全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)真題分類匯編解直角三角形

一、選擇1.（2014?孝感，第8題3分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交成的銳角一、選擇1.（2014?孝感，第8題3分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交成的銳角為αAC=a，BD=b，則?ABCD的面積是）B．C．考點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DO于點(diǎn)E，進(jìn)而得出EC的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式求出即分解：過(guò)點(diǎn)CCE⊥DO解∵在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交成的銳角為，∴EC=COsinα=CE×BD=×asinα×b=∴?ABCDabsinα×2=故選 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及解直角三角形，得出EC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及解直角三角形，得出EC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵（）考點(diǎn)專題A、根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，不能構(gòu)成三角形，依此即可作出判分B、根據(jù)勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出C、解直角三角形可知是頂角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別90°，60°，30°的直角三角形，依此即可解：A、∵1+2=3，不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)解BC、底邊上的高D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別90°，60°，30°的直角三角形，其故選點(diǎn)3.（2014?揚(yáng)州，第8，3）如圖，在四邊形ABCD中∠3.（2014?揚(yáng)州，第8，3）如圖，在四邊形ABCD中∠BAD=60°，點(diǎn)M、N分別在AB、AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則（） 考點(diǎn)專題連接AC，通過(guò)三角形全等，求得∠BAC=30°，從而求得BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定分CM的長(zhǎng)連接MN，過(guò)M點(diǎn)作ME⊥ON于E，則△MNA是等邊三角形求得MN=2，設(shè)NF=x，表示CF，根據(jù)勾股定理即可求得MF，然后求得解解MN，連接Rt△ABCRt△ADC，∴∠BAC=∠DAC=∴BC=∴AC2=BC2+AB2，即Rt△ABCRt△ADC，∴∠BAC=∠DAC=∴BC=∴AC2=BC2+AB2，即，Rt△BMC=．∴△MAN是等邊三角MME⊥ONENE=x∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即，﹣=，=，=點(diǎn)4.（2014?濱州，第113分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=tanABC的長(zhǎng)為（考點(diǎn)=．，∴BC=AB×=10×中，∠C=90°，則．5.（2014?德州73分）如考點(diǎn)=．，∴BC=AB×=10×中，∠C=90°，則．5.（2014?德州73分）如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬12斜坡度為1：2，則斜坡AB的長(zhǎng)為）米米米考點(diǎn)先根據(jù)坡度的定義得出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)分解解：在Rt△ABC=iAC=12∴BC=6 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，勾股定理，難度適中．根據(jù)坡評(píng)：二.填空1（2014?新疆，第13題5分）如圖，在Rt△ 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，勾股定理，難度適中．根據(jù)坡評(píng)：二.填空1（2014?新疆，第13題5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32 （參考數(shù)據(jù)考點(diǎn)專題分解：在Rt△ABC解，所以點(diǎn)2（2014?舟山，第124分）如圖，在地面上的點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂B的仰角為α度米，則樹(shù)高BC 米（用含α的代數(shù)式表示．考點(diǎn)考點(diǎn)分BC的高度解：∵BC⊥AC，AC=7米解 ∴BC=AC?tanα=7tanα（米故答案為點(diǎn)3（2014? 考點(diǎn)如圖，根據(jù)三角函數(shù)可求BC，CEBE=BC+CE可求，再根據(jù)函數(shù)可 EF，再根據(jù)停車位的個(gè)數(shù)=（56﹣BE）÷EF+1，列式計(jì)解：如圖=17（個(gè)=17（個(gè)20°（不考慮身高因素，則此塔高約為182米（據(jù)：sin20°≈0.3420sin700.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475考點(diǎn)作出圖形AB=500A=20Rt△ABC中，利用三角函數(shù)即可求分解：在Rt△ABC解AB=500米 ∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函評(píng)：5.（2014?泰州，第16題，3分）如圖，正方向∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函評(píng)：5.