2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第42講 基本不等式-原卷版1

第42講基本不等式通關(guān)一、均值不等式的使用條件1.一正:函數(shù)式中的各項必須都是正數(shù),在異號時不能運用均值不等式,在同負(fù)時可以先進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再運用均值不等式;實際過程中,兩項全是負(fù)的其實也可以用均值,提出一個負(fù)號即可.所以說“一正”這個條件可以擴展為“同號”。2.二定:函數(shù)式中含變量的各項的和或積或平方和必須是定值;特殊情況下,至少要求各項的和、積、平方和是一個可化簡的定式。3.三相等:只有具備了不等式中等號成立的條件,才能使函數(shù)式取到最大或最值,否則不能由均值不等式求最值,只能用函數(shù)的單調(diào)性求最值。通關(guān)二、已知,則其中稱為平方平均數(shù),稱為算術(shù)平均數(shù),稱為幾何平均數(shù),稱為調(diào)和平均數(shù).【證明】因為,所以.因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)“”時等號成立.因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)“"時等號成立.因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)“"時等號成立.因為所以,當(dāng)且僅當(dāng)“”時,等號成立.結(jié)論一、常見基本不等式1.,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.2.,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.3.,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.4.,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.5.同號,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.【例1】,給出下列推導(dǎo),其中正確的有_______________(1)的最小值為;(2)的最小值為4;(3)的最小值為.【變式】已知且，則（）. A. B. C. D.結(jié)論二、和定積最大，積定和最小1.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即若a,b∈?，且若a+b=M，M為定值,則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；2.兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即若a,b∈?，且ab=P，P為定值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.【例2】已知.(1)若,求的最小值;(2)若，求ab的最大值.【變式】已知,則的最大值為結(jié)論三、已知,求的范圍把整體代換,展開得:【例3】已知實數(shù)滿足，且,則的最小值為______________ A.24 B.16 C.18 D.12【變式】設(shè),若是與的等比中項,則的最小值為() A. B.4 C.1 D.結(jié)論四、己知,求的范圖把整體代換,展開得:【例4】已知,且,求的最小值.【變式】若兩個正實數(shù)滿足,且恒成立,則實數(shù)的取值范圍是（） A. B. C. D.結(jié)論五、柯西不等式若都是實數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.【例5】設(shè),且,則的最小值為_____________【變式】已知關(guān)于的不等式的解集為.(1)求實數(shù)的值;(2)求的最大值.結(jié)論六、權(quán)方和不等式已知,則,當(dāng)時,等號成立.【例6】