2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第52講 直線與圓的位置關(guān)系-原卷版19

第52講直線與圓的位置關(guān)系通關(guān)一、直線與圓的位置關(guān)系的判定判斷方法直線與圓的位置關(guān)系幾何法:由圓心到直線的距離d與半徑長(zhǎng)r的大小關(guān)系來判斷d>r直線與圓相離d=r直線與圓相切d<r直線與圓相交代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程,消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,根據(jù)一元二次方程的解的個(gè)數(shù)來判斷?<0方程無實(shí)數(shù)解,直線與圓相離?=0方程有唯一的實(shí)數(shù)解,直線與圓相切?>0方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,直線與圓相交通關(guān)二、圓與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d,R,r的關(guān)系d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r通關(guān)三、圓的方程1.過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程是;2.以為圓心的同心圓系方程是:;3.與圓同心的圓系方程是;4.過同一定點(diǎn)的圓系方程是.結(jié)論一、直線與圓的位置關(guān)系判定步驟（1）明確圓心的坐標(biāo)和半徑長(zhǎng),將直線方程化為一般式;（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離;（3）比較與的大小,寫出結(jié)論.【例】1若直線關(guān)系與圓有公共點(diǎn),則（） A.B. C. D.【變式】若直線關(guān)系與圓相切,則直線與圓的位置關(guān)系是（）. A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定結(jié)論二、切線方程的求解1.求過圓上的一點(diǎn)的切線方程;如圖,利用切線的斜率與圓心和該點(diǎn)連線的斜率的乘積等于,即.(1)過圓上一點(diǎn)的切線方程是(2)過圓上一點(diǎn)的切線方程是.2.求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程:當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)為,則切線方程為,即.由圓心到直線的距離等于半徑,即可求出的值,進(jìn)而寫出切線方程.【例2】已知圓的方程為:及圓上一點(diǎn),則過的圓的切線方程為______________【變式】過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程是（）. A. B. C. D. 結(jié)論三、圓的弦長(zhǎng)問題處理方法幾何法:如圖所示,設(shè)直線被圓截得的弦為,圓的半徑為,圓心到直線的距離為,則有關(guān)系式:2.代數(shù)法:若斜率為的直線與圓相交于,兩點(diǎn),則(其中).特別地,當(dāng)時(shí),;當(dāng)斜率不存在時(shí),.【例3】已知直線與圓相交于兩點(diǎn),且(其中為原點(diǎn)),那么的值為___________【變式】已知直線和圓相交于兩點(diǎn).若,則的值為___________結(jié)論四、切線長(zhǎng)問題已知圓C和圓外的一條直線l,則過直線上的點(diǎn)作圓的切線,切線長(zhǎng)的最小值為,則若最小,只需最小即可,所以P點(diǎn)為過C作垂線的垂足時(shí),最小【例4】由直線上一點(diǎn)向圓引切線,則切線長(zhǎng)的最小值是（）. A.1 B. C. D.3【變式】過點(diǎn)作圓的切線,切線長(zhǎng)外為,點(diǎn)到直線的距離為,若,則（） A.或10 B.2或10 C.或 D.2或3結(jié)論五、圓與圓的位置關(guān)系判定步驟(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)判定步驟和半徑長(zhǎng);(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距,求;(3)比較的大小,寫出結(jié)論.【例5】若圓與圓外切,則正數(shù)的值是_________【變式】已知圓的方程為,圓的方程為,那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系不可能是(). A.外離 B.外切 C.內(nèi)含 D.內(nèi)切結(jié)論六、相交圓公共弦所在直線的方程設(shè)圓(1),圓(2),若兩圓相交,則有一條由得公共弦,由（1）(2)得(3)方程(3)表示圓與的公共弦所在直線的方程.【例6】已知圓和圓,求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng).【變式】若圓與圓的公共弦的長(zhǎng)為,則=_____結(jié)論七、與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值(1)記為圓心,圓外一點(diǎn)到圓上距離最小為,最大為;(2)過圓內(nèi)一點(diǎn)的弦最長(zhǎng)為圓的直徑,最短為以該點(diǎn)為中點(diǎn)孩的弦;(3)記圓心到直線的距離為,直線與圓相離,則圓上點(diǎn)到直線的最大距離為,最小距離為;(4)過兩定點(diǎn)的所有圓中,面積最小的是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓.【例7】已知圓,過點(diǎn)的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為(). A.1 B.2 C.3 D.4【變式】已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為(). A.4 B.5 C.6 D.7結(jié)論八、與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值1.形如形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題;2.形如形式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題;3.形