MBA數(shù)學(xué)-排列組合

MBA數(shù)學(xué)-排列組合目錄CONTENTS排列組合基本概念與原理典型題型解析與思路復(fù)雜排列組合問題求解策略概率統(tǒng)計(jì)中排列組合應(yīng)用解題技巧總結(jié)與提高建議實(shí)戰(zhàn)演練與案例分析01排列組合基本概念與原理從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。排列組合區(qū)別從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。排列需要考慮元素的順序，而組合不需要考慮元素的順序。030201排列與組合定義及區(qū)別加法原理做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，...，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+...+mn種不同方法。乘法原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，...，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×...×mn種不同的方法?；驹恚杭臃ㄔ砼c乘法原理010405060302排列數(shù)公式：A(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=n!/(n-m)!（其中n≥m）性質(zhì)A(n,m)=n×A(n-1,m-1)A(n,m)+A(n,m-1)=A(n+1,m)A(n,0)=1A(n,n)=n!排列數(shù)公式與性質(zhì)C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1)C(n,0)=C(n,n)=1C(n,1)=C(n,n-1)=n組合數(shù)公式：C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/[m!(n-m)!]（其中n≥m）性質(zhì)C(n,m)=C(n,n-m)010402050306組合數(shù)公式與性質(zhì)02典型題型解析與思路相鄰問題捆綁法題型特征題目中要求某些元素必須相鄰。解題思路將相鄰的元素看作一個(gè)整體，與其他元素進(jìn)行排列組合，最后考慮相鄰元素內(nèi)部的排列。示例5個(gè)人站成一排，其中甲、乙兩人必須相鄰，有多少種不同的站法？解析將甲、乙兩人看作一個(gè)整體，與其他3人進(jìn)行全排列，有$A_4^4$種排法。再考慮甲、乙兩人內(nèi)部的排列，有$A_2^2$種排法。因此，總共有$A_4^4timesA_2^2=48$種不同的站法。題型特征題目中要求某些元素不能相鄰。示例5個(gè)人站成一排，其中甲、乙兩人不能相鄰，有多少種不同的站法？解析先考慮其他3人的排列，有$A_3^3$種排法。這3人之間形成了4個(gè)空隙，甲、乙兩人可以插入到這4個(gè)空隙中，有$A_4^2$種插法。因此，總共有$A_3^3timesA_4^2=72$種不同的站法。解題思路先考慮沒有限制條件的元素的排列，再將不能相鄰的元素插入到它們的空隙中。不相鄰問題插空法解析5個(gè)人的全排列有$A_5^5$種排法。甲、乙、丙三人的順序固定，他們的排列有$A_3^3$種。因此，滿足條件的站法有$frac{A_5^5}{A_3^3}=20$種。題型特征題目中要求某些元素按照指定的順序排列。解題思路先求出所有元素的排列數(shù)，再除以指定順序元素的排列數(shù)。示例5個(gè)人站成一排，其中甲、乙、丙三人的順序必須是甲在乙前面，乙在丙前面，有多少種不同的站法？定序問題縮倍法題目中要求將元素分組，且組與組之間有區(qū)別。題型特征分組時(shí)要考慮組與組之間的區(qū)別，避免重復(fù)計(jì)數(shù)。通常使用組合公式$C_n^m$進(jìn)行分組，并考慮組內(nèi)的排列。解題思路將6個(gè)人分成3組，每組2人，有多少種不同的分法？示例從6個(gè)人中選2人組成第一組，有$C_6^2$種選法；從剩下的4個(gè)人中選2人組成第二組，有$C_4^2$種選法；最后2人自然組成第三組。因此，總共有$frac{C_6^2timesC_4^2}{A_3^3}=15$種不同的分法（除以$A_3^3$是因?yàn)槿M之間沒有區(qū)別）。解析分組問題防遺漏03復(fù)雜排列組合問題求解策略對(duì)于含有特殊元素（如被限制的元素、需要優(yōu)先考慮的元素等）或特殊位置（如必須填充的位置、有特殊條件的位置等）的問題，優(yōu)先安排這些元素或位置，可以簡(jiǎn)化問題，降低計(jì)算難度。例如，在求解某些排列組合問題時(shí)，可以先考慮特殊元素或特殊位置，再對(duì)其他元素進(jìn)行排列組合，從而得到問題的解。