廣東省汕頭市潮陽(yáng)區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省汕頭市潮陽(yáng)區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.2.已知集合，，那么等于（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題設(shè)可得，所以.故選：D．3.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，定義域?yàn)椋c不恒等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，定義域?yàn)椋c不恒等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，定義域?yàn)椋c不恒等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，解得或，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，是偶函數(shù)，故D正確.故選：D.4.若，則的最小值為（）A. B.0 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：.5.下列命題正確的是（）A.在是減函數(shù)B.正切函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)C.是偶函數(shù)也是周期函數(shù)D.已知，，則y的最小值為〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的定義域?yàn)?，單調(diào)增區(qū)間為，在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的定義域?yàn)?，且，是偶函?shù)，，即是函數(shù)的一個(gè)周期，是周期函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.人工放射性核素碘-131可發(fā)射射線治療甲亢，已知該物質(zhì)的半衰期為8天，設(shè)質(zhì)量為的碘-131經(jīng)過(guò)天后剩留的質(zhì)量為，則關(guān)于的函數(shù)〖解析〗式是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗由題意，經(jīng)過(guò)一個(gè)半衰期（8天）后，剩留的質(zhì)量，經(jīng)過(guò)兩個(gè)半衰期（16天）后，剩留的質(zhì)量，經(jīng)過(guò)三個(gè)半衰期（24天）后，剩留的質(zhì)量，，經(jīng)過(guò)天后，剩留的質(zhì)量，.故選：A.7.已知，，則p是q的（）．A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，則，可得，即，可知由p可以推出q，則p是q的充分條件；例如，可知，滿足，但不滿足，可知p不是q的必要條件；綜上所述：p是q的充分不必要條件.故選：B.8.已知函數(shù)，則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗由已知，.故選：.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積（）與時(shí)間（月）的關(guān)系為，則以下敘述正確的有（）A.浮萍蔓延的面積逐月翻一番B.第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積會(huì)超過(guò)30C.第7個(gè)月的浮萍面積超過(guò)第6個(gè)月和第8個(gè)月的平均值D.浮萍每月增加的面積都相等〖答案〗AB〖解析〗由圖可知點(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以，即，所以，所以，故正確；當(dāng)時(shí)，即，所以正確；設(shè)，，時(shí)浮萍面積分別為，，，所以，，，所以，所以錯(cuò)誤；第個(gè)月比第個(gè)月增加，第個(gè)月比第個(gè)月增加，且，實(shí)際上面積增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，故錯(cuò)誤.故選：.10.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，，，故A正確；對(duì)于B，，根據(jù)不等式的性質(zhì)得，，故B正確；對(duì)于C，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，冪函數(shù)在單調(diào)遞增，，，故D正確.故選：ABD.11.下列求解結(jié)果正確的是（）A.不等式的解集為B.C.D.若，則〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A，由可得或，解得或，選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若，則，即，所以，選項(xiàng)D正確．故選：CD．12.已知函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是是奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是是偶函數(shù).則下列說(shuō)法正確的是（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形B.的圖象關(guān)于成軸對(duì)稱(chēng)圖形C.的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形D.的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，，設(shè)，為奇函數(shù)，的對(duì)稱(chēng)中心為，故A正確；對(duì)于B，，設(shè)，為偶函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C，，設(shè)，，不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，設(shè)，，不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：AB．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題：“，”則命題的否定為：________________________．〖答案〗，〖解析〗因?yàn)槊}：，，所以命題的否定為：，.故〖答案〗為：，.14.已知函數(shù)的值域是，記的定義域?yàn)椋篲___________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，所以，又因?yàn)?，所以，所以定義域?yàn)?故〖答案〗為：.15.記，那么______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若對(duì)任意的正數(shù)a、b，滿足，則的最小值為：______．〖答案〗4〖解析〗對(duì)任意的，，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋春瘮?shù)為奇函數(shù)，又因?yàn)?，且函?shù)在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，對(duì)任意的正數(shù)，滿足，則，所以，，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為4.故〖答案〗為：4.四、解答題：本題共6小題，第17題滿分10分，其它5個(gè)小題滿分均為12分，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)．（1）若，求及的值；（2）若，求點(diǎn)P坐標(biāo)．解：（1）角以O(shè)x為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，所以．（2）依題意，，由，得，代入，于是，解得，即，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為．18.已知函數(shù)，.（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）求不等式的解集.解：（1）函數(shù)在區(qū)間上增函數(shù)，證明如下：設(shè)，且，則，所以，故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).（2）由，由，即；可得；所以且，解得或，因此不等式的解集為：.19.潮汕人喜歡喝功夫茶，茶水的口感和水的溫度有關(guān)，如果剛泡好的茶水溫度是℃，環(huán)境溫度是℃，那么t分鐘后茶水的溫度（單位：℃）可由公式求得．現(xiàn)有剛泡好茶水溫度是100℃，放在室溫25℃的環(huán)境中自然冷卻，5分鐘以后茶水的溫度是50℃．（1）求k的值；（2）經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)室溫為15℃時(shí)，該種茶剛泡好的茶水溫度95℃，自然冷卻至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，那么，剛泡好的茶水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1；參考值：，）解：（1）依題意，，，則，化簡(jiǎn)得，，，即：．（寫(xiě)也正確）（2）由（1）得，令，即，得，；得，所以剛泡好的茶水大約需要放置2.7分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感．20.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．解：（1）因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，在上滿足，滿足題意，故函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，.（2）由（1）可知，所以，，因?yàn)闀r(shí)，存在零點(diǎn)，其中，即關(guān)于的方程有解，令，因?yàn)?，令，設(shè)，，，其中，得，，，所以，則成立，則由函數(shù)單調(diào)性定義：在單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.已知二次函數(shù)滿足，恒成立，且，．（1）求的〖解析〗式；（2）對(duì)任意，總存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即，因?yàn)椋院瘮?shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，即，由得，所以.（2）由題意得對(duì)任意，總存在，使得不等式成立，法一：令，由題意得，而，當(dāng)時(shí)，兩邊平方，即，解得，當(dāng)時(shí)，兩邊平方，即，解得，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故對(duì)任意，只需要，不等式成立.法二：若，顯然成立，若，，即或，可得或，總存，只需要或，而，所以，解得，綜上可得，不等式成立.22.定義：函數(shù)若存在正常數(shù)，使得，為常數(shù)，對(duì)任意恒成；則稱(chēng)函數(shù)為“代階函數(shù)”．（1）判