，由，所以，則，函數(shù)的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；，，得，，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；令，得，，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，故C正確；令，，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故D正確.故選：CD.12.關(guān)于函數(shù)下列說法正確的有（）A.B.不等式的解集是C.若方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則D.若存在實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為8〖答案〗ABD〖解析〗函數(shù)，作出圖像如圖所示：，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，若，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，若，則，即，解得，結(jié)合的圖像可得，不等式的解集是，故選項(xiàng)正確；由函數(shù)可知，與的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)與的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，其中和關(guān)于的對(duì)稱軸對(duì)稱，故，當(dāng)時(shí)，，故c的取值范圍是，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8，故選項(xiàng)正確.故選：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的對(duì)稱軸方程是_______________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，對(duì)于函數(shù)，由，可得，因此，函數(shù)的對(duì)稱軸方程是.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)______________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以．故〖答案〗為：.15.函數(shù)的定義域?yàn)開_________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)有意義，則需，由，，則，所以函數(shù)定義域?yàn)?故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若____________；若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________________.〖答案〗〖解析〗∵，∴；因?yàn)?，所以或，即或，所以或或或，解以上四個(gè)不等式組得解集分別：，，，，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知.（1）化簡(jiǎn)，并求；（2）若，求的值.解：（1），則（2）由（1）知，，則18.已知，函數(shù)的最小正周期為.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求的值.解：（1），因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，即，所以，由，，可得，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）知，所以，所以，又，所以，所以，所以.19.已知函數(shù)（，且）過定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在函數(shù)，的圖象上．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）若定義在上的函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（1）函數(shù)（，且）過定點(diǎn)，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，即，解得，函數(shù)的〖解析〗式為.（2）函數(shù)定義在上，在上恒成立，可得，令，得，設(shè)，函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)圖像拋物線開口向上，對(duì)稱軸，若，無解，不成立；若，解得，滿足題意；若，無解，不成立；若，解得，滿足題意，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.20.塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長(zhǎng)達(dá)年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委?生態(tài)環(huán)境部等9部門聯(lián)合印發(fā)《關(guān)于扎實(shí)推進(jìn)塑料污染治理工作的通知》明確指出，2021年1月1日起，將禁用不可降解的塑料袋?塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時(shí)間年之間的關(guān)系為為初始量，為光解系數(shù)（與光照強(qiáng)度?濕度及氧氣濃度有關(guān)），為塑料分子聚態(tài)結(jié)構(gòu)系數(shù)，已知分子聚態(tài)結(jié)構(gòu)系數(shù)是光解系數(shù)的90倍.（參考數(shù)據(jù)：）（1）塑料自然降解，殘留量為初始量的，大約需要多久？（2）為了縮短降解時(shí)間，該塑料改進(jìn)工藝，改變了塑料分子聚態(tài)結(jié)構(gòu)，其他條件不變，已知2年就可降解初始量的，則殘留量不足初始量的，至少需要多久？（精確到年）解：（1）由題可知，所以，所以，所以殘留量為初始量的，大約需要207年.（2）根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，，，解得，所以，若殘留量不足初始量的，則，，兩邊取常用對(duì)數(shù)，，所以至少需要21年.21.如圖，在海岸線EF一側(cè)有一休閑游樂場(chǎng)，游樂場(chǎng)的前一部分邊界為曲線段FGBC，該曲線段是函數(shù)，的圖像，圖象的最高點(diǎn)為.邊界的中間部分為長(zhǎng)1千米的直線段CD，且.游樂場(chǎng)的后一部分邊界是以O(shè)為圓心的一段圓弧.（1）求曲線段FGBC的函數(shù)表達(dá)式和半徑OD的長(zhǎng)度；（2）如圖，在扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)平行四邊形休閑區(qū)OMPQ，平行四邊形的一邊在海岸線EF上，一邊在半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧上，且，求平行四邊形休閑區(qū)OMPQ面積的最大值及此時(shí)的值.解：（1）由已知條件，得，又∵，，∴，又∵當(dāng)時(shí)，有，且，∴，∴曲線段FGBC的〖解析〗式為，，，，∴.（2）如圖：，，，∴，作軸于點(diǎn)，在中，，在中，，，，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，所以平行四邊形面積有最大值為（平方千米）.22.設(shè)，函數(shù)，.（1）若函數(shù)的值域是，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，記函數(shù)，討論在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：（1），因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，所以是函數(shù)的值域的子集，所以，解得，所以的取值范圍為.（2）在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，則，則，因?yàn)?，所以，即，又，所以，即，所以；?dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，而，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上無零點(diǎn)，，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，則可取，故方程在上有個(gè)實(shí)數(shù)根，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，則可取，故方程在上有個(gè)實(shí)數(shù)根，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)