數(shù)學(xué)-專題12 勾股定理的實(shí)際應(yīng)用分類訓(xùn)練（帶答案）

專題12勾股定理的實(shí)際應(yīng)用分類訓(xùn)練（解析版）專題詮釋：本專題總結(jié)了最近?？嫉墓垂啥ɡ韺?shí)際應(yīng)用類型共計(jì)二十種。全部精選最新試題，歡迎下載使用。類型一勾股定理之大樹折斷模型1．（2022秋?輝縣市期末）如圖1，一棵大樹在一次強(qiáng)烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，圖2是這棵大樹折斷的示意圖，則這棵大樹在折斷之前的高是（）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米思路引領(lǐng)：利用勾股定理進(jìn)行求解即可．解：設(shè)大樹在折斷之前的高是xm，由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，解得：x＝18或x＝﹣8（不符合題意，舍去），∴大樹在折斷之前的高是18m；故選：B．總結(jié)提升：本題考查勾股定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?郯城縣校級(jí)期末）如圖，一根豎直的木桿在離地面3m處折斷，木桿頂端落在地面上，且與地面成30°角，則木桿折斷之前高度約為m．思路引領(lǐng)：根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，求出折斷后的頂端落在地面上的那段的高度，再加上豎直的高度，即為木桿折斷之前高度．

解：如圖，由題意，得：∠BAC＝90°，AB＝3m，∠C＝30°，則：BC＝2AB＝6m，∴木桿折斷之前高度約為：AB+BC＝9m；故答案為：9．總結(jié)提升：本題考查解直角三角形的應(yīng)用．熟練掌握30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?達(dá)川區(qū)期末）如圖，一棵大樹（樹干與地面垂直）在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面6米B處折斷倒下，倒下后的樹頂C與樹根A的距離為8米，則這棵大樹在折斷前的高度為（）A．10米 B．12米 C．14米 D．16米思路引領(lǐng)：先根據(jù)勾股定理求出大樹折斷部分的高度，再根據(jù)大樹的高度等于折斷部分的長(zhǎng)與未斷部分的和即可得出結(jié)論．解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，∴BC=AB2∴大樹的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．故選：D．總結(jié)提升：本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，再根據(jù)大樹的高度＝AB+BC進(jìn)行解答．4．（2022秋?泰山區(qū)期末）《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問(wèn)折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，再利用勾股定理列出方程即可．

解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則AB＝10﹣x，BC＝6，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+62＝（10﹣x）2．故答案為：x2+62＝（10﹣x）2．總結(jié)提升：本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．類型二勾股定理之小鳥飛行距離問(wèn)題5．（2022秋?綠園區(qū)校級(jí)期末）如圖，有兩棵樹，一棵高8m，另一棵高2m，兩樹相距8m，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛行（）A．6m B．8m C．10m D．18m思路引領(lǐng)：根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹尖進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．解：兩棵樹的高度差為8﹣2＝6（m），間距為8米，根據(jù)勾股定理可得：小鳥至少飛行的距離=82+故選：C．總結(jié)提升：本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．6．（2022秋?運(yùn)城期末）如圖，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一機(jī)器人在點(diǎn)B處看見一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點(diǎn)O，機(jī)器人立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球．如果小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，那么機(jī)器人行走的路程BC是多少？

思路引領(lǐng)：由題意可知，若設(shè)BC＝xcm，則AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，這樣在Rt△BOC中，利用勾股定理就可建立一個(gè)關(guān)于“x”的方程，解方程即可求得結(jié)果．解：小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，即BC＝CA，設(shè)BC＝xcm，則AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，∵∠AOB＝90°，∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm，∴62+（18﹣x）2＝x2，解方程得出x＝10（cm）．答：機(jī)器人行走的路程BC是10cm．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是，抓住“機(jī)器人與小球同時(shí)出發(fā)，速度相等”這兩個(gè)條件，得到BC＝AC，從而將已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程來(lái)求解．類型三求河寬7．（2022秋?泰興市期末）如圖，某渡船從點(diǎn)B處沿著與河岸垂直的路線AB橫渡，由于受水流的影響，實(shí)際沿著BC航行，上岸地點(diǎn)C與欲到達(dá)地點(diǎn)A相距70米，結(jié)果發(fā)現(xiàn)BC比河寬AB多10米，求該河的寬度AB．（兩岸可近似看作平行）思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可知△ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊BC的距離．解：設(shè)AB＝x米，則BC＝（x+10）米，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：m2+702＝（m+10）2，解得m＝240，答：河寬240米．總結(jié)提升：本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．類型四求旗桿高度

8．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，小剛想知道學(xué)校的旗桿有多高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了0.8m，當(dāng)他把繩子下端拉開4m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，小剛算了算就知道了旗桿的高度．你知道他是怎樣算出來(lái)的嗎？思路引領(lǐng)：設(shè)旗桿高為xm，那么繩長(zhǎng)為（x+0.8）m，由勾股定理得x2+42＝（x+0.8）2，解方程即可；解：設(shè)旗桿高為xm，那么繩長(zhǎng)為（x+0.8）m，由勾股定理得x2+42＝（x+0.8）2，解得x＝9.6．答：旗桿的高度為9.6m．總結(jié)提升：本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．9．（2022春?平陰縣期末）如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端9米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約3米，則可算出旗桿的高度是（）米．A．9 B．11 C．12 D．15思路引領(lǐng)：設(shè)旗桿的高度為x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：設(shè)旗桿的高度為x米，依題意得：x2+92＝（x+3）2，解得：x＝12；故選：C．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，從題意中勾畫出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．類型五勾股定理之梯子滑動(dòng)問(wèn)題

