新教材2023版高中數(shù)學(xué)第1章數(shù)列1.2等差數(shù)列1.2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和2學(xué)生用書(shū)湘教版選擇性必修第一冊(cè)

1．2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(2)最新課程標(biāo)準(zhǔn)(1)理解數(shù)列的an與Sn的關(guān)系．(2)會(huì)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一Sn與an的關(guān)系?an＝________要點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值1．在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式組an≥0，an+1≤0確定；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，Sn有________2．因?yàn)镾n＝d2n2＋a1-d2n?，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有________值；當(dāng)d<0時(shí)，Sn有________值；且批注?如果a1也滿足當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1的通項(xiàng)公式，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝Sn－Sn－1；如果a1不滿足當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1的通項(xiàng)公式，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式要分段表示為an＝S批注?用求二次函數(shù)的最值方法來(lái)求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意的是：n∈N*.基礎(chǔ)自測(cè)1.判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和一定是常數(shù)項(xiàng)為0的關(guān)于n的二次函數(shù)．()(2)對(duì)于數(shù)列{an}，一定有關(guān)系式an＝Sn－Sn－1.()(3)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn一定同時(shí)存在最大值和最小值．()(4)若等差數(shù)列{an}的公差d>0，則該數(shù)列Sn一定有最小值，d<0，則該數(shù)列Sn一定有最大值．()2．若數(shù)列{an}中，an＝43－3n，則Sn的最大值n＝()A．13B．14C．15D．14或153．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n3，則a4的值為()A．15B．27C．37D．644．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋n，則an等于()A．4n－2B．n2C．2n＋1D．2n5．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－3n，則其最小值為_(kāi)_______．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1an與Sn的關(guān)系的應(yīng)用例1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝－2n2＋3n＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列？方法歸納已知Sn求an的一般步驟鞏固訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿足5＜ak＜8，則k＝()A．9B．8C．7D．6題型2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例2在等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1>0，S3＝S11，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為_(kāi)_______．變式探究1將本例中“a1>0，S3＝S11”換成“an＝26－2n”，當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值為_(kāi)_______．變式探究2將本例中“a1>0，S3＝S11”換為“a1>0，a2019＋a2020>0，a2019·a2020<0”，求使Sn>0成立的最大自然數(shù)n.方法歸納1．在等差數(shù)列中，求Sn的最值的2種常用方法2．尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法鞏固訓(xùn)練2設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S2020>0，S2021<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，Sn最大．題型3求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和例3已知等差數(shù)列{an}中，公差d>0，a1＋a4＋a7＝－6，a2·a4·a6＝24.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)Sn為數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和，求Sn.方法歸納求數(shù)列{|an|}前n項(xiàng)和的方法(1)一般地，數(shù)列{|an|}與數(shù)列{an}是兩個(gè)不相同的數(shù)列，只有數(shù)列{an}中的每一項(xiàng)都是非負(fù)數(shù)時(shí)，它們表示的才是同一數(shù)列．因此，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和時(shí)，應(yīng)先弄清n取什么值時(shí)an>0或an<0，去掉絕對(duì)值符號(hào)后再求和．(2)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，則有：①若a1>0，d<0，則存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1<0，從而Tn＝S②若a1<0，d>0，則存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1>0，從而-鞏固訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－32n2＋2052n，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和T易錯(cuò)辨析數(shù)列中的最值錯(cuò)誤例4設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S11＝S18，則當(dāng)n＝________時(shí)，Sn最大．