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浙江省樂清外國語學(xué)院2024屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.2.如圖,在三棱柱中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,.若分別是棱上的點(diǎn),且,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.3.如圖,在正四棱柱中,,分別為的中點(diǎn),異面直線與所成角的余弦值為,則()A.直線與直線異面,且 B.直線與直線共面,且C.直線與直線異面,且 D.直線與直線共面,且4.2019年10月17日是我國第6個(gè)“扶貧日”,某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動(dòng),現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中,醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院,醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院,醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院,其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以,若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生,則不同的分配方案共有()A.18種 B.20種 C.22種 D.24種5.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.6.某市政府決定派遣名干部(男女)分成兩個(gè)小組,到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作,若要求每組至少人,且女干部不能單獨(dú)成組,則不同的派遣方案共有()種A. B. C. D.7.用一個(gè)平面去截正方體,則截面不可能是()A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形8.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則A. B.C. D.9.地球上的風(fēng)能取之不盡,用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源,也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電,近10年來,全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量連年攀升,中國更是發(fā)展迅猛,2014年累計(jì)裝機(jī)容量就突破了,達(dá)到,中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟,在全球范圍的能源升級(jí)換代行動(dòng)中體現(xiàn)出大國的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量與中國新增裝機(jī)容量圖.根據(jù)所給信息,正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是()A.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)到峰值B.10年來全球新增裝機(jī)容量連年攀升C.10年來中國新增裝機(jī)容量平均超過D.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量在全球累計(jì)裝機(jī)容量中占比超過10.設(shè)直線過點(diǎn),且與圓:相切于點(diǎn),那么()A. B.3 C. D.111.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,若不等式有解,則的取值范圍是()A. B.C. D.12.定義兩種運(yùn)算“★”與“◆”,對(duì)任意,滿足下列運(yùn)算性質(zhì):①★,◆;②()★★,◆◆,則(◆2020)(2020★2018)的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的兩條漸近線方程為,若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1,則雙曲線方程為.14.已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P是上底面15.已知△ABC得三邊長(zhǎng)成公比為2的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為_____.16.在四面體中,分別是的中點(diǎn).則下述結(jié)論:①四面體的體積為;②異面直線所成角的正弦值為;③四面體外接球的表面積為;④若用一個(gè)與直線垂直,且與四面體的每個(gè)面都相交的平面去截該四面體,由此得到一個(gè)多邊形截面,則該多邊形截面面積最大值為.其中正確的有_____.(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)己知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求證:;(2)若函數(shù),求證:函數(shù)存在極小值.18.(12分)在四棱錐中,底面是平行四邊形,為其中心,為銳角三角形,且平面底面,為的中點(diǎn),.(1)求證:平面;(2)求證:.19.(12分)已知函數(shù),.(1)求的值;(2)令在上最小值為,證明:.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),判斷在上的單調(diào)性并加以證明;(2)若,,求的取值范圍.21.(12分)某企業(yè)對(duì)設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造,現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則視為不合格品,如圖是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖,下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表.圖:設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖表:設(shè)備改造后樣本的頻率分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162(1)求圖中實(shí)數(shù)的值;(2)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分,質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的定為一等品,每件售價(jià)240元;質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間或內(nèi)的定為二等品,每件售價(jià)180元;其他的合格品定為三等品,每件售價(jià)120元,根據(jù)表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率.若有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品支付的費(fèi)用為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)已知是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在軸上,為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足,經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)直線與拋物線交于、兩點(diǎn),若,求點(diǎn)到直線的最大距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法計(jì)算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)的中點(diǎn)為,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示.所以,所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法,屬于中檔題.3、B【解析】