10．（2022秋?煙臺(tái)期末）一架長(zhǎng)5m的梯子斜靠在墻上，梯子底端到墻的距離為3m．若梯子頂端下滑1m，那么梯子底端在水平方向上滑動(dòng)了（）A．1m B．小于1m C．大于1m D．無(wú)法確定思路引領(lǐng)：已知AB，BC，在直角△ABC中即可計(jì)算AC，梯子底端水平向外滑動(dòng)1m，即AC1＝4米，A1B1＝AB＝5米，在直角△CA1B1中，根據(jù)勾股定理即可計(jì)算CB1，底端滑動(dòng)的距離為CB1﹣CB．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5米，BC＝3米，由勾股定理得AC＝4米，△A1BC1中，∠C＝90°，A1B1＝5米，A1C＝3米，由勾股定理得B1C＝4米，∴BB1＝B1C﹣BC＝1（米）．∴梯子底端在水平方向上滑動(dòng)了1m，故選：A．總結(jié)提升：本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理解答．11．（2022秋?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7m，梯子頂端到地面的距離AC為2.4m．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為1.5m，則小巷的寬為（）A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m思路引領(lǐng)：在Rt△ABC中，由勾股定理計(jì)算出AB的長(zhǎng)，再在Rt△A′BD中由勾股定理計(jì)算出BD長(zhǎng)，然后可得CD的長(zhǎng)．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2∴A′B＝AB＝2.5米，

在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD=A′B2∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），即小巷的寬為2.7米，故選：D．總結(jié)提升：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?蒲城縣期末）某地一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊(duì)員決定用消防車上的云梯救人如圖（1）．如圖（2），已知云梯最多只能伸長(zhǎng)到15m（即AB＝CD＝15m），消防車高3m，救人時(shí)云梯伸長(zhǎng)至最長(zhǎng)，在完成從12m（即BE＝12m）高的B處救人后，還要從15m（即DE＝15m）高的D處救人，這時(shí)消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為多少米？（延長(zhǎng)AC交DE于點(diǎn)O，AO⊥DE，點(diǎn)B在DE上，OE的長(zhǎng)即為消防車的高3m）．思路引領(lǐng)：在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理得到AO和OC，于是得到結(jié)論．解：在Rt△ABO中，∵AB＝15m，OB＝12﹣3＝9（m），∴AO=AB2在Rt△COD中，∵∠COD＝90°，CD＝15m，OD＝15﹣3＝12（m），∴OC=CD2∴AC＝OA﹣OC＝3（m），答：AC為3m．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?臨汾期末）如圖，某火車站內(nèi)部墻面MN上有破損處（看作點(diǎn)A），現(xiàn)維修師傅需借助梯子DE完成維修工作．梯子的長(zhǎng)度為5m，將其斜靠在這面墻上，測(cè)得梯子底部E離墻角N處3m，維修師傅爬到梯子頂部使用儀器測(cè)量，此時(shí)梯子頂部D距離墻面破損處lm．（1）該火車站墻面破損處A距離地面有多高？

（2）如果維修師傅要使梯子頂部到地面的距離為4.8m，那么梯子底部需要向墻角方向移動(dòng)多少米？F思路引領(lǐng)：（1）由勾股定理求出DN＝4m，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出梯子底部與墻角的距離，即可得出結(jié)論．解：（1）由題意得：AD＝1m，∠DNE＝90°，DE＝5m，NE＝3m，∴DN=DE2∴AN＝AD+DN＝1+4＝5（m），答：該火車站墻面破損處A距離地面有5m高；（2）梯子頂部到地面的距離為4.8m時(shí)，梯子底部與墻角的距離為：52?(24則梯子底部需要向墻角方向移動(dòng)的距離為：3﹣1.4＝1.6（m），答：梯子底部需要向墻角方向移動(dòng)1.6m．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．類型六解決水杯中筷子的問(wèn)題14．（2022秋?張店區(qū)校級(jí)期末）如圖是一圓柱玻璃杯，從內(nèi)部測(cè)得底面半徑為6cm，高為16cm，現(xiàn)有一根長(zhǎng)為25cm的吸管任意放入杯中，則吸管露在杯口外的長(zhǎng)度最少是（）A．6cm B．5cm C．9cm D．（25﹣273）cm思路引領(lǐng)：吸管露出杯口外的長(zhǎng)度最少，即在杯內(nèi)最長(zhǎng)，可用勾股定理解答．解：∵底面半徑為半徑為6cm，高為16cm，∴吸管露在杯口外的長(zhǎng)度最少為：25?1故選：B．總結(jié)提升：本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．

