新教材2023版高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課學(xué)生用書湘教版選擇性必修第二冊(cè)

章末復(fù)習(xí)課知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·形成體系考點(diǎn)聚焦·分類突破考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用1．導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，主要考查切線方程及切點(diǎn)．(1)明確“過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的曲線y＝f(x)的切線方程”與“在點(diǎn)P(x0，y0)處的曲線y＝f(x)的切線方程”的異同點(diǎn)．(2)圍繞著切點(diǎn)有三個(gè)等量關(guān)系：切點(diǎn)(x0，y0)，則k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)滿足切線方程，在求解參數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常用到．2．通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．例1(1)函數(shù)f(x)＝2ex＋1x+1的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為(A．x＋y＋3＝0B．x＋y－3＝0C．x－y＋3＝0D．x－y－3＝0(2)已知曲線y＝x＋4x(x<0)在點(diǎn)P處的切線與直線x－3y＋1＝0垂直，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為(A．1B．－1C．2D．－2(3)已知直線y＝kx＋b與曲線y＝x3＋ax＋1相切于點(diǎn)(2，3)，則b＝________．(4)曲線C：y＝x3－3x和直線x＝a(a>0)的交點(diǎn)為P，過(guò)P點(diǎn)的曲線C的切線與x軸交于點(diǎn)Q(－a，0)，求a的值．考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是高考中最常見(jiàn)的考查方式，其特點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)f′(x)的符號(hào)一般由二次函數(shù)來(lái)確定；經(jīng)常同一元二次方程、一元二次不等式結(jié)合，融分類討論、數(shù)形結(jié)合于一體．2．通過(guò)對(duì)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的考查，提升學(xué)生的邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．例2(1)函數(shù)f(x)＝x＋1ax在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A．[1，＋∞)B．(－∞，0)∪C．(0，1]D．(－∞，0)∪(2)討論函數(shù)f(x)＝exx-ax考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，主要是以lnx，ex，－x3等線性函數(shù)(或復(fù)合函數(shù))為載體，研究函數(shù)的極值與最值問(wèn)題．2．通過(guò)對(duì)函數(shù)的極值與最值問(wèn)題的考查，提升學(xué)生的邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．例3(1)函數(shù)f(x)＝13x3＋ax2－2x＋1在x∈(1，3)內(nèi)存在極值點(diǎn)，則(A．－76≤a≤12B．－76<C．a(chǎn)≤－12或a≥12D．a(chǎn)<12或(2)已知函數(shù)f(x)＝lnx－mx(m∈R)①當(dāng)m＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；②若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上取得最小值4，求m的值．考點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1．對(duì)于某些不等式的證明，常常通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)討論函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明．這種構(gòu)造轉(zhuǎn)換的過(guò)程與方法，體現(xiàn)了深刻的化歸思想．2．通過(guò)對(duì)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的考查，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．例4已知函數(shù)f(x)＝12x2－alnx(a∈R)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)x>1時(shí)，12x2＋lnx<23x考點(diǎn)五利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題1．利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最大、最小值問(wèn)題，是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，這種解決問(wèn)題的方法使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，因而也成為高考的又一新熱點(diǎn)．2．通過(guò)對(duì)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．例5某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率)．(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．章末復(fù)習(xí)課考點(diǎn)聚焦·分類突破例1解析：(1)∵f(x)＝2ex＋1x+1∴f(0)＝3，f′(x)＝2ex－1x+1∴f′(0)＝1，故所求的切線方程為y－3＝x－0，即x－y＋3＝0.(2)設(shè)f(x)＝x＋4x(x<0)，點(diǎn)P(x0，y0)則f′(x)＝1－4x由在點(diǎn)P處的切線與直線x－3y＋1＝0垂直可得f′(x0)＝－3，即1-4x又x0<0，∴x0＝－1.(3)設(shè)f(x)＝x3＋ax＋1，由題意知f(2)＝3，則a＝－3.f(x)＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝3×22－3＝9＝k，又點(diǎn)(2，3)在直線y＝9x＋b上，∴b＝3－9×2＝－15.(4)依題意y=x3-3x，x=a，解得P(a，y′＝3x2－3，所以過(guò)P點(diǎn)的曲線C的切線方程為y－(a3－3a)＝(3a2－3)(x－a)．令y＝0得切線與x軸的交點(diǎn)為(2a33則有2a33a2-3＝－由已知，a>0，所以a的值為155答案：(1)C(2)B(3)－15(4)見(jiàn)解析例2解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x＋1ax所以f′(x)＝1－1ax因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x＋1ax在(－∞，－1)所以f′(x)≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x2在(－∞，－1)則1a≤1，解得a≥1或a<0所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0)∪(2)f(x)定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝ex·x當(dāng)a≤0時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝1，當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝lna.所以：當(dāng)0<a≤1時(shí)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)1<a<e時(shí)，當(dāng)lna<x<1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<lna或x>1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a＝e時(shí)，f′(x)>0在定義域上恒成立，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a>e時(shí)，當(dāng)1<x<lna時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0<x<1或x>lna時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)a≤1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)；當(dāng)1<a<e時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，lna)，(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(lna，1)；當(dāng)a＝e時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)a>e時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，(lna，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為(1，lna)．答案：(1)D(2)見(jiàn)解析例3解析：(1)f′(x)＝x2＋2ax－2，Δ＝4a2＋8>0，令f′(x)＝x2＋2ax－2＝0，由于x∈(1，3)，所以2a＝2-x2x＝2x－x，y＝2x－x在(1，3)上遞減，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝－73.由于函數(shù)f(x)＝13x3＋ax2－2x＋1在x∈(1，3)內(nèi)存在極值點(diǎn)，所以－73<2a(2)①當(dāng)m＝－2時(shí)，f(x)＝lnx＋2x(x>0)則f′(x)＝x-當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)，極小值為f(2)＝ln2＋1，無(wú)極大值．②f′(x)＝x+mxa．當(dāng)m≥－1時(shí)，f′(x)≥0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，解得m＝－4，不滿足m≥－1，故舍去．b．當(dāng)－e<m<－1時(shí)，x∈(1，－m)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，x∈(－m，e)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4，解得m＝－e3，不滿足－e<m<－1，故舍去．c．當(dāng)m≤－e時(shí)，f′(x)≤0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(e)＝1－me＝4解得m＝－3e，滿足m≤－e.綜上m＝－3e.答案：(1)B(2)見(jiàn)解析例4解析：(1)f′(x)＝x－ax＝x2-ax，f(x)的定義域?yàn)楫?dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0恒成立，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)>0，又x∈(0，＋∞)，得x>a，令f′(x)<0，結(jié)合x∈(0，＋∞)，得0<x<a，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(a，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，a)．(2)證明：設(shè)F(x)＝23x3－(12x2＋lnx故F′(x)＝2x2－x－1x＝x而2x2＋x＋1＝2(x＋14)2＋78∴當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)′(x)>0，∴F(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，且F(1)＝16∴F(x)>16在(1，＋∞)上恒成立．∴F(x∴當(dāng)x>1時(shí)，12x2＋lnx<23x例5解析：(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的建造成本為100·2πrh＝200πrh元，底面的建造成本為160πr2元，所以蓄水池的總建造成本為(200πrh＋160πr2)元，又200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)，從而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3因?yàn)閞>0，又由h>0可得r<53，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0，5