數(shù)值分析考試試卷(解答)

廣西大學(xué)課程考試試卷《數(shù)值分析》參考解答一．填空題（每小題2分，共20分）：1．計算的近似值時，要使其相對誤差限，只需取3位有效數(shù)字；2．設(shè)近似數(shù)的誤差限分別為和，則0.05；3．函數(shù)的誤差限記為，則1；4．近似計算:≈-0.01(寫成十進(jìn)制小數(shù)形式)；5．設(shè)函數(shù)，則均差5；6．若是的最佳4次逼近多項式，則在上至少有6個偏差點；7.設(shè)是區(qū)間上的次勒讓德多項式，則0；8．在求積公式中，辛甫生公式至少具有3次代數(shù)精度；9．將分解為下三角陣與上三角陣之積,即,則,；10．設(shè)對稱矩陣的主特征值，列向量,則是的一個特征向量.二．單選題（每小題2分，共20分）：1.根據(jù)數(shù)值運(yùn)算誤差分析的方法與原則,無需避免的是(B);A.絕對值很大的數(shù)除以絕對值很小的數(shù)B.兩個非常相近的數(shù)相乘C.絕對值很大的數(shù)加上絕對值很小的數(shù)D.兩個非常相近的數(shù)相減2.設(shè)分別為節(jié)點上的次拉格朗日插值基函數(shù)，則（A）； A．B. C. D.3.當(dāng)時，其伯恩斯坦多項式（B）； A. B. C. D.4．在區(qū)間上的最佳次逼近多項式為（B）； A． B． C. D．5.設(shè)是的平方逼近多項式,則其逼近標(biāo)準(zhǔn)是依據(jù)(A)；A.B.C.D.6.若牛頓-柯特斯公式只有一個求積節(jié)點,則柯特斯系數(shù)(A)；A.B.C.D.7．插值型求積公式的代數(shù)精度最高可達(dá)到(D)次；A.B.C.D.8.下列方法不是常微分方程數(shù)值解法的是(B)；A.尤拉方法B.牛頓方法C.梯形方法D.龍格-庫塔方法9.用迭代法解方程,則該方程最好改寫為(B)；A.B.C.D.10.迭代法解線性方程組收斂的充要條件是（C）；A． B. C. D.三．計算題（每小題7分，共42分）：1.設(shè),試構(gòu)造基函數(shù)求的2次插值多項式,滿足:.解設(shè)的基函數(shù)為，則它們滿足下列關(guān)系 （1分）01011100010001（2分）(1)令，則有,即.所以.或由，先得.再由，得，即.由，得，即.所以. （1分）(2)令，則有,即.所以.或由,先得.再由，得.所以. （1分）(3)令，則有，即.所以或由,先得.再由，得，即.所以 （1分）最后得. （1分）2.求在區(qū)間[-1,1]上的２次最佳一致逼近多項式;解設(shè)所求的2次最佳一致逼近多項式為.令. （2分）則的首項系數(shù)為1,并且當(dāng)時,與的偏差最小,即與的偏差最小. （2分）因為上的3次切比雪夫Chebyshev多項式為. （1分）所以. （2分）3．利用龍貝格公式計算定積分(計算到即可)：解，, （1分）,,, （2分）TSCRn=11617.2590417.3264417.33283TSCRn=11617.2590417.3264417.33283n=216.9442817.3222317.33273n=417.2277417.33207n=817.30599,,.(2分)4．利用改進(jìn)的尤拉方法求解常微分方程初值問題：（要求取步長計算）解令，則改進(jìn)的尤拉公式為： （2分）. （2分)取得，. （1分)計算結(jié)果如下：111.21.461.42.06521.62.84754 （2分)5．用牛頓法求方程在附近的根（只要求迭代２步）。解牛頓迭代公式為： （2分). （2分)取迭代初值為，則迭代結(jié)果如下表所示：0312.3333322.05555 （3分）6．寫出解如下線性方程組的高斯－塞德爾迭代公式，并討論其收斂性。如果不收斂，則應(yīng)怎樣處理才能得到收斂的高斯－塞德爾迭代公式？解,,,,. （1分）則, （1分）得, （1分）, （1分）為高斯-塞德爾迭代公式. （1分）這時的2個特征值為,故，迭代法不收斂. （1分）若原方程改寫成為,這時是嚴(yán)格對角優(yōu)勢矩陣，則由此得到的迭代法必收斂. （1分）四．證明題(每小題9分,共18分)：1.證明本試卷第三大題（即計算題）第１小題的插值余項：,并有誤差估計證：方法一：因為，則是的零點且為二重的, (1分)于是可設(shè)，令 (2分)則有4個零點:,連續(xù)使用三次羅爾定理,則使, (2分)即,得. (2分)方法二:設(shè),則有3個零點, (1分)有2+1個零點,。有一個零點，所以(2分) (2分)，即. (2分)最后. (2分)2．證明:求積公式恰有次代數(shù)精度.證：當(dāng)時，，; (1分)當(dāng)時，,; (1分)當(dāng)時，,; (1分