15．（2022春?舒城縣校級(jí)月考）如圖，小明有一個(gè)圓柱形飲水杯．底面半徑是6cm，高是16cm，上底面貼著杯壁有一個(gè)小圓孔，則一條長(zhǎng)24cm的直吸管露在杯外部分a的長(zhǎng)度（杯壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（）A．8≤a≤10 B．4≤a≤8 C．4≤a≤273 D．4≤a≤10思路引領(lǐng)：先畫出圖形，即△ABC，∠ABC＝90°，則AB＝2×6＝12cm，BC＝16cm，根據(jù)勾股定理求得AC＝20cm，當(dāng)直吸管按AC位置放置時(shí)，露在杯外部分a最短，當(dāng)直吸管按BC位置放置時(shí)，露在杯外部分a最長(zhǎng)，于是有16≤24﹣a≤20，解不等式求出不等式的解集即可．解：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝16cm，∵圓柱形飲水杯的底面半徑是6cm，∴AB＝2×6＝12（cm），∴AC=AB2∵16≤24﹣a≤20，∴4≤a≤8，∴直吸管露在杯外部分a的長(zhǎng)度范圍是4≤a≤8，故選：B．

總結(jié)提升：此題重點(diǎn)考查勾股定理的應(yīng)用、圓柱的底面直徑、高等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長(zhǎng)為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度不可能的是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm思路引領(lǐng)：首先根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理計(jì)算出AC的長(zhǎng)度．然后求其差．解：根據(jù)題意可得圖形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC=AB2所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度在3cm～6cm之間．觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)A符合題意．故選：A．總結(jié)提升：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出筆筒內(nèi)鉛筆的最短長(zhǎng)度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．（2022春?綿陽(yáng)期末）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，長(zhǎng)為10cm的細(xì)直木棒IJ恰好從小孔G處插入，木棒的一端I與底面ABCD接觸，當(dāng)木棒的端點(diǎn)Ⅰ在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)及邊界運(yùn)動(dòng)時(shí)，GJ長(zhǎng)度的最小值為（）

A．（10﹣52）cm B．3cm C．（10﹣42）cm D．5cm思路引領(lǐng)：當(dāng)GI最大時(shí)，GJ最小，當(dāng)I運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，GI最大，根據(jù)勾股定理求解即可．解：當(dāng)GI最大時(shí)，GJ最小，當(dāng)I運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，GI最大，此時(shí)GI=A而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI=25+52∴GJ長(zhǎng)度的最小值為（10﹣52）cm．故選：A．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出GI的最大值是解題的關(guān)鍵．類型七判斷受某某因素影響的范圍18．（2022秋?內(nèi)江期末）為加強(qiáng)疫情防控，云南某中學(xué)在校門口區(qū)域進(jìn)行入校體溫檢測(cè)．如圖，入校學(xué)生要求沿著直線AB單向單排通過(guò)校門口，測(cè)溫儀C與直線AB的距離為3m，已知測(cè)溫儀的有效測(cè)溫距離為5m，則學(xué)生沿直線AB行走時(shí)測(cè)溫的區(qū)域長(zhǎng)度為（）A．4m B．5m C．6m D．8m思路引領(lǐng)：連接AC、BC，推理出AC＝BC＝5，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，易知CF＝3，然后在分別求出AF、CF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AB的長(zhǎng)．解：連接AC、BC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于F，因?yàn)闇y(cè)溫儀的有效測(cè)溫距離為5m，所以AC＝BC＝5m，又測(cè)溫儀C與直線AB的距離為3m，在Rt△ACF中，據(jù)勾股定理得：AF=AC2同理得BF＝4m，所以AB＝8m，即學(xué)生沿直線AB行走時(shí)測(cè)溫的區(qū)域長(zhǎng)度為8m．故選：D．

總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．19．（2022春?寧津縣期末）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方A處裝著一個(gè)感應(yīng)器，離地面的高度AB為2.5米，一名學(xué)生站在C處時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開了，此時(shí)這名學(xué)生離感應(yīng)門的距離BC為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離AD為1.5米，則這名學(xué)生身高CD為（）米．A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，則CD＝BE，DE＝BC＝1.2米，由勾股定理得出AE＝0.9（米），則BE＝AB﹣AE＝1.6（米），即可得出答案．解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，如圖所示：則CD＝BE，DE＝BC＝1.2米=6在Rt△ADE中，AD＝1.5米=3由勾股定理得：AE=A∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），∴CD＝BE＝1.6米，故選：D．

總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．20．（2022春?南平期末）為預(yù)防新冠疫情，學(xué)校大門入口的正上方A處裝有紅外線激光測(cè)溫儀（如圖所示），測(cè)溫儀離地面的距離AB＝2.3米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)自動(dòng)測(cè)溫并報(bào)告人體體溫．當(dāng)身高為1.7米的學(xué)生CD正對(duì)門緩慢走到離門0.8米處時(shí)（即BC＝0.8米），測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體溫，此時(shí)人頭頂?shù)綔y(cè)溫儀的距離AD等于（）A．1.0米 B．1.25米 C．1.2米 D．1.5米思路引領(lǐng)：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，構(gòu)造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的長(zhǎng)度即可．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AB＝2.3米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝0.8米，∴AE＝AB﹣BE＝2.3﹣1.7＝0.6（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=A故選：A．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線段AD的長(zhǎng)度．21．（2022春?沂水縣期中）如圖，某超市為了吸引顧客，在超市門口離地高4.5m的墻上，裝有一個(gè)由傳感器控制的門鈴A，如①圖所示，人只要移至該門口4m及4m以內(nèi)時(shí)，門鈴就會(huì)自動(dòng)發(fā)出語(yǔ)音“歡迎光臨”，如②圖所示，一個(gè)身高1.5m的學(xué)生走到D處，門鈴恰好自動(dòng)響起，則該生頭頂C到門鈴A的距離為（）

