數(shù)學物理方程

第三章行波法與積分變換法一行波法適用范圍：

無界域內(nèi)波動方程，等…1基本思想：

先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。關鍵步驟：

通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程?！?.1一維波動方程的達朗貝爾公式我們知道，要求一個常微分方程的特解，常用的方法是：先求出它的通解；再根據(jù)初始條件，確定通解中的任意常數(shù)，即得滿足初始條件的特解。對于偏微分方程，也用這種方法求解，一般來說，不行。行嗎？原因是：1、什么是偏微分方程的通解？不好定義。2、即使對某些偏微分方程能夠定義它的通解，但通解中含有任意函數(shù)，要由初始條件確定出這些任意函數(shù)是困難的。但是，在某些少數(shù)情況下，通解不僅可以求出（指含有任意函數(shù)的解），而且可由它得到初值問題的解的表達式。下面我們先來求一維波動方程的通解。一維波動方程(3.1)作變換，令(3.2)這樣按照多元復合函數(shù)求導法則，可得即類似可得(3.3)(3.4)即將(3.3)(3.4)代入方程(3.1)得(3.5)＋＋表示一個原函數(shù)＋即(3.6)這就是方程(3.1)的通解(包含任意函數(shù)的解)下面由定解條件來確定函數(shù)的具體形式．現(xiàn)在研究無限長弦的自由橫振動，設弦的初始狀態(tài)為已知，即已知定解條件設弦上點處時刻的位移為則它滿足一微波動方程，即(3.1)(3.7)(3.1)的通解為(3.9)(3.8)(3.10)解(3.8)(3.10)得代入(3.6)得：方程(3.1)在條件(3.7)下的解為即(3.11)無限長弦的自由振動的達朗貝爾公式說明達朗貝爾公式的物理意義由于達朗貝爾公式是由(3.6)式的來的，所以，只須說明(3.6)式的物理意義．(3.6)(3.6)表示一個以速度沿傳播的行波，稱為右行波．軸正向表示一個以速度沿傳播的行波，稱為左行波．軸負向所以，達朗貝爾公式表明：弦上的任意擾動總是以行波形式分別向兩個方向傳播出去，其傳播速度恰為弦振動方程中的常數(shù)基于上述原因，本節(jié)所用的方法就稱為行波法．達朗貝爾公式解在點的值，只依賴于軸上區(qū)間上的初始條件，與其它點的的初始條件無關，所以，區(qū)間稱為點的依賴區(qū)間．此三角形區(qū)域內(nèi)任一點的依賴區(qū)間都落在區(qū)間內(nèi)．因此，解在此三角形區(qū)域中的值完全由區(qū)間上的初始條件決定，與此區(qū)間外的初始條件無關．這個三角形區(qū)域稱為區(qū)間的決定區(qū)域．在區(qū)間上給定初始條件，就可以在其決定區(qū)域中決定初值問題的解．則經(jīng)過時間后受到區(qū)間初始擾動影響的區(qū)域為若過點分別作直線給了初始軸上的一個區(qū)間在此區(qū)域之外的擾動則不受上初始擾動的影響，所以，稱區(qū)域為區(qū)間的影響區(qū)域．從上面的討論，我們看到：在平面上，斜率為的兩族直線對一維波動方程(3.1)的研究起著重要作用我們稱這兩族直線為一維波動方程(3.1)的特征線．因為：在特征線上，右行波的振幅為常數(shù)在特征線上，左行波的振幅為常數(shù)且這兩個數(shù)值隨特征線的移動而改變，所以，波動實際上是沿特征線傳播的．因而，變換(3.2)常稱為特征變換，行波法也稱為特征線法。影響區(qū)域決定區(qū)域依賴區(qū)間特征線特征變換行波法又叫特征線法6相關概念注容易看出：一維波動方程(3.1)的兩族特征線恰好是常微分方程的積分曲線，這個常微分方程稱為方程(3.1)的特征方程。一般的二階線性偏微分方程(3.12)方程(3.12)的特征線．它的特征方程為(3.13)這個常微分方程的積分曲線稱為偏微分注意二階線性偏微分方程的特征線僅與該方程中的二階導數(shù)項的系數(shù)有關，而與其低階項的系數(shù)無關．雙曲型方程橢圓型方程拋物型方程特征方程一般二階線性偏微分方程若在某域內(nèi)則在此域內(nèi)稱(3.12)為橢圓型方程；若在某域內(nèi)則在此域內(nèi)稱(3.12)為拋物型方程；若在某域內(nèi)則在此域內(nèi)稱(3.12)為雙曲型方程；拉普拉斯方程泊松方程熱傳導方程波動方程不論(3.12)是哪一種類型的方程，都可通過適當?shù)淖宰兞恐g的變換將它化為標準形式．怎樣化為標準形式？參考復旦大學數(shù)學系編＜數(shù)學物理方程＞下舉一例，說明如何通過將方程化簡來求解它的定解問題．例求下列柯西問題的解(3.14)(3.15)解特征方程解得即令作特征變換，容易驗證：原方程化為其通解：＋所以，原方程的通解為＋(3.16)(3.17)由條件(3.15)(3.18)(3.19)(3.20)(3.18)(3.20)聯(lián)立，解得對(3.19)兩邊對積分得即代入(3.17)得：所求解為＋＋(3.21)即例1

解定解問題解例2解定解問題解例3求解解：特征方程為令：作業(yè)P81,1,

補充作業(yè)：解定解問題

補充作業(yè)：解定解問題第三章行波法與積分變換法一行波法適用范圍：

無界域內(nèi)波動方程，等…1基本思想：

先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。關鍵步驟：

通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。一維波動方程的達朗貝爾公式

行波法

結論：達朗貝爾解表示沿x軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。a.只有初始位移時，

代表以速度a

沿x

軸正向傳播的波

代表以速度a

沿x

軸負向傳播的波4解的物理意義b.只有初始速度時：