17.1 勾股定理 課件 2023-2024學年人教版數(shù)學八年級下冊

人教版數(shù)學八年級下冊第十七章勾股定理17.1勾股定理第1課時勾股定理導入新課有一個角為90°的三角形,叫做直角三角形直角三角形的概念你知道在古代，人們?nèi)绾畏Q呼直角三角形的三邊嗎？勾股弦

勾、股、弦之間有什么關(guān)系呢？探究新知我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形磚鋪成的地面（如圖）：你從圖片中發(fā)現(xiàn)了什么？觀察(1)三個正方形的面積有什么關(guān)系？兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積思考SS1S2等腰直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.S=S1+S2，abc(2)圖中正方形s1、s2、s所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系？s1s2s即c2=a2+b2.探究在網(wǎng)格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A、B、C

是否也有類似的面積關(guān)系？觀察下邊兩幅圖(每個小正方形的面積為單位1)：這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？方法1：補形法(把以斜邊為邊長的正方形補成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形）：左圖：右圖：方法2：分割法(把以斜邊為邊長的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：左圖：右圖：你還有其他辦法求C的面積嗎？根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：

A的面積B的面積C的面積左圖右圖413259169思考正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？知識歸納命題1如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.由上面的幾個例子，我們猜想：abc思考你能用不同的方式證明命題1嗎？abbcabca證法1

讓我們跟著我國漢代數(shù)學家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.abc∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，趙爽弦圖b-a∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,證明：“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學的驕傲.因此，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會的會徽.證法2畢達哥拉斯證法，請先用手中的四個全等的直角三角形按圖示進行拼圖，然后分析其面積關(guān)系后證明吧.aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,aabbcc∴a2+b2=c2.證法3美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.在我國又稱商高定理，在外國則叫畢達哥拉斯定理，或百牛定理.

如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.公式變形（a、b、c為正數(shù)）勾股定理abc知識歸納練習1.設直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，斜邊長為c.（1）已知a=6，c=10，求b；（2）已知a=5，b=12，求c；（3）已知c=25，b=15，求a.解：由勾股定理得52+122=c2,c=13;解：由勾股定理得62+b2=102,b=8;解：由勾股定理得a2+152=252,a=20.2.如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形.已知正方形A,B,C,D的邊長分別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.解：根據(jù)圖形正方形E的邊長為:故E的面積為:252=625.例題與練習例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊．(1)若a＝

，c＝4，求b；(2)若c＝8，∠A＝30°，求b；(3)若a∶b＝3∶4，c＝15，求S△ABC.解：(1)b＝3；(2)b＝

；(3)S△ABC＝54.例2如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的長．解：∵AD⊥BC，∴在Rt△ADC中，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，例3如圖，四邊形ABCD是長方形，把△ACD沿AC折疊到△ACD′，AD′與BC交于點E，若AD＝4，DC＝3，求BE的長．解：由折疊的性質(zhì)，得△ACD≌△ACD′，∴∠D′＝∠D＝90°，CD′＝CD＝AB＝3.∵∠AEB＝∠CED′，∠B＝∠D′＝90°，∴△ABE≌△CD′E(AAS)，設BE＝x，則AE＝CE＝4－x.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2，即(4－x)2＝32＋x2，∴AE＝CE.練習1.如圖，點E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，則陰影部分的面積是(

)A．48B．60C．76D．80C2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且a＋b＝

，c＝3，求△ABC的面積．∴a2＋b2＋2ab＝12.由題知，a2＋b2＝c2＝9，解：∵a＋b＝

，課堂小結(jié)勾股定理內(nèi)容在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪個角是直角已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論證明人教版數(shù)學八年級下冊第十七章勾股定理17.1勾股定理第2課時勾股定理的應用導入新課勾股定理的概念在任何一個平面直角三角形中的兩直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。在△ABC中，∠C=90°，則a2+b2=c21.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊為a，b，c，∠C＝90°.52012(1)已知a＝3，b＝4，則c＝______；(2)已知c＝25，b＝15，則a＝_______；(3)已知c＝19，a＝13，則b＝_______；(結(jié)果保留根號)(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，則b＝______．思考2．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達的點B200m，結(jié)果他在水中實際游了520m，則該河流的寬度為_________m.480思考問題觀看下面同一根長竹竿以三種不同的方式進門的情況，對于長竹竿進門之類的問題你有什么啟發(fā)？這個跟我們學的勾股定理有關(guān)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題探究新知一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m,寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過?為什么?2m1mABDC【思考】（1）木板能橫著或豎著從門框通過嗎？（2）這個門框能通過的最大長度是多少？不能（3）怎樣判定這塊木板能否通過木框？求出斜邊的長，與木板的寬比較.小于AC即可.解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5因為AC大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內(nèi)通過.

2m1mABDC知識歸納利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實際問題.數(shù)學問題直角三角形勾股定理實際問題轉(zhuǎn)化利用構(gòu)建解決例題與練習ABDCO

解：在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,∴梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.例1如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?例2如圖，在一棵樹的10m高的B處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹，走到離樹20m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂D后直接躍向池塘A處(假設它經(jīng)過的路線為直線)，如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，求這棵樹的高．解：設BD＝xm．由題意知，BC＋AC＝BD＋AD，∴AD＝(30－x)m.在Rt△ACD中，由勾股定理，得(10＋x)2＋202＝(30－x)2，解得x＝5，∴x＋10＝5＋10＝15.答：這棵樹高15m.例3如圖，長方體的長BE＝15cm，寬AB＝10cm，高AD＝20cm，點M在CH上，且CM＝5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點M，需要爬行的最短距離是多少？解：分兩種情況比較最短距離：如答圖①所示，螞蟻爬行的最短路線為AM，答：需要爬行的最短距離是25cm.∴第二種路線較短，此時最短距離為25cm.