優(yōu)先安排特殊元素或位置正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用當(dāng)正面求解問題較為困難時(shí)，可以考慮從反面入手，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想將問題轉(zhuǎn)化為更容易求解的形式。例如，在求解某些排列組合問題時(shí)，可以先求出所有可能的排列組合數(shù)，再減去不符合條件的情況數(shù)，從而得到符合條件的排列組合數(shù)。對(duì)于某些復(fù)雜的排列組合問題，可以通過構(gòu)造模型的方式，將問題轉(zhuǎn)化為已知的、簡(jiǎn)單的排列組合問題，從而利用已有的結(jié)論簡(jiǎn)化計(jì)算。例如，在求解某些涉及多個(gè)元素的排列組合問題時(shí)，可以通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，將問題轉(zhuǎn)化為已知的排列組合問題，如二項(xiàng)式定理、組合恒等式等。構(gòu)造模型，利用已有結(jié)論簡(jiǎn)化計(jì)算當(dāng)問題的規(guī)模較小且限制條件較多時(shí)，可以考慮使用枚舉法來求解問題。通過枚舉所有可能的情況并判斷是否符合條件，可以得到問題的解。例如，在求解某些涉及少量元素的排列組合問題時(shí)，可以通過枚舉所有可能的情況并計(jì)算符合條件的情況數(shù)來得到問題的解。枚舉法在有限制條件下應(yīng)用04概率統(tǒng)計(jì)中排列組合應(yīng)用排列數(shù)公式$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$，其中n為總的元素個(gè)數(shù)，m為要選取的元素個(gè)數(shù)。組合數(shù)公式$C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}$，其中n為總的元素個(gè)數(shù)，m為要選取的元素個(gè)數(shù)。古典概型中基本事件總數(shù)計(jì)算在古典概型中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相同的，因此可以通過計(jì)算基本事件的總數(shù)來求解概率。例如，在拋擲硬幣、骰子等實(shí)驗(yàn)中，可以利用排列組合的知識(shí)來計(jì)算基本事件的總數(shù)。古典概型中基本事件總數(shù)計(jì)算隨機(jī)抽樣中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)確定從N個(gè)元素中隨機(jī)抽取n個(gè)元素（不放回），則樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為$C_N^n$。系統(tǒng)抽樣將N個(gè)元素分成若干組，每組內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，則樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)與分組方式和每組內(nèi)抽取的元素個(gè)數(shù)有關(guān)。分層抽樣將N個(gè)元素按照某種特征分成若干層，每層內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，則樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)與分層方式和每層內(nèi)抽取的元素個(gè)數(shù)有關(guān)。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分布列在離散型隨機(jī)變量中，每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率構(gòu)成的序列稱為分布列。排列組合的知識(shí)可以幫助我們計(jì)算每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率。期望期望是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，表示隨機(jī)變量取值的平均水平。在計(jì)算期望時(shí)，需要利用排列組合的知識(shí)來計(jì)算每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，并求出加權(quán)平均數(shù)。方差方差表示隨機(jī)變量取值的離散程度。在計(jì)算方差時(shí)，同樣需要利用排列組合的知識(shí)來計(jì)算每個(gè)取值與期望之差的平方的期望。分布列和期望中概率計(jì)算05解題技巧總結(jié)與提高建議排列組合的基本原理理解排列與組合的基本概念，掌握加法原理和乘法原理，以及它們?cè)诓煌瑘?chǎng)景下的應(yīng)用。常用公式熟練掌握排列數(shù)公式、組合數(shù)公式以及它們的性質(zhì)和變形，如二項(xiàng)式定理等。