A．3米 B．4米 C．5米 D．6米思路引領(lǐng)：根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．解：由題意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，CE＝4m，由勾股定理得AC=AE2故離門5米遠(yuǎn)的地方，門鈴恰好自動(dòng)響起．故選：C．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．22．（2022秋?張店區(qū)校級(jí)期末）某市創(chuàng)建文明城市，采用移動(dòng)宣講的形式進(jìn)行宣傳動(dòng)員，如圖，筆直公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一學(xué)校，學(xué)校A到公路MN的距離AB＝480米，若宣講車P周圍800米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車P在公路MN上延M到N的方向行駛時(shí)．（1）請(qǐng)問(wèn)學(xué)校A能否聽到宣傳，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是256米/分，求學(xué)校A總共能聽到多長(zhǎng)時(shí)間的宣傳．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)學(xué)校A到公路MN的距離為480米＜800，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理得到BP＝BQ=10002解：（1）學(xué)校能聽到宣傳，理由：∵學(xué)校A到公路MN的距離為480米＜800米，∴學(xué)校能聽到宣傳；（2）如圖：假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點(diǎn)開始影響學(xué)校，行駛Q點(diǎn)結(jié)束對(duì)學(xué)校的影響，則AP＝AQ＝800米，AB＝480米，

∴BP＝BQ=80∴PQ＝1280米，∴影響學(xué)校的時(shí)間為：1280÷256＝5（分鐘），∴學(xué)校A總共能聽到5分鐘的宣傳．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時(shí)結(jié)合生活實(shí)際，便于更好的理解題意．23．（2022秋?開江縣校級(jí)期末）如圖，有一臺(tái)環(huán)衛(wèi)車沿公路AB由點(diǎn)A向點(diǎn)B行駛，已知點(diǎn)C為一所學(xué)校，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，環(huán)衛(wèi)車周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響嗎？為什么？（2）若環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為每分鐘50米，環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有多少分鐘？思路引領(lǐng)：（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出學(xué)校C是否會(huì)受噪聲影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間．解：（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD=150×200250=

∵環(huán)衛(wèi)車周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域，∴學(xué)校C會(huì)受噪聲影響．（2）當(dāng)EC＝130m，F(xiàn)C＝130m時(shí)，正好影響C學(xué)校，∵ED=EC2∴EF＝100（m），∵環(huán)衛(wèi)車的行駛速度為每分鐘50米，∴100÷50＝2（分鐘），即環(huán)衛(wèi)車噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有2分鐘．總結(jié)提升：本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．類型八求臺(tái)階上地毯的長(zhǎng)度24．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在高為3米，斜坡長(zhǎng)為5米的樓梯臺(tái)階上鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米思路引領(lǐng)：先求出AC的長(zhǎng)，利用平移的知識(shí)可得出地毯的長(zhǎng)度．解：在Rt△ABC中，AC=A故可得地毯長(zhǎng)度＝AC+BC＝7米，

故選：C．總結(jié)提升：此題考查了勾股定理的應(yīng)用及平移的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵．25．（2022秋?豐城市校級(jí)期末）某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高5m、長(zhǎng)13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米20元，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要元．思路引領(lǐng)：地毯的長(zhǎng)是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即AB與BC的和，在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)，地毯的長(zhǎng)與寬的積就是面積，再乘地毯每平方米的單價(jià)即可求解．解：由勾股定理得AB=AC2則地毯總長(zhǎng)為12+5＝17（m），則地毯的總面積為17×2＝34（平方米），所以鋪完這個(gè)樓道至少需要34×20＝680（元）．故答案為：680．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解地毯的長(zhǎng)度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．類型九判斷汽車是否超速26．（2022秋?渾南區(qū)月考）“某市道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過(guò)60千米/時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對(duì)車速檢測(cè)儀A正前方24米的C處，過(guò)了1.5秒后到達(dá)B處（BC⊥AC），測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離AB為40米，判斷這輛小汽車是否超速？若超速，則超速了多少？若沒(méi)有超速，說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：根據(jù)勾股定理得出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出小汽車1小時(shí)行駛76.8千米，進(jìn)而得出答案．

解：小汽車已超速，理由如下：根據(jù)題意得：AC＝24米，AB＝40米，∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理得：BC=A∵小汽車1.5秒行駛32米，∴小汽車行駛速度為76.8千米/時(shí)，∵76.8＞60，∴小汽車已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/時(shí)）．總結(jié)提升：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理得出BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．27．（2021秋?南海區(qū)月考）“交通管理?xiàng)l例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過(guò)70千米/小時(shí)，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀正方50米處，過(guò)了6秒后，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀距離130米．（1）求小汽車6秒走的路程；（2）求小汽車每小時(shí)所走的路程，并判定小汽車是否超速？思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，可得AD＝50米，設(shè)汽車經(jīng)過(guò)6秒后到達(dá)點(diǎn)E，連接AE，則有AE＝130米，利用勾股定理可求得DE的長(zhǎng)，即小汽車6秒所走的路程；（2）利用速度＝路程÷時(shí)間，即可判斷．解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，設(shè)汽車經(jīng)過(guò)6秒后到達(dá)點(diǎn)E，連接AE，如圖所示：由題意可得：AD＝50米，AE＝130米，在Rt△ADE中，DE==13

