數(shù)學(xué)-專題5.2 平行線的性質(zhì)【十大題型】（舉一反三）（人教版）（原版）

專題5.2平行線的性質(zhì)【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平行線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用（計(jì)算與證明）】 1【題型2平行線的判定與性質(zhì)（書寫過程）】 2【題型3平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)在平行線上）】 5【題型4平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)不在平行線上）】 6【題型5平行線的判定與性質(zhì)綜合（角度之間的數(shù)量關(guān)系）】 7【題型6平行線的判定與性質(zhì)綜合（求定值）】 8【題型7平行線的判定與性質(zhì)綜合（規(guī)律問題）】 10【題型8平行線的性質(zhì)（折疊問題）】 12【題型9平行線的應(yīng)用（轉(zhuǎn)角問題）】 14【題型10平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)）】 15【知識(shí)點(diǎn)平行線的性質(zhì)】1.兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡(jiǎn)單說成兩直線平行同位角相等.2.兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說成兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等.3.兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).【題型1平行線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用（計(jì)算與證明）】【例1】（2022·西藏·林芝市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)D，E在AC上，點(diǎn)F，G分別在BC，AB上，且DG∥(1)求證：DB∥(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度數(shù)．【變式1-1】（2022·湖北·五峰土家族自治縣中小學(xué)教研培訓(xùn)中心七年級(jí)期末）已知：如圖，AE⊥BC,FG⊥BC，

(1)求證：AB∥(2)求∠C的度數(shù)．【變式1-2】（2022·重慶·巴川初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于D，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段CD上，EF與AC相交于點(diǎn)G，且∠BDA(1)求證：AD∥EF；(2)若點(diǎn)H在FE的延長(zhǎng)線上，且∠EDH＝∠C，則∠F與∠H相等嗎？請(qǐng)說明理由．【變式1-3】（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級(jí)中學(xué)三模）如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．(1)求證：EF∥AD；(2)求證：∠BAC+∠AGD=180°．【題型2平行線的判定與性質(zhì)（書寫過程）】【例2】（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，∠1=∠2，

求證：∠B=∠C．（請(qǐng)把下面證明過程補(bǔ)充完整）證明：∵1=∠2（已知）又∵∠1=∠3（____________）∴∠2=∠3（____________）∴AE∥∴∠A=∠_____（______________）∵∠A=∠D（已知）∴∠D=∠BFD（等量代換）∴_____∥CD∴∠B=∠C（____________）【變式2-1】（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）閱讀并完成下面的證明過程：已知：如圖，AB∥EF，∠1=∠2，BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD，求證：BE⊥CE．證明：∵BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD．∴∠ABE=∠EBC=∠2=________=1又∵∠1=∠2，∴∠1=∠ECD（

）∴EF∥CD（又∵AB∥EF（已知）∴________________（

）

∴∠ABC+∠BCD=180°（

）∴∠ABE+∠2=1又∵AB∥EF，∴∠ABE=∠BEF（

）∴∠BEF+∠1=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE（

）【變式2-2】（2022·湖南·株洲景炎學(xué)校七年級(jí)期中）完成下面證明過程并寫出推理根據(jù)：已知：如圖所示，∠BAP與∠APD互補(bǔ)，求證：∠E證明：∵∠BAP與∠即∠BAP∴____________∥_____________（_____________________），∴∠BAP又∵∠1=∠∴∠BAP即∠3=∠4，∴____________∥_____________（_____________________），∴∠E【變式2-3】（2022·重慶·巴川初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期中）推理填空：完成下面的證明過程.如圖，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求證：.DE∥BC證明：∵∠1+∠2=180°（）∠2=∠3（_______________________________）

∴∠1+∠3=180°∴______∥______（_____________________________）

∴∠B=______（________________________________）∵∠B=∠DEF（已知）∴∠DEF=_______（_______________________）∴DE∥BC（）【題型3平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)在平行線上）】【例3】（2022·遼寧·阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，含有30°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F放在一個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)邊上，點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，∠EFG=30°，延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)P，如果∠3=65°，那么∠2的度數(shù)是（