計(jì)數(shù)方法學(xué)會(huì)使用枚舉法、分類法、分步法等基本的計(jì)數(shù)方法，以及特殊情況的計(jì)數(shù)技巧，如定序問題、定位問題等。熟練掌握基本原理和公式學(xué)會(huì)運(yùn)用多種方法解題對(duì)于一些直接求解較為困難的問題，可以考慮采用正難則反法，即先求出問題的反面情況，再用總數(shù)減去反面情況得到正面情況的解。正難則反法對(duì)于某些特殊問題，如不相鄰問題，可以采用插空法，先考慮其他元素的排列，再將特殊元素插入到合適的位置。插空法對(duì)于需要將某些元素視為一個(gè)整體進(jìn)行考慮的問題，可以采用捆綁法，先將這些元素捆綁在一起進(jìn)行排列或組合，再與其他元素一起考慮。捆綁法遺漏情況在列舉所有可能情況時(shí)，要確保不遺漏任何一種情況，特別是在分類討論時(shí)要特別注意。理解題意不清在解題前要認(rèn)真審題，確保充分理解題意和題目要求，避免因?yàn)槔斫獠磺宥鴮?dǎo)致錯(cuò)誤。重復(fù)計(jì)算在解題過程中要特別注意避免重復(fù)計(jì)算同一種情況，確保每種情況只被計(jì)算一次。注意避免常見錯(cuò)誤類型一題多解嘗試用多種方法解決同一個(gè)問題，比較不同方法的優(yōu)劣和適用范圍，提高思維的靈活性和創(chuàng)新性。舉一反三通過解決一個(gè)典型問題，掌握一類問題的解決方法，并能夠靈活運(yùn)用到類似的問題中。拓展延伸在掌握基本知識(shí)和方法的基礎(chǔ)上，嘗試拓展延伸和深化理解，探索更多可能的應(yīng)用場(chǎng)景和解題方法。提高思維靈活性和創(chuàng)新能力06實(shí)戰(zhàn)演練與案例分析2020年真題某公司要從10名員工中選出3名參加培訓(xùn)，有多少種不同的選法？此題考查的是組合數(shù)的計(jì)算。從10名員工中選出3名，即求C(10,3)，計(jì)算可得C(10,3)=120，所以有120種不同的選法。5個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)，有多少種不同的放法？此題考查的是排列數(shù)的計(jì)算。首先，從5個(gè)小球中選2個(gè)放入同一個(gè)盒子中，有C(5,2)種選法。然后，將這兩個(gè)小球與剩下的3個(gè)小球一起進(jìn)行全排列，有A(4,4)種排法。因此，總共有C(5,2)*A(4,4)=240種不同的放法。解題思路2019年真題解題思路歷年真題回顧及解題思路分享模擬題1：6個(gè)人排成一排，其中甲、乙兩人必須相鄰，丙、丁兩人不能相鄰，有多少種不同的排法？答題技巧：此題考查的是排列組合中的捆綁法和插空法。首先，將甲、乙兩人捆綁成一個(gè)整體，與剩下的4個(gè)人一起進(jìn)行全排列，有A(5,5)種排法。然后，將丙、丁兩人插入到已經(jīng)排好的5個(gè)人中的空位中，有A(6,2)種插法。因此，總共有A(5,5)*A(6,2)=1440種不同的排法。模擬題2：從1,2,3,...,9這9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，其中一個(gè)是奇數(shù)另一個(gè)是偶數(shù)的取法有多少種？答題技巧：此題考查的是分類計(jì)數(shù)原理。首先，從1,3,5,7,9這5個(gè)奇數(shù)中任取一個(gè)數(shù)字，有C(5,1)種取法。然后，從2,4,6,8這4個(gè)偶數(shù)中任取一個(gè)數(shù)字，有C(4,1)種取法。因此，總共有C(5,1)*C(4,1)=20種不同的取法。模擬題訓(xùn)練及答題技巧指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)排列與組合的概念理解不清。排列與組合都是研究從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的問題，但排列關(guān)注的是元素的順序，而組合則不關(guān)注元素的順序。因此，在解題時(shí)要根據(jù)題目要求選擇使用排列還是組合。易錯(cuò)點(diǎn)2對(duì)分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理混淆不清。分類計(jì)數(shù)原理是將一個(gè)復(fù)雜問題分解成若干個(gè)相互獨(dú)立且不可同時(shí)發(fā)生的問題進(jìn)行分別計(jì)數(shù)；而分步計(jì)數(shù)原理則是將一個(gè)復(fù)雜問題分解成若干個(gè)相互關(guān)聯(lián)且必須依次發(fā)生的問題進(jìn)行分別計(jì)數(shù)。因此，在解題時(shí)要根據(jù)題目要求選擇使用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理。學(xué)員易錯(cuò)點(diǎn)