＝120（米），答：小汽車6秒走的路程為120米；（2）小汽車6秒中的平均速度為：120÷6＝20（米/秒）＝72（千米/小時(shí)），∵72＞70，∴小汽車超速了．總結(jié)提升：本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，作出相應(yīng)的圖形．類型十根據(jù)條件選址問(wèn)題28．（2022秋?佛山校級(jí)期末）鐵路上A，B兩站（視為直線上的兩點(diǎn)）相距25km，C，D為兩村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B（如圖），已知DA＝10km，CB＝15km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站E，使得C，D兩村莊到收購(gòu)站E的直線距離相等，請(qǐng)求出收購(gòu)站E到A站的距離．思路引領(lǐng)：由勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，設(shè)AE為xkm，則BE＝（25﹣x）km，將BC＝10代入關(guān)系式即可求得．解：∵C、D兩村到E站距離相等，∴CE＝DE，在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，∴AD2+AE2＝BE2+BC2．設(shè)AE為xkm，則BE＝（25﹣x）km，將BC＝10，DA＝15代入關(guān)系式為x2+102＝（25﹣x）2+152，解得x＝15，∴E站應(yīng)建在距A站15km處．總結(jié)提升：此題考查勾股定理的應(yīng)用，基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．類型十一勾股定理之航海問(wèn)題29．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，中俄“海上聯(lián)合﹣2017”軍事演習(xí)在海上編隊(duì)演習(xí)中，兩艘航母護(hù)衛(wèi)艦從同一港口O

同時(shí)出發(fā)，一號(hào)艦沿南偏西30°方向以12海里/小時(shí)的速度航行，二號(hào)艦以16海里/小時(shí)速度航行，離開港口1.5小時(shí)后它們分別到達(dá)A，B兩點(diǎn)，相距30海里，則二號(hào)艦航行的方向是（）A．南偏東30° B．北偏東30° C．南偏東60° D．南偏西60°思路引領(lǐng)：直接利用已知得出AO，BO，AB的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理得出∠BOA的度數(shù)，進(jìn)而得出答案．解：由題意可得：BO＝16×1.5＝24（海里），AO＝12×1.5＝18（海里），AB＝30海里，則此時(shí)：AO2+BO2＝AB2，故△AOB是直角三角形，則∠BOA＝90°，∵∠AOD＝30°，∴∠DOB＝60°，∴2號(hào)艦的航行方向是：南偏東60°．故選：C．總結(jié)提升：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及方向角，正確得出△AOB是直角三角形是解題關(guān)鍵．30．（2022秋?金臺(tái)區(qū)月考）如圖所示，甲漁船以8海里/時(shí)的速度離開港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時(shí)的速度離開港口O向西北方向航行，他們同時(shí)出發(fā)，一個(gè)小時(shí)后，甲、乙兩漁船相距（）海里．A．8 B．10 C．12 D．13思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可知∠AOB＝90°，然后求出出發(fā)一個(gè)小時(shí)后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6（海里），最后根據(jù)勾股定理求解即可．

解：∵甲漁船離開港口O向東北方向航行，乙漁船離開港口O向西北方向航行，∴∠AOB＝90°，∴出發(fā)一個(gè)小時(shí)后，OA＝8×1＝8（海里），OB＝6×1＝6（海里），∴AB=O故選：B．總結(jié)提升：此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．31．（2022秋?伊川縣期末）如圖，甲乙兩船同時(shí)從A港出發(fā)，甲船沿北偏東35°的方向，以每小時(shí)12海里的速度向B島駛?cè)ィ掖啬掀珫|55°的方向向C島駛?cè)ィ?小時(shí)后，兩船同時(shí)到達(dá)了目的地．若C、B兩島的距離為30海里，問(wèn)乙船的航速是多少？思路引領(lǐng)：首先求得線段AB的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得線段AC的長(zhǎng)，然后除以時(shí)間即可得到乙船的速度．解：根據(jù)題意得：AB＝12×2＝24，BC＝30，∠BAC＝90°．…（1分）∴AC2+AB2＝BC2．∴AC2＝BC2﹣AB2＝302﹣242＝324∴AC＝18．…（4分）∴乙船的航速是：18÷2＝9海里/時(shí)．…（6分）總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的知識(shí)及方向角的內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是正確的整理出直角三角形求解．32．（2022秋?青島期末）如圖，甲、乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)的速度向北偏東42°方向航行，乙船向南偏東48°方向航行，0.5小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若C，B兩島相距17海里，問(wèn)乙船的航速是多少？