）A．100° B．105° C．115° D．120°【變式3-1】（2022·浙江·金華市第四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結(jié)論：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠2；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正確的個(gè)數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【變式3-2】（2022·山東青島·七年級(jí)期中）將一塊直角三角板ABC按如圖方式放置，其中∠ABC=30°，A，B兩點(diǎn)分別落在直線m、n上，∠1=20°，添加下列哪一個(gè)條件可使直線m∥n（

A．∠2=20° B．∠2=30° C．∠2=45° D．∠2=50°【變式3-3】（2022·河南南陽·二模）小明把一副三角板按如圖所示方式擺放，直角邊CD與直角邊AB相交于點(diǎn)F，斜邊DE∥BC，∠B＝30°，∠E＝45°，則∠CFB的度數(shù)是（A．95° B．115° C．105° D．125°【題型4平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)不在平行線上）】【例4】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，a∥b，一塊含45°的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)落在直線b上，若∠1=58°54A．103°6′ B．104°6′ C．【變式4-1】（2022·山西晉中·七年級(jí)期末）用一塊含60°角的直角三角板和一把直尺按圖中所示的方式放置，其中直尺的直角頂點(diǎn)與三角板的60°角頂點(diǎn)重合，直尺兩邊分別與三角板的兩條直角邊相交，若∠1=50°，則∠2的度數(shù)為（

）A．25° B．22.5° C．20° D．15°

【變式4-2】（2022·福建·莆田市城廂區(qū)南門學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結(jié)論：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正確的是_______．【變式4-3】（2022·山東淄博·期末）如圖所示，將一直角三角板放在AB，CD兩條平行線之間：(1)圖甲中，容易求得∠1+∠2=90°，請(qǐng)直接寫出圖乙中∠1，∠2的數(shù)量關(guān)系；(2)請(qǐng)問圖丙中∠1，∠2的數(shù)量關(guān)系是什么？并加以說明；(3)請(qǐng)直接寫出圖丁中∠1，∠2的數(shù)量關(guān)系．【題型5平行線的判定與性質(zhì)綜合（角度之間的數(shù)量關(guān)系）】【例5】（2022·黑龍江鶴崗·七年級(jí)期末）如圖①，AB∥CD，M為平面內(nèi)一點(diǎn)，若BM⊥MC，則易證∠ABM與∠DCM互余．(1)如圖②，AB∥CD．點(diǎn)M在射線EA上運(yùn)動(dòng)，猜想點(diǎn)M在點(diǎn)A和D之間時(shí)，∠BMC與∠ABM、∠DCM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M在射線EA的其它位置上時(shí)（不與點(diǎn)E，A，D重合）請(qǐng)直接寫出∠BMC

與∠ABM、∠DCM之間的數(shù)量關(guān)系．【變式5-1】（2022·遼寧·興城市第二初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在線段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．(1)如圖1，求證：MN∥PQ；(2)分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C作直線AG、CH使AG∥CH，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的直角∠DBI的兩邊分別與直線CH，AG交于點(diǎn)F和點(diǎn)E，如圖2，試判斷∠CFB、∠BEG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)在（2）的條件下，若BD和AE恰好分別平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度數(shù)．（直接寫出答案）【變式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠1=∠2，∠D=∠CMG．(1)求證：AD∥(2)若∠A+∠DHG=180°，試探索：∠ANB，∠NBG，∠1的數(shù)量關(guān)系；(3)在（2）的條件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度數(shù)．【變式5-3】（2022·湖北·潛江市高石碑鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖1，AB∥CD，直線AE分別交AB、CD于點(diǎn)A、E．點(diǎn)F是直線AE上一點(diǎn)，連結(jié)BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP與EP交于點(diǎn)P．

(1)若點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，且BF⊥AE，求∠P的度數(shù)；(2)若點(diǎn)F是直線AE上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)F與點(diǎn)A不重合)，請(qǐng)寫出∠P與∠AFB之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【題型6平行線的判定與性質(zhì)綜合（求定值）】【例6】（2022·湖南·株洲二中七年級(jí)期末）實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角∠1＝∠2．(1)如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝50°，則∠2＝°，∠3＝°．(2)請(qǐng)你猜想：當(dāng)射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行時(shí)，兩平面鏡a、b間的夾角∠3的大小是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出∠3，若不是定值，請(qǐng)說明理由．(3)如圖3，兩面鏡子的夾角為α°（0＜α＜90），進(jìn)入光線與離開光線的夾角為β°（0＜β＜90）．試探索α與β的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式6-1】（2022·河北保定·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)M，N分別在直線AB,CD上，H為直線CD下方一點(diǎn)．(1)如圖1，MH和NH相交于點(diǎn)H，求證：∠MHN=∠AMH?∠CNH．（溫馨提示：可過點(diǎn)H作AB