（2014?泰州，第16題，3分）如圖，正方向ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)∠DAE=30°，M為AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q．若PQ=AEAP等于12考點(diǎn)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，由ABCD為正方形分AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用股定理求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)MAE中點(diǎn)求AM的長(zhǎng)，利用HL得到三角形ADE角形PQN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等得到∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，進(jìn)而得到PM于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長(zhǎng)再利用對(duì)稱性確定出AP′的長(zhǎng)即可解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)解∵四邊形ABCD為正方形Rt△ADE ∵M(jìn)AE∴AM=Rt△ADERt△PNQ，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（∵M(jìn)AE∴AM=Rt△ADERt△PNQ，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL∴∠PMF=90Rt△AMP， 綜上，AP1cm故答案為：1點(diǎn)6.（2014?濟(jì)寧，第12題3分）如圖，在△ABCAB的長(zhǎng)為 解直角三角形點(diǎn)過(guò)C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根據(jù)含30度角的直角三過(guò)C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根據(jù)含30度角的直角三角形分出CD，根據(jù)勾股定理求AD，相加即可求出答案解CCD⊥AB解 ，， ．點(diǎn)三.解答l1l2間一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l1成30°角，長(zhǎng)為20km；BC段與AB、CD都垂直，長(zhǎng)為10km，CD段長(zhǎng)為30km，求兩高速公路間的距離（結(jié)果保留根號(hào)考點(diǎn)：BBE⊥l1l1E，CDF，l2G．Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)分析BE，在考點(diǎn)：BBE⊥l1l1E，CDF，l2G．Rt△ABE中，根據(jù)三角函數(shù)分析BE，在Rt△BCF中，根據(jù)三角函數(shù)求得BF，在Rt△DFG中，根據(jù)三角函數(shù)求得FG，再根EG=BE+BF+FG即可求解解B點(diǎn)BE⊥l1l1E，CDF，l2Rt△ABE中Rt△BCF=×Rt△DFG）×故兩高速公路間的距離為 點(diǎn)評(píng)：在點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂C的仰角為30°，然后沿AD方向前行10m，到達(dá)B點(diǎn)，在B處測(cè)得樹(shù)C的仰角高度為60°（A、B、D三點(diǎn)在同一直線上．請(qǐng)你根據(jù)他們測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算這棵樹(shù)0.1m（解直角三角形的應(yīng)用－仰角俯角問(wèn)題首先利用三角形的外角的性質(zhì)求得∠ABC解直角三角形的應(yīng)用－仰角俯角問(wèn)題首先利用三角形的外角的性質(zhì)求得∠ABC的度數(shù)，得到BC的長(zhǎng)度，然后在解∴BC=AB=10（米在直角△BCD答：這棵樹(shù)CD的高度為8.7180海里A處，漁船A處沿正南方向航行一段距離后，到達(dá)位于小島南偏東60B（1）求漁AB的航行過(guò)程中與小島M之間的最小距離（結(jié)果用根號(hào)表示（2）若漁船以20海里/小時(shí)的速度從B沿BM方向行駛，求漁船從B到達(dá)小島M的航行（ （1）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)∠AME的度數(shù)求出∠AMD=∠MAD=45°，再根據(jù)分（2）在Rt△DMB中（1）過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)∠AME的度數(shù)求出∠AMD=∠MAD=45°，再根據(jù)分（2）在Rt△DMB中，根據(jù)∠BMF=60°，得出∠DMB=30°，再根據(jù)MD的值求出MB解（海里答：漁船從A到B的航行過(guò)程中與小島M之間的最小距離是（2）在Rt△DMB，答：漁船從B到達(dá)小島M的航行時(shí)間約為7.4點(diǎn)42°方向上，它沿正東方向航行80海里后到達(dá)B處，此時(shí)燈塔C在它的北55°方（1）求海輪在航行過(guò)程中與燈塔C的最短距離（結(jié)果精確到0.1（2）求海B處時(shí)與燈塔C的距離（結(jié)果保留整數(shù)（參考數(shù)據(jù)考（1）過(guò)C作AB的垂線，設(shè)垂足為D，則（參考數(shù)據(jù)考（1）過(guò)C作AB的垂線，設(shè)垂足為D，則CD的長(zhǎng)為海輪在航行過(guò)程中與燈塔C分（2）在Rt△BCD中，根據(jù)55°角的余弦值即可求出海輪在B處時(shí)與燈塔C的距離解：（1）CAB的垂線，設(shè)垂足為解CD的長(zhǎng)x海里Rt△ACDRt△BCD答：海輪在航行過(guò)程中與燈塔C的最短距離是海里（2）在Rt△BCD，答：海輪在B處時(shí)與燈塔C的距離是60海里 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：方向角問(wèn)題，具體就是在某點(diǎn)作出東南西北，評(píng)：A，某人在岸邊的B處測(cè)得A在B的北偏東30° 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：方向角問(wèn)題，具體就是在某點(diǎn)作出東南西北，評(píng)：A，某人在岸邊的B處測(cè)得A在B的北偏東30°的方向上，然后沿岸邊直行4公里到達(dá)處，再次測(cè)得AC的北偏45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上．