思路引領(lǐng)：先根據(jù)方位角求出∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，然后根據(jù)勾股定理求出AB=B解：根據(jù)題意可知：∠BAC＝180°﹣42°﹣48°＝90°，AC＝16×0.5＝8（海里），在Rt△ABC中AB=B乙船的航速是：150.5答：乙船的航速是30海里/時(shí)．總結(jié)提升：本題主要考查了方位角，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度．類型十二求最短路徑33．（2021秋?武山縣期末）如圖所示，有三條道路圍成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一個(gè)人從B處出發(fā)沿著BC行走了700m，到達(dá)D處，AD恰為∠CAB的平分線，則此時(shí)這個(gè)人到AB的最短距離為（）A．1000m B．700m C．300m D．1700m思路引領(lǐng)：根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DC＝D點(diǎn)到AB的距離，進(jìn)而解答即可．解：∵AD恰為∠CAB的平分線，DC⊥AC，∴DC＝D點(diǎn)到AB的距離，∵BC＝1000m，BD＝700m，∴DC＝300m，∴D點(diǎn)到AB的最短距離＝300m，故選：C．總結(jié)提升：本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．34．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A，H，B在一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．

（1）問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路線（即CH與AB是否垂直）？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．（2）求原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（4.8）2+（3.6）2＝36，BC2＝36，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是從村莊C到河邊的最近路；（2）設(shè)AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3.6，CH＝6，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣3.6）2+62，解這個(gè)方程，得x＝6.8，答：原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為6.8米．總結(jié)提升：此題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理和定理解答．35．（2022秋?榆樹市期末）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，已知點(diǎn)C與公路上的?？空続的距離為15km，與公路上另一停靠站B的距離為20km，停靠站A、B之間的距離為25km，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的長(zhǎng)；（2）若公路CD修通后，一輛貨車從C處經(jīng)過(guò)D點(diǎn)到B處的路程是多少？

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可求∠ACB＝90°，再根據(jù)三角形面積公式即可求解；（2）先根據(jù)勾股定理求出BD，進(jìn)一步求得一輛貨車從C處經(jīng)過(guò)D點(diǎn)到B處的路程．解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，152+202＝252，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∴CD=12AC×BC÷12故修建的公路CD的長(zhǎng)是12km；（2）在Rt△BDC中，BD=BC2一輛貨車從C處經(jīng)過(guò)D點(diǎn)到B處的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）．故一輛貨車從C處經(jīng)過(guò)D點(diǎn)到B處的路程是28km．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，以便利用勾股定理．類型十三勾股定理之小船移動(dòng)問(wèn)題36．（2022秋?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期末）如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船．河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動(dòng)到E，同時(shí)小船從A移動(dòng)到B，且繩長(zhǎng)始終保持不變．回答下列問(wèn)題：（1）根據(jù)題意可知：ACBC+CE（填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若CF＝5米，AF＝12米，AB＝8米，求小男孩需向右移動(dòng)的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）思路引領(lǐng)：（1）由繩長(zhǎng)始終保持不變即可求解；（2）由勾股定理求出AC、BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)CE＝AC﹣BC即可求解．解：（1）∵AC的長(zhǎng)度是男孩未拽之前的繩子長(zhǎng)，（BC+CE）的長(zhǎng)度是男孩拽之后的繩子長(zhǎng)，繩長(zhǎng)始終保持不變，∴AC＝BC+CE，

故答案為：＝；（2）連接AB，則點(diǎn)A、B、F三點(diǎn)共線，在Rt△CAF中，AC=A∵BF＝AF﹣AB＝12﹣8＝4（米），在Rt△CBF中，BC=C∵AC＝BC+CE，∴CE=AC?BC=(13?41∴男孩需向右移動(dòng)的距離為(13?41總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出AC、BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．37．（2022秋?平昌縣期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為17米，幾分鐘后船到達(dá)點(diǎn)D的位置，此時(shí)繩子CD的長(zhǎng)為10米，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了米．思路引領(lǐng)：在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算出AB長(zhǎng)，再根據(jù)題意可得CD長(zhǎng)，然后再次利用勾股定理計(jì)算出AD長(zhǎng)，再利用BD＝AB﹣AD可得BD長(zhǎng)．解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB=B∵CD＝10（米），∴AD=C∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸邊移動(dòng)了9米，故答案為：9．

總結(jié)提升：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．38．（2022秋?新華區(qū)校級(jí)期末）如圖是一個(gè)滑梯示意圖，若將滑梯BD水平放置，則剛好與DE一樣長(zhǎng)，已知滑梯的高度CE為4米，BC為1米．（1）求滑道BD的長(zhǎng)度；（2）若把滑梯BD改成滑梯BF，使∠BFA＝60°，則求出DF的長(zhǎng)．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：3≈思路引領(lǐng)：（1）由題意可得：△ABD是直角三角形，∠BAD＝90°，且BD＝DE，設(shè)滑道BD的長(zhǎng)度為x米，則DE＝x米，AD＝DE﹣AE＝（x﹣1）米，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）設(shè)AF＝a米，則BF＝2a米，由勾股定理得AB=3a（米），則3a＝﹣4，解得a=解：（1）由題意可得：△ABD是直角三角形，∠BAD＝90°，且BD＝DE，∵BC＝1，CE＝4，∴AE＝1，AB＝4，設(shè)滑道BD的長(zhǎng)度為x米，則DE＝x米，AD＝DE﹣AE＝（x﹣1）米，在Rt△ABD中，由勾股定理得：42+（x﹣1）2＝x2，解得：x=17答：滑道BD的長(zhǎng)度為172（2）∵∠BFA＝60°，∴∠ABF＝90°﹣∠BFA＝30°，∴BF＝2AF，設(shè)AF＝a米，則BF＝2a米，∴AB=B∴3a=4