解析：方法一由S11＝S18，得11a1＋11×102d＝18a1＋18×172d，即a1＝－構(gòu)建不等式組an=a1+n-1故當(dāng)n＝14或n＝15時(shí)Sn最大．方法二由S11＝S18知，a1＝－14d，所以Sn＝na1＋nn-12d＝－14dn＋nn-1由于n∈N＋，結(jié)合Sn對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象知，當(dāng)n＝14或n＝15時(shí)Sn最大．方法三由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0.又a1>0，所以d<0，故當(dāng)n＝14或n＝15時(shí)Sn最大．答案：14或15【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得由于a15＝0，所以S14＝S15，即n＝14或n＝15時(shí)，前n項(xiàng)和相等且最大．有些同學(xué)容易忽視數(shù)列中為零的項(xiàng)致錯(cuò)．在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常遇到求最值的問(wèn)題，且解決此類問(wèn)題常用函數(shù)的一些方法，但一定要注意數(shù)列中的變量n為正整數(shù)，同時(shí)還要注意數(shù)列中為零的項(xiàng)．1．2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(2)新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一S1Sn－Sn－1要點(diǎn)二1．最大最小2．最小最大[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：令an＝43－3n≥0，得n≤433，又n∈N＋，∴n＝答案：B3．解析：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴a4＝S4－S3＝43－33＝37.答案：C4．解析：當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋n－1]＝2n，因?yàn)閍1＝2滿足an＝2n，所以an＝2n.答案：D5．解析：由Sn＝n2－3n＝n-322－94，可知當(dāng)n＝1或2答案：－2題型探究·課堂解透例1解析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2，(2)當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，但a2－a1＝－3－2＝－5，所以數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．鞏固訓(xùn)練1解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n－1)＝2n－10，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－8也適合，所以an＝2n－10.又因?yàn)?＜ak＜8，所以5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9，故k＝8.答案：B例2解析：方法一(函數(shù)法)由S3＝S11，可得3a1＋3×22d＝11a1＋11×102d，即d＝－213a1.從而Sn＝d2n2＋a1-d2n因?yàn)閍1>0，所以－a113<0.故當(dāng)n＝7時(shí)，S方法二(通項(xiàng)變號(hào)法)由解法一可知，d＝－213a1要使Sn最大，則有an≥解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．答案：7變式探究1解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋nn-12×(－2)＝－n2＋25n＝－∵n∈N＋，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn最大．答案：12或13變式探究2解析：∵a1>0，a2019＋a2020>0，a2019·a2020<0，∴{an}表示首項(xiàng)是正數(shù)，公差d為負(fù)數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列．∴a2019>0，a2020<0.且|a2019|>|a2020|，∴a2019＋a2020＝a1＋a4038>0，∴S4038＝4038a1又∵a1＋a4039＝2a2020＜0，∴S4039＝4039a1+∴使Sn>0成立的最大自然數(shù)n是4038.鞏固訓(xùn)練2解析：∵S2020>0，S2021<0，∴2020a1+a2020∴a1＋a2020＝a1010＋a1011>0，a1＋a2021＝2a1011<0，∴a1010>0，a1011<0，∴當(dāng)n＝1010時(shí)，Sn最大．答案：1010例3解析：(1)在等差數(shù)列{an}中，由a1＋a4＋a7＝－6得a4＝－2，則a1+a7=而公差d>0，則a2=-6a6=2，d＝a6所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n－10.解析：(2)由(1)知an＝2n－10，因此，|an|＝|2n－10|＝10-當(dāng)1≤n≤5時(shí)，Sn＝－a1－a2－…－an＝－-8+2n-102×n＝－n當(dāng)n≥6時(shí)，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＋(|a6|＋…＋|an|)＝(－a1－a2－…－a5)＋(a6＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋a5)＋(a6＋…＋an)＝(a1＋a2＋…＋an)－2(a1＋a2＋…＋a5)＝-8+2n-102×n＋40＝n2－9所以Sn＝-n2+9n，1≤n鞏固訓(xùn)練3解析：a1＝S1＝－32×12＋2052×1當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝-32n2+∵n＝1也適合上式，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－3n＋104.由an＝－3n＋104≥0得n≤3423即當(dāng)n≤34時(shí)，an>0；當(dāng)n≥35時(shí)，an<0.方法一①當(dāng)n≤34時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－32n2＋2052②當(dāng)n≥