求這個(gè)標(biāo)性建筑物底部A到岸邊BC的最短距離分析 過(guò)A作AD⊥BC于D，先由△ACD是等腰直角三角形，設(shè)AD=x，得出CD=AD=x，Rt△ABD，得出=x+x=4，解方程求出的值，即為A到岸邊BC的最短距離解答：解AAD⊥BCDAD的長(zhǎng)度就是A到岸邊BC的最短距離在Rt△ACD中，∠ACD=45°，設(shè)AD=x，則Rt△ABD，=又BC=4，即BD+CD=4，所．答：這個(gè)標(biāo)志性建筑物底部A到岸BC的最短距離為（Ⅰ）如圖①，已知解放橋可開(kāi)啟部分的橋（Ⅰ）如圖①，已知解放橋可開(kāi)啟部分的橋面的跨度AB47mAB的中C啟，則AC開(kāi)啟至A′C′的位置時(shí)，A′C′的長(zhǎng) （Ⅱ）如圖②，某校數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量解放橋的全長(zhǎng)PQ，在觀景平臺(tái)M處測(cè)求解放橋的PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，結(jié)果保留整數(shù)（1）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)即可得出A′C′的長(zhǎng)（2）PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得關(guān)x的方程，解出即可∴A'C'=（II）設(shè)Rt△PMQ，Rt△PNQ，∵M(jìn)N=MQ﹣NQ（II）設(shè)Rt△PMQ，Rt△PNQ，∵M(jìn)N=MQ﹣NQ=40，﹣7（2014年云南省，第216分）如圖，小明在M處用高1米（DM=1米）的測(cè)角儀旗桿AB的頂端B的仰角為30°，再向旗桿方向前進(jìn)10米到F處，又測(cè)得旗桿頂端B60°，請(qǐng)求出旗桿AB的高度（解答：解∴BC=CD=10Rt△BCE=，，答：旗桿AB的高度大約是108（2014?答：旗桿AB的高度大約是108（2014?雕塑2.7米的A處自B點(diǎn)看雕塑頭頂D的仰角為45°，看雕塑底部C的仰角為30）考點(diǎn)首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)直角三角形△DEB、△CEB，再利用其公共BE分得DE、CE，再根據(jù)CD=DE﹣CE計(jì)算即可求出答案解：在Rt△DEB中，DE=BE?tan45°=2.7解在Rt△CEB中 米故塑像CD的高度大約為1.2點(diǎn)9（2014·實(shí)踐課中，小明為了測(cè)量學(xué)校旗桿9（2014·實(shí)踐課中，小明為了測(cè)量學(xué)校旗桿CD的高度面A處放置高度為1.5米的測(cè)角儀AB，測(cè)得旗D的仰32°，AC22米，求CD的高度cos32°=tan32°=考點(diǎn)分為E（如圖解Rt△DEBBEAC22（米，DtanDEBEtanECABCDCEED1.513.6415.1415.1（米）答：旗桿CD的高度為15.1米．（米點(diǎn)量轉(zhuǎn)化為直角三角形BDE中的有關(guān)元10（2014?浙江寧波，第218分）如圖，從AB地10（2014?浙江寧波，第218分）如圖，從AB地的公路需經(jīng)過(guò)C地，圖千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直（1）求改直的公路AB的長(zhǎng)考點(diǎn)（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根據(jù)三角函數(shù)求得CH，AHRt△BCH中，根據(jù)三角函數(shù)求得BH，再根據(jù)AB=AH+BH即可求解（2）在Rt△BCH中，根據(jù)三角函數(shù)求得BC，再根據(jù)AC+BC﹣AB在Rt△ACH中，CH=AC?sin∠CAB=AC?sin25°≈10×0.42=4.2AH=AC?cos∠CAB=AC?cos25°≈10×0.91=9.1在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7千米故改直的公路AB的長(zhǎng)14.7千米（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3米狀況，計(jì)劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，狀況，計(jì)劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、兩點(diǎn)，小張為了測(cè)量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道l上測(cè)得如下?lián)骸螧AD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的長(zhǎng)（精確米考點(diǎn)設(shè)AD=x米，則AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到分（x+82，在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB=4x，依此得到關(guān)于x的方程，進(jìn)解：設(shè)AD=x米，則AC=（x+82）米解Rt△ABC，∴AB=AC?tan∠BCA=2.5（x+82在Rt△ABD中 ．