解得：a=4∴AF=4由（1）可知，AD=17∴DF=AD?AF=15答：DF的長(zhǎng)約為5.2米．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．類型十四勾股定理之蕩秋千問(wèn)題39．（2022秋?高新區(qū)校級(jí)期末）如圖是高空秋千的示意圖，小明從起始位置點(diǎn)A處繞著點(diǎn)O經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)B．最終蕩到最高點(diǎn)C處，若∠AOC＝90°，點(diǎn)A與點(diǎn)B的高度差A(yù)D＝1米，水平距離BD＝4米，則點(diǎn)C與點(diǎn)B的高度差CE為（）米．A．4 B．4.5 C．5 D．5.5思路引領(lǐng)：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根據(jù)AAS可證△AOF≌△OCG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根據(jù)勾股定理可求AO，可求OB，再根據(jù)線段的和差關(guān)系和等量關(guān)系可求點(diǎn)C與點(diǎn)B的高度差CE．解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，∴∠COG＝∠OAF，在△AOF與△OCG中，∠AFO=∠OGC∠OAF=∠COG

∴△AOF≌△OCG（AAS），∴OG＝AF＝BD＝4米，設(shè)AO＝x米，在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，解得x＝8.5．則CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．故選：B．總結(jié)提升：考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．40．（2022秋?市北區(qū)校級(jí)期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地0.5米，將它往前推3米時(shí)，踏板離地1.5米，此時(shí)秋千的繩索是拉直的，則秋千的長(zhǎng)度是（）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米思路引領(lǐng)：設(shè)OA＝OB＝x米，用x表示出OC的長(zhǎng)，在直角三角形OCB中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．解：設(shè)OA＝OB＝x米，∵BC＝DE＝3米，DC＝1.5米，∴CA＝DC﹣AD＝1.5﹣0.5＝1（米），OC＝OA﹣AC＝（x﹣1）米，在Rt△OCB中，OC＝（x﹣1）米，OB＝x米，BC＝3米，

根據(jù)勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+32，解得：x＝5，則秋千的長(zhǎng)度是5米．故選：C．總結(jié)提升：此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．41．（2022秋?臥龍區(qū)校級(jí)期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度BE＝1m，將它往前推6m至C處時(shí)（即水平距離CD＝6m），踏板離地的垂直高度CF＝4m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長(zhǎng)是（）m．A．212 B．152 C．6 思路引領(lǐng)：設(shè)繩長(zhǎng)為xm，再根據(jù)直角三角的勾股定理列方程，解方程即可．解：設(shè)繩長(zhǎng)為x米，在Rt△ADC中，AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，DC＝6m，AC＝x米，∴AB2+DC2＝AC2，根據(jù)題意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，解得：x=15∴繩索AC的長(zhǎng)是152故選：B．總結(jié)提升：

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握勾股定理，運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題．類型十五求圖形面積問(wèn)題42．△ABC是某市在拆除違章建筑后的一塊三角形空地．如果∠C＝90°，AC＝300米，AB＝500米，如果要在這塊空地上種植草皮，按每平方米草皮a元計(jì)算，那么共需要資金（）A．5000a元 B．60000a元 C．120000a元 D．150000a元思路引領(lǐng)：由勾股定理求出BC＝400米，再求出△ABC的面積，從而得出答案．解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝300米，AB＝500米，∴BC=A∴S△ABC=12AC?BC∴共需要資金為60000a元．故選：B．總結(jié)提升：此題考查了勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積的計(jì)算，由勾股定理求出BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．43．（2021秋?岱岳區(qū)期末）“綠水青山，就是金山銀山”，黨的十八大以來(lái)，生態(tài)文明建設(shè)，可持續(xù)發(fā)展理念深入人心，我們泰安的城市綠化率持續(xù)增加．△ABC是某小區(qū)一塊三角形空地，已知∠A＝150°，AB＝30m，AC＝20m，如果在這塊空地上種草皮，每平方米草皮費(fèi)用按120元計(jì)算，則這塊空地種植草皮需要資金（）元．A．36000 B．24000 C．18000 D．12000思路引領(lǐng)：先作△ABC的高BD，求出∠BAD＝30°，再得出BD=12AB，再根據(jù)S△ABC=12?解：作△ABC的高BD，∵∠BAC＝150°，

∴∠BAD＝30°，∴BD=12AB=1∴S△ABC=12?AC?BD=12∵這種草皮每平方米120元，∴購(gòu)買這種草皮至少要150×120＝18000（元），故選：C．總結(jié)提升：此題考查了含30度角的直角三角形，關(guān)鍵是作出輔助線，求出三角形的高和面積，熟練掌握30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．44．（2022秋?青島期末）如圖，已知一塊四邊形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝10m，CD＝5m，則這塊土地的面積為．思路引領(lǐng)：分別延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，證△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，然后求出△ABE和△CDE的面積即可求解．解：如圖，分別延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E．∵∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，∴∠DCE＝∠DEB＝∠A＝45°，∴AB＝BE，CD＝DE，∵AB＝10m，CD＝5m，∴BE＝10m，DE＝5m，