連接,,,,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性質(zhì)可知,直線與直線共面.,同理易得,由異面直線所成的角的定義可知,異面直線與所成角為,然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示:連接,,,,由正方體的特征得,所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得,所以異面直線與所成角為.設(shè),則,則,,,由余弦定理,得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì),還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.4、B【解析】
分兩類:一類是醫(yī)院A只分配1人,另一類是醫(yī)院A分配2人,分別計(jì)算出兩類的分配種數(shù),再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類:第一類:若醫(yī)院A只分配1人,則乙必在醫(yī)院B,當(dāng)醫(yī)院B只有1人,則共有種不同分配方案,當(dāng)醫(yī)院B有2人,則共有種不同分配方案,所以當(dāng)醫(yī)院A只分配1人時(shí),共有種不同分配方案;第二類:若醫(yī)院A分配2人,當(dāng)乙在醫(yī)院A時(shí),共有種不同分配方案,當(dāng)乙不在A醫(yī)院,在B醫(yī)院時(shí),共有種不同分配方案,所以當(dāng)醫(yī)院A分配2人時(shí),共有種不同分配方案;共有20種不同分配方案.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用,在做此類題時(shí),要做到分類不重不漏,考查學(xué)生分類討論的思想,是一道中檔題.5、B【解析】
由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達(dá)式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長(zhǎng)平方等于向量的平方,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨(dú)成一組的情況,再將這兩組分配,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】?jī)山M至少都是人,則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、,
又因?yàn)槊刹坎荒軉为?dú)成一組,則不同的派遣方案種數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合問題,涉及分組分配問題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.7、C【解析】試題分析:畫出截面圖形如圖顯然A正三角形,B正方形:D正六邊形,可以畫出五邊形但不是正五邊形;故選C.考點(diǎn):平面的基本性質(zhì)及推論.8、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得,即,所以,故選C.9、D【解析】
先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機(jī)容量,再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比,即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計(jì)裝機(jī)容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機(jī)容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計(jì)裝機(jī)裝機(jī)容量逐年遞增,A錯(cuò)誤;全球新增裝機(jī)容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢(shì),B錯(cuò)誤;經(jīng)計(jì)算,10年來中國新增裝機(jī)容量平均每年為,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量,全球累計(jì)裝機(jī)容量,占比為,選項(xiàng)D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查條形圖,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】
過點(diǎn)的直線與圓:相切于點(diǎn),可得.因此,即可得出.【詳解】由圓:配方為,,半徑.∵過點(diǎn)的直線與圓:相切于點(diǎn),∴;∴;故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算,考查圓的方程,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
先求導(dǎo)得(),由于函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,根據(jù),,,求出的取值范圍,而有解,通過分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù),通過利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值,即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得:(),因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,于是有解得.若不等式有解,所以因?yàn)?設(shè),,故在上單調(diào)遞增,故,所以,所以的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來求參數(shù)取值范圍,以及運(yùn)用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法,還考查分析和計(jì)算能力,有一定的難度.12、B【解析】
根據(jù)新運(yùn)算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值,可得選項(xiàng).【詳解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此類推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此類推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算,關(guān)鍵在于理解,運(yùn)用新定義進(jìn)行求值,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由已知,即,取雙曲線頂點(diǎn)及漸近線,則頂點(diǎn)到該漸近線的距離為,由題可知,所以,則所求雙曲線方程為.14、π.【解析】