答：AB的長(zhǎng)約為546.7 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵是用評(píng)：∠B=60°，AB=10，BC=4答：AB的長(zhǎng)約為546.7 此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵是用評(píng)：∠B=60°，AB=10，BC=4P沿線段ABAB運(yùn)動(dòng)（1）求AD的長(zhǎng)（2）P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形P、C、B為頂點(diǎn)的三形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)（3）設(shè)△ADP與△PCB的外接圓的面積分別為S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值考點(diǎn)（1）過(guò)CCE⊥ABE，根CE=BC?sin∠B求出CE，再根據(jù)AD=CE分（2）若A、P、D為頂點(diǎn)的三角形P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相似，則△PCB有一個(gè)角是直角．分兩種情況討論：①當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，求AP，再根據(jù)Rt△ADP中∠DPA=60°，得出∠DPA=∠B，從而得到△ADP∽△CPB時(shí)，求出AP=3，根，得出△PCB與△ADP不相似≠且≠，再分兩種情況討論2＜x＜10時(shí)BC的垂直分線BCHABGPB的垂直平分線交PBNGHM，連BMRt△GBH中求出BG、BN、GNRt△GMN中，求x﹣1，2S1=x?BM代入計(jì)算即可BM20＜x≤2，最后根2x Sx即可得S的最﹣2解Rt△BCE2x Sx即可得S的最﹣2解Rt△BCE，．（2）存在．若以A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、B為頂點(diǎn)的三角形相則△PCB必有一個(gè)角是直角①當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，在Rt△PCB又由（1）Rt△ADP==，∴存在△ADP與△CPB相似，此時(shí)②∵當(dāng)∠CPB=90°時(shí)，在Rt△PCB ，此時(shí)△PCB與△ADP不相似則≠且2）（3）如圖，因?yàn)镽t△ADP外接圓的直徑為斜邊PD，2＜x＜10時(shí)BC的垂直平分BCHABPB的垂直平分線交PBNGHM，連結(jié)BMBM為△PCB外接圓的半徑Rt△GBH中，BH=∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣∴GN=BG﹣BN=Rt△GMN（Rt△BMN中Rt△GBH中，BH=∵BN=PB=（10﹣x）=5﹣∴GN=BG﹣BN=Rt△GMN（Rt△BMN中，22②∵當(dāng)0＜x≤2+x（ 點(diǎn)13.（2014?株洲，第17題，4分）計(jì)算 考點(diǎn)分解解：原式點(diǎn)于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)（AF＞BF（1）求證（2）求tan∠CAE的值考點(diǎn)（1）根據(jù)角的平分線的性質(zhì)可求 CE=EF，然后根據(jù)直角三角形的判定定理求得分（2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m RT△ACE中==；（1）證明：∵AE是∠BAC的平分線解Rt△ACERt△AFE，∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HLBF=m==RT△ABC==，RT△EFB，，RT△ACE==；． 本題考查了直角三角形的判定、性質(zhì)和利用三角函數(shù)解直角三角形，根據(jù)已知條評(píng)：15.（2014?株，RT△ACE==；． 本題考查了直角三角形的判定、性質(zhì)和利用三角函數(shù)解直角三角形，根據(jù)已知條評(píng)：15.（2014?株洲，第23題，8分）如圖，PQ為圓O的直徑，點(diǎn)B在線段PQ的延長(zhǎng)線上OQ=QB=1，動(dòng)點(diǎn)A在圓O的上半圓運(yùn)動(dòng)（含P、Q兩點(diǎn)AB為邊向上作等邊三（1）當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時(shí)，求△ABC的面積（圖（2）設(shè)∠AOB=α，當(dāng)線段AB、與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）時(shí)，求α的范圍（（3）當(dāng)線段AB與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)A、M時(shí)，如果AO⊥PM于點(diǎn)NCM的長(zhǎng)度（圖考點(diǎn)（1）連接OA，如下圖1，根據(jù)條件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以分出△ABC的面積（2）如下圖2，首先考慮臨界位置：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合時(shí)，線段AB與圓O只有一公共點(diǎn)，此時(shí)α=0°；當(dāng)線段AB所在的直線與圓O相切時(shí)，線段AB與圓O只有個(gè)公共點(diǎn)α=60°．從而定出α的范圍（3）設(shè)AO與PM的交點(diǎn)為D，連接MQ，如下圖3，易證AO∥MQ，從而得△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，從而可以求（3）設(shè)AO與PM的交點(diǎn)為D，連接MQ，如下圖3，易證AO∥MQ，從而得△PDO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，從而可以求出MQ、OD，進(jìn)而求PDDM、AM、CM的值解：（1）OABBH⊥AC，垂足為H，如圖1所示解∵AB與⊙O相切于點(diǎn)==．∵△ABC是等邊三角，×．∴△ABC的面積．（2）①當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)所在的直線與圓O相切時(shí)，如圖2②當(dāng)線線段A1B與圓O只有一個(gè)公共 ∴當(dāng)線段AB與圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)（即A點(diǎn)）α的范圍（3）連接MQ，如圖3∵PQ是⊙O的直徑∴==同理∴==同理．．．= ∵△ABC是等邊三角，．．==．∴CM的長(zhǎng)度． 本題考查了等邊三角