∵S△ABE=12AB?BE=12×10×10＝50（m2），S△CDE=12CD∴四邊形ABCD的面積＝S△ABE﹣S△CDE＝50﹣12.5＝37.5（m2）即這塊土的面積為37.5m2．故答案為：37.5m2．總結(jié)提升：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：通過(guò)作輔助線，構(gòu)造新的直角三角形，利用四邊形ABCD的面積＝S△ABE﹣S△CED來(lái)求解．45．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖有一塊四邊形的空地ABCD，其中∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．求出空地ABCD的面積．思路引領(lǐng)：連接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的長(zhǎng)，由AC、AB、BC的長(zhǎng)度關(guān)系可得三角形ABC為一直角三角形，AB為斜邊；由此看，四邊形ABCD的面積等于Rt△ABC面積減Rt△ACD的面積解答即可．解：連接AC，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52，在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122，而52+122＝132，即AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD=12AC?BC?1=12×5×12?1總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，通過(guò)勾股定理由邊與邊的關(guān)系也可證明直角三角形，這樣解題較為簡(jiǎn)單．

46．（2022秋?沙坪壩區(qū)期末）為弘揚(yáng)勞動(dòng)精神，讓同學(xué)們?cè)趯?shí)踐中體驗(yàn)勞動(dòng)、認(rèn)識(shí)勞動(dòng)，從而培養(yǎng)尊重勞動(dòng)、熱愛勞動(dòng)、尊重勞動(dòng)人民的品質(zhì)，學(xué)校準(zhǔn)備在校園的一角開墾一塊如圖所示的四邊形土地ABCD．經(jīng)測(cè)量，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，DA＝12m，請(qǐng)計(jì)算該四邊形土地的面積．思路引領(lǐng)：連接AC，先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后利用勾股定理的逆定理證明△ACD為直角三角形，從而用求和的方法求面積．解：連接AC，由勾股定理得：AC=32+∵AC2+DA2＝25+144，CD2＝169，∴AC2+AD2＝CD2，∴∠CAD＝90°，四邊形土地的面積＝SRt△ABC+SRt△ACD=12AB?BC+12AC?DA=故該四邊形土地的面積為36m2．總結(jié)提升：此題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用、三角形的面積公式，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出圖形的總面積．47．（2022春?長(zhǎng)清區(qū)期末）如圖，“趙爽弦圖”是吳國(guó)的趙爽創(chuàng)制的．以直角三角形的斜邊為邊長(zhǎng)得到一個(gè)正方形，該正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成，在一次游園活動(dòng)中，數(shù)學(xué)小組制作了一面“趙爽弦圖鑼”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，則陰影部分的面積是（）

A．169cm2 B．25cm2 C．49cm2 D．64cm2思路引領(lǐng)：在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)4個(gè)直角三角形是全等的，得到AH＝BE＝5，從而得到小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出面積．解：在Rt△ABE中，AE=AB2∵4個(gè)直角三角形是全等的，∴AH＝BE＝5cm，∴小正方形的邊長(zhǎng)＝AE﹣AH＝12﹣5＝7cm，∴陰影部分的面積＝72＝49（cm2），故選：C．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．類型十六求水池深度問(wèn)題48．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，水池中離岸邊D點(diǎn)4米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是2米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，則水池的深度AC為多少米．思路引領(lǐng)：首先設(shè)水池的深度為x米，則竹竿長(zhǎng)為（x+2）米，然后再利用勾股定理可得方程x2+42＝（x+2）2，再解即可．解：設(shè)水池的深度為x米，由題意得：x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3．

答：水池的深度為3米．總結(jié)提升：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法．49．（2022春?襄州區(qū)期末）如圖，一個(gè)直徑為10cm的杯子，在它的正中間豎直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，當(dāng)筷子倒向杯壁時(shí)（筷子底端不動(dòng)），筷子頂端剛好觸到杯口，筷子長(zhǎng)度為（）A．10 B．12 C．13 D．14思路引領(lǐng)：設(shè)杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，因?yàn)橹睆綖?0cm的杯子，可根據(jù)勾股定理列方程求解．解：設(shè)杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，∵杯子的直徑為10cm，∴杯子半徑為5cm，∴x2+52＝（x+1）2，解得x＝12，12+1＝13（cm）．答：筷子長(zhǎng)13cm．故選：C．總結(jié)提升：本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是看到構(gòu)成的直角三角形，以及各邊的長(zhǎng)．類型十七尋寶問(wèn)題50．（2022秋?渠縣校級(jí)期末）暑假中，小明到某海島探寶，如圖，他到達(dá)海島登陸點(diǎn)后先往東走8km，又往北走2km，遇到障礙后又往西走3km，再折向北走6km處往東一拐，僅1km就找到寶藏，問(wèn)登陸點(diǎn)到埋寶藏點(diǎn)的直線距離是多少？

思路引領(lǐng)：通過(guò)行走的方向和距離得出對(duì)應(yīng)的線段的長(zhǎng)度，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解．解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，根據(jù)題