設(shè)三棱錐P-ABC的外接球?yàn)榍騉',分別取AC、A1C1的中點(diǎn)O、O1,先確定球心O'在線段AC和A1C1中點(diǎn)的連線上,先求出球O【詳解】如圖所示,設(shè)三棱錐P-ABC的外接球?yàn)榍騉'分別取AC、A1C1的中點(diǎn)O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設(shè)球O的半徑為R,則4πR2=所以,OO則O而點(diǎn)P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此,點(diǎn)P所構(gòu)成的圖形的面積為π×O【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問題,根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動(dòng)點(diǎn)的軌跡,屬于中檔題.15、-【解析】試題分析:根據(jù)題意設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別設(shè)為為a,2a,2a,∵2a>2a>a,∴2a所對(duì)的角為最大角,設(shè)為θ,則根據(jù)余弦定理得考點(diǎn):余弦定理及等比數(shù)列的定義.16、①③④.【解析】
補(bǔ)圖成長(zhǎng)方體,在長(zhǎng)方體中利用割補(bǔ)法求四面體的體積,和外接球的表面積,以及異面直線的夾角,作出截面即可計(jì)算截面面積的最值.【詳解】根據(jù)四面體特征,可以補(bǔ)圖成長(zhǎng)方體設(shè)其邊長(zhǎng)為,,解得補(bǔ)成長(zhǎng),寬,高分別為的長(zhǎng)方體,在長(zhǎng)方體中:①四面體的體積為,故正確②異面直線所成角的正弦值等價(jià)于邊長(zhǎng)為的矩形的對(duì)角線夾角正弦值,可得正弦值為,故錯(cuò);③四面體外接球就是長(zhǎng)方體的外接球,半徑,其表面積為,故正確;④由于,故截面為平行四邊形,可得,設(shè)異面直線與所成的角為,則,算得,.故正確.故答案為:①③④.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)幾何體求體積,外接球的表面積,異面直線夾角和截面面積最值,關(guān)鍵在于熟練掌握點(diǎn)線面位置關(guān)系的處理方法,補(bǔ)圖法作為解決體積和外接球問題的常用方法,平常需要積累常見幾何體的補(bǔ)圖方法.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo)得,由,且,得到,再利用函數(shù)在上單調(diào)遞減論證.(2)根據(jù)題意,求導(dǎo),令,易知;,易知當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,而,又,由零點(diǎn)存在定理得,使得,,使得,有從而得證.【詳解】(1)依題意,,因?yàn)?,且,故,故函?shù)在上單調(diào)遞減,故.(2)依題意,,令,則;而,可知當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,而,又,故,使得,故,使得,即函數(shù)單調(diào)遞增,即單調(diào)遞增;故當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),還考查推理論證能力以及函數(shù)與方程思想,屬于難題.18、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)通過證明,即可證明線面平行;(2)通過證明平面,即可證明線線垂直.【詳解】(1)連,因?yàn)闉槠叫兴倪呅?,為其中心,所以,為中點(diǎn),又因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以,又平面,平面所以,平面;(2)作于因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,所以,平面又平面,所以又,,平面,平面所以,平面,又平面,所以?【點(diǎn)睛】此題考查證明線面平行和線面垂直,通過線面垂直得線線垂直,關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)判定定理,找出平行關(guān)系和垂直關(guān)系證明.19、(1);(2)見解析.【解析】
(1)將轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,令,故只需,即可求出的值;(2)由(1)知,可得,令,可證,使得,從而可確定在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,進(jìn)而可得,即,即可證出.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)閷?duì)任意恒成立,即對(duì)任意恒成立,令,則,當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時(shí),,不符合題意;當(dāng)時(shí),令得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以要使在時(shí)恒成立,則只需,即,令,,所以,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,又,所以,故滿足條件的的值只有(2)由(1)知,所以,令,則,當(dāng),時(shí),即在上單調(diào)遞增;又,,所以,使得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且所以,即,所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問題處理方法,第(2)問通過最值問題深化對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的考查,同時(shí)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想,屬于中檔題.20、(1)在為增函數(shù);證明見解析(2)【解析】
(1)令,求出,可推得,故在為增函數(shù);(2)令,則,由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),.記,則,當(dāng)時(shí),,.所以,所以在單調(diào)遞增,所以.因?yàn)?,所以,所以在為增函?shù).(2)由題意,得,記,則,令,則,當(dāng)時(shí),,,所以,所以在為增函數(shù),即在單調(diào)遞增,所以.①當(dāng),,恒成立,所以為增函數(shù),即在單調(diào)遞增,又,所以,所以在為增函數(shù),所以所以滿足題意.②當(dāng),,令,,因?yàn)?,所以,故在單調(diào)遞增,故,即.故,又在單調(diào)遞增,由零點(diǎn)存在性定理知,存在唯一實(shí)數(shù),,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,即單調(diào)遞減,所以,此時(shí)在為減函數(shù),所以,不合題意,應(yīng)舍去.綜上所述,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和零點(diǎn)及不等式恒成立等問題,考查化歸
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