的平行線）(2)延長(zhǎng)HN至點(diǎn)G，∠BMH的平分線ME和∠GND的平分線NE相交于點(diǎn)E，HM與CD相交于點(diǎn)F．①如圖2，若∠BME=50°,∠END=30°，求∠MHN的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，若∠BME的度數(shù)為x°，∠END的度數(shù)為y°，且x+y的值是一個(gè)定值，請(qǐng)問∠MHN的度數(shù)是否會(huì)隨x的變化而發(fā)生改變？若不變，求出∠MHN的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由．③如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，②中其他條件不變，請(qǐng)問∠MHN的度數(shù)是否會(huì)隨x的變化而發(fā)生改變？若不變，直接寫出∠MHN的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由．【變式6-2】（2022·福建龍巖·七年級(jí)期末）如圖1，點(diǎn)A、D分別在射線BM、CN線上，BM∥CN，BM⊥BC于點(diǎn)B，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接DE，∠1+∠2=90°．(1)求證：AE⊥ED；(2)求證：DE平分∠ADC；(3)如圖2，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，試猜想∠F的值是否為定值，若是，請(qǐng)予以證明；若不是，請(qǐng)說明理由．【變式6-3】（2022·天津河?xùn)|·七年級(jí)期中）直線MN與直線AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，∠MEB與∠CFM互補(bǔ)(1)如圖1，試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的平分線交于點(diǎn)P，EP的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)G，H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG，求證：PF∥GH．

(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PH，K是GH上一點(diǎn)，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求證：∠HPQ的大小是定值．【題型7平行線的判定與性質(zhì)綜合（規(guī)律問題）】【例7】（2022·遼寧·鞍山市第十四中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AB//CD，若按圖中規(guī)律繼續(xù)劃分下去，則∠1+∠2+?+∠n等于（

）A．n?1800 B．2n?1800 C．【變式7-1】（2022·湖南·邵陽市第六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知直線AE，BF被直線AB所截，且AE//BF，AC1，BC1分別平分∠EAB，∠FBA；AC2，BC2分別平分∠BAC1和∠ABC1；A．90?902n B．180?902n?1【變式7-2】（2022·山東·臨沂第六中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖（1）（2）（3）中，都滿足AB∥CD．試求：（1）圖（1）中∠A＋∠C的度數(shù)，并說明理由．（2）圖（2）中∠A＋∠APC＋∠C的度數(shù)，并說明理由．（3）圖（3）中∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C的度數(shù)，并簡(jiǎn)要說明理由．（4）按上述規(guī)律，∠A＋……＋∠C（共有n個(gè)角相加）的和為

【變式7-3】（2022·浙江·七年級(jí)階段練習(xí)）閱讀并探究下列問題.（1）如圖①，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，其中AB∥CD，則∠2與∠1、∠3有何關(guān)系？請(qǐng)進(jìn)行證明.（2）如圖②，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，其中AB∥CD，則∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的關(guān)系為.（3）如圖③，將長(zhǎng)方形紙片剪2016刀，其中AB∥CD，則共剪出個(gè)角.若將剪出的角（∠A、∠C除外）分別用∠E1、∠E2、∠E3…表示，則被剪出的這些角的關(guān)系為.（4）如圖④，直線AB∥CD，∠EFA=∠HMN=x°，∠FGH=3x°，∠CNP=y°2x+y?102+x+y?72=0【題型8平行線的性質(zhì)（折疊問題）】【例8】（2022·江西贛州·七年級(jí)期末）綜合與實(shí)踐：折紙中的數(shù)學(xué)知識(shí)背景我們?cè)谄吣昙?jí)上冊(cè)第四章《幾何圖形初步》中探究了簡(jiǎn)單圖形折疊問題，并進(jìn)行了簡(jiǎn)單的計(jì)算與推理．七年級(jí)下冊(cè)第五章我們學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)與判定，今天我們繼續(xù)探究：折紙中的數(shù)學(xué)﹣﹣長(zhǎng)方形紙條的折疊與平行線．知識(shí)初探(1)如圖1，長(zhǎng)方形紙條ABGH中，AB∥GH,AH∥BG，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝90°，將長(zhǎng)方形紙條沿直線CD折上，點(diǎn)A落在A'處，點(diǎn)B落在B'處，B'C交AH于點(diǎn)E，若∠ECG＝70°，則∠CDE＝；