立體圖形中求兩點間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據(jù)兩點之間線段最短確定最短路線.歸納如答圖②所示，螞蟻爬行的最短路線為AM，應用勾股定理的前提是在________三角形中．如果三角形不是直角三角形，要先_________________，再利用勾股定理求未知邊的長．知識歸納注意：①在直角三角形中，已知兩邊長，利用勾股定理求第三邊時，要弄清楚直角邊和斜邊，沒有明確規(guī)定時，要__________，以免漏解；②求幾何體表面上兩點間的最短距離的方法：把立體圖形的表面展開成平面圖形，根據(jù)“兩點之間，______最短”確定路徑，然后利用勾股定理進行計算；③用勾股定理解決折疊問題時，能夠重合的線段、角和面積______．直角構(gòu)造直角三角形分類討論線段相等1.如圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上一點，測得BC=60m，AC=20m.求A，B兩點間的距離（結(jié)果取整數(shù)）.解:練習2.如圖，在平面直角坐標系中有兩點A(5，0)和B(0，4)，求這兩點間的距離.解：在Rt△AOB中，∴A、B兩點間的距離為.∴AB2＝OA2+OB2＝52+42＝41,

∴AB=.∵OA=5，OB=4,3．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，則圖中與格點A的距離是

的格點有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個C3．如圖，小華將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為________m.174．如圖，牧童在A處放牛，牧童家在B處，A，B處距河岸的距離AC，BD分別為500m和300m，且C，D兩處的距離為600m，天黑前牧童從A處將牛牽到河邊去飲水，再趕回家，那么牧童最少要走多少米？解：如圖，作點B關(guān)于CD的對稱點B′，連接AB′，交CD于點P，答：牧童最少要走1000m.過點A作B′B的垂線，垂足為E.B′PE在Rt△AB′E中，AE＝600m，B′E＝800m，課堂小結(jié)勾股定理的應用用勾股定理解決實際問題用勾股定理解決幾何問題解決“HL”判定方法證全等的正確性問題形象說明無理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系人教版數(shù)學八年級下冊第十七章勾股定理17.1勾股定理第3課時利用勾股定理作圖導入新課欣賞下面海螺的圖片：在數(shù)學中也有這樣一幅美麗的“海螺型”圖案，如第七屆國際數(shù)學教育大會的會徽.這個圖是怎樣繪制出來的呢？1．在等腰直角三角形中，直角邊為1，斜邊為多少？21？2．若直角三角形的兩直角邊分別為

，1，斜邊為多少？11思考-101

233.你能在數(shù)軸上畫出表示的點嗎？呢？提示：可以構(gòu)造直角三角形作出邊長為無理數(shù)的邊，就能在數(shù)軸上畫出表示該無理數(shù)的點.探究新知思考

在八年級上冊中我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.學習了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.求證：

△ABC≌△A′B′C′.證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

∠C=∠C′=90°又AB=A′B′,AC=A′C′，根據(jù)勾股定理，得∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.探究我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示的點嗎？分析：13開方就是，如果一個三角形的斜邊長為的話，問題就可迎刃而解了.是直角邊分別為2，3的直角三角形的斜邊長.√√步驟：01234lABC1.在數(shù)軸上找到點A,使OA=3;2.作直線l⊥OA,在l上取一點B，使AB=2;3.以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于C點，則點C即為表示的點.O也可以使OA=2，AB=3，同樣可以求出C點.利用勾股定理表示無理數(shù)的方法:（1）利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正數(shù)的直角三角形的斜邊.（2）以原點為圓心，以無理數(shù)斜邊長為半徑畫弧與數(shù)軸存在交點，在原點左邊的點表示是負無理數(shù)，在原點右邊的點表示是正無理數(shù).知識歸納類似地，利用勾股定理可以作出長為線段.探究新知“數(shù)學海螺”11-101

23例題與練習01234lABC作法：（1）在數(shù)軸上找到點A，使OA=1；例1

在數(shù)軸上作出表示的點.（2）過點A作直線垂直于OA，在直線上取點B,使AB=4，那么OB=；（3）以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點C，則OC=.如圖，在數(shù)軸上，點C為表示的點.

練習1.在數(shù)軸上作出表示

的點．∴是以4，1為直角邊的直角三角形斜邊的長，-3-2-1

01-4-5C如圖，即點C表示.2.如圖，等邊三角形的邊長是6.求：（1）高AD的長；（2）這個三角形的面積.解：（1）AD⊥BC于D，則BD=CD=3.（2）S=·BC·AD=×6×3≈15.6在Rt△ABD中，由勾股定理AD2=AB2-BD2=62-32=27，故AD=3≈5.2例2利用如圖4×4的方格，作出面積為8平方單位的正方形，然后在數(shù)軸上表示實數(shù)

和.解：如圖．01234-4-3-2-1例3如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫格點．(1)在圖①中以格點為頂點畫一個面積為5的正方形；圖①解：如圖①所示；(2)如圖②，A，B