類比再探(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將∠HEC對(duì)折，點(diǎn)H落在直線EC上的H'處，點(diǎn)G落在G'處得到折痕EF，則折痕EF與CD有怎樣的位置關(guān)系？說明理由；(3)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)G'作BG的平行線MN，請(qǐng)你猜想∠ECF和∠H'G'M的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式8-1】（2022·河南周口·七年級(jí)期中）如圖，已知四邊形紙片ABCD，∠B=∠D=90°，點(diǎn)E在AD邊上，把紙片按圖中所示的方式折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為CE．（1）試判定AB與EF的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如果∠A=100°，求∠DEC的度數(shù)．【變式8-2】（2022·河北保定·七年級(jí)期末）學(xué)習(xí)了平行線以后，小明想出了用紙折平行線的方法，他將一張如圖1所示的紙片，其中AD//BC，先按如圖2所示的方法折疊，折痕為MN；（MC′與AD相交于點(diǎn)P）然后按如圖3的方法折疊，折痕為PQ（（1）在圖2的折疊過程中，若∠1=130°，求∠2的度數(shù)（2）如圖3，小明認(rèn)為在折疊過程中，產(chǎn)生的折痕MN與PQ平行，請(qǐng)把小明的思考步驟補(bǔ)充完整．由折疊可知，∠C∠A∵AB

∴∠APA′=∠CMC′∴②＝③（等量代換）∴PQ//【變式8-3】（2022·廣東佛山·七年級(jí)期末）某公司技術(shù)人員用“沿直線AB折疊檢驗(yàn)塑膠帶兩條邊緣線a、b是否互相平行”．（1）如圖1，測(cè)得∠1=∠2，可判定a∥b嗎？請(qǐng)說明理由；（2）如圖2，測(cè)得∠1=∠2，且∠3=∠4，可判定a∥b嗎？請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，若要使a∥b，則∠1與∠2應(yīng)該滿足什么關(guān)系式？請(qǐng)說明理由．【題型9平行線的應(yīng)用（轉(zhuǎn)角問題）】【例9】（2022·黑龍江·大慶市第五十一中學(xué)七年級(jí)期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，在與原方向相反的方向上平行行駛，則這兩次拐彎的角度應(yīng)為（

）A．第一次向右拐38°，第二次向左拐142°B．第一次向左拐38°，第二次向右拐38°C．第一次向左拐38°，第二次向左拐142°D．第一次向右拐38°，第二次向右拐40°【變式9-1】（2022·河北唐山·七年級(jí)期末）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，則兩次拐彎的角度可以是（）A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°【變式9-2】（2022·廣西防城港·七年級(jí)期末）如圖，防城港市的一條公路修到海邊時(shí)，需要拐彎繞海而過，如果第一次拐角是∠A=130°，第二次拐的角是∠B=160°，第三次拐的角是∠C，這時(shí)的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，則∠C度數(shù)為______．

【變式9-3】（2022·廣東·廣州市第十六中學(xué)七年級(jí)期中）如圖所示，一條公路修到湖邊時(shí)，需要拐彎繞湖而過，第一次拐的角∠A=110°，第二次拐的角∠B=145°，則第三次拐的角∠C=__________時(shí)，道路CE才能恰好與AD平行．【題型10平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)）】【例10】（2022·上海市市西初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）結(jié)合“愛市西，愛生活，會(huì)創(chuàng)新”的主題，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一款“地面霓虹探測(cè)燈”，增加美觀的同時(shí)也為行人的夜間行路帶去了方便．他的構(gòu)想如下：在平面內(nèi)，如圖1所示，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ//MN，且（1）填空：∠ABP=______°；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)60秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前，若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD=120°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說明理由．【變式10-1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）