2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第53講 橢圓的定義和性質(zhì)-解析版20

第53講橢圓的定義和性質(zhì)通關(guān)一、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),,其中;當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),,其中.要點(diǎn)詮釋：1.這里的“標(biāo)準(zhǔn)”指的是中心在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí),才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中,都有和;3.橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上,當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為;當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為;4.在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中,因?yàn)?所以可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上.通關(guān)二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程a,b,c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中,三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān),是由橢圓本身的形狀大小所確定的,分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng),均為正數(shù),且三個(gè)量的大小關(guān)系為:,,且可借助右圖幫助記憶恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊,其中是斜邊,,為兩條直角邊.通關(guān)三、橢圓的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a,對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸，y軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)焦點(diǎn)F1(-c,0)F2(c,0)F1(0,-c)F2(0,-c)頂點(diǎn)A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，-b)，B2(0,b)A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)軸A1A2，B1B2為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦距|F1F2|=2c離心率a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2通關(guān)四、求橢圓的方程有兩種方法(1)定義法:根據(jù)橢圓的定義,確定的值,結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫(xiě)出橢圓方程.(2)待定系數(shù)法:這種方法是求橢圓方程的常用方法,一般步驟是：第一步,作判斷:根據(jù)條件判斷橢圓的焦,點(diǎn)是在軸上,還是在軸上,還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能(這時(shí)需要分類(lèi)討論);第二步,設(shè)方程:根據(jù)上述判斷設(shè)方程為或;第三步,找關(guān)系:根據(jù)已知條件,建立關(guān)于的方程組(注意橢圓中固有的等式關(guān)系);第四步,得橢圓方程:解方程組,將解代入所設(shè)方程,即所求.評(píng)注:當(dāng)橢圓焦點(diǎn)位置不明確時(shí),可設(shè)為,也可設(shè)為,且.結(jié)論一，橢圓定義的理解設(shè)橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為,則有,這一條件不能忽略.(1)若,則點(diǎn)的軌跡是線段;(2)若,則點(diǎn)的軌跡不存在.【例1】設(shè)定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足條件|,則點(diǎn)的軌跡是（）. A.橢圓 B.線段 C.不存在 D.橢圓或線段【答案】【解析】,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡是線段;當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡是橢圓.故選D.【變式】已知橢圓的焦點(diǎn)為在橢上,在的延長(zhǎng)線上,且,則點(diǎn)的軌跡形狀為（）.A.橢圓 B.雙曲線 C.圓 D.兩條平行線 【答案】【解析】因?yàn)?即,所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心,為半徑的圓.故選.結(jié)論二、橢圓上點(diǎn)的性質(zhì)若P為糊圓上一點(diǎn),則.【例2】已知橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5,則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）. A.2 B.3 C.5 D.7 【答案】B【解析】設(shè)所求距離為,由題意得.根據(jù)橢圓的定義得,所以.故選B.変式若為橢圓上一點(diǎn),分別是圓和上的點(diǎn),則的取值范圍是（）. A. B. C. D.【答案】【解析】從題意中容易知道為橢圓的左右焦點(diǎn),于是.于是有.而,于是.故選.結(jié)論三、焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)若P為橢圓上一點(diǎn),則的周長(zhǎng)為定值.【例3】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在上,且的周長(zhǎng)為16,則的值是（）. A.2 B.3 C. D.4【答案】D【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,焦距為,則.由橢圓定義可知,的周長(zhǎng)為,所以.因?yàn)?所以解得.故選.【變式】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在橢圓上,則的周長(zhǎng)為_(kāi)____________【答案】【解析】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)在橢圓上,則,則,則,故的周長(zhǎng)為.結(jié)論四、焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)拓展若AB過(guò)村圓的左焦,點(diǎn)則的周長(zhǎng)為4a【例4】過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的弦與另一個(gè)焦點(diǎn)圍成的三角形的周長(zhǎng)是___________【答案】18【解析】的周長(zhǎng),因?yàn)闉闄E圓上的點(diǎn),故.故的周長(zhǎng)為.【變式】已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)的直線交尼圓于兩點(diǎn),若,則_____________【答案】18【解析】,故.結(jié)論五、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)于方程(1)表示橢圓的充要條件為;(2)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的充要條件為;(3)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的充要條件為.【例5】已知表示焦點(diǎn)在軸上的橢員,則的取值范圍是（）.A.或 B. C. D.或【答案】【解析】由解得或.故選.【變式】若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榉匠?即表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,所以,,故.故選D.結(jié)論六、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法1.待定系數(shù)法:(1)若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點(diǎn)位置,可先設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再吐題設(shè)確定方程中的參數(shù),即“先定型,再定量”.(2)由題目中條件不能確定焦,點(diǎn)位置,一般需分類(lèi)議論;有時(shí)也可設(shè)其方程的一般式:且.2.定義法:先分析題設(shè)條件,判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡,然后根枯橢圓的定義確定方程,即“先定型,再定量".利用該方法求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),要注意是否需先建立平面直角坐標(biāo)系再解題.【例6】已知橢圓的中心在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),),則橢圓的方程為_(kāi)_______【答案】【解析】設(shè)所求的橢圓方程為.因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),,所以,解得.故所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.【變式】已知橢圓的中心在原點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12,離心率為,則橢圓的方程是____________答案或【解析】由題意知,所以,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.結(jié)論七、橢圓的通徑過(guò)焦點(diǎn)作長(zhǎng)軸垂線與粗圓的交點(diǎn)為$A,B,$則$AB$即為橢圓通徑,.【例7】橢圓的焦點(diǎn)為,過(guò)垂直于軸的直線交橢圓于一點(diǎn),那么的值是________【變式】【解析】顯然,于是可求得,所以.【變式】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上,若是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則點(diǎn)到軸的距離為（）. A. B.3 C. D.【答案】【解析】因?yàn)?所以頂角為直角的情況不存在;而底角為直角時(shí),到軸的距離為通徑的一半,即.故選.結(jié)論八、橢圓的焦半徑若點(diǎn)在上,則（左加右減）【例8】橢圓上點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2,則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_______________【答案】【解析】由橢圓方程可知,所以c2【變式】已知橢圓,在橢圓上存在一點(diǎn),它到兩焦點(diǎn)距離之積為16,則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________【答案】或【解析】顯然橢圓焦點(diǎn)在軸上,由橢圓方程得,所以.設(shè),故由題意有=25-,解得.代人橢圓方程,得,所以所求點(diǎn)為或.結(jié)論九、焦半徑最值F為橢圓的其中一個(gè)焦,點(diǎn),若P是橢圓上的點(diǎn),則a-c≤|PF|≤a+c【例9】直線(其中是實(shí)數(shù)圓相交于兩點(diǎn),且是直角三角形是坐標(biāo)原點(diǎn)),則點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最大值為（）. A. B.2 C. D.【答案】【解析】圓的圓心到直線的距離為,所以,即.因此所求距離為橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,其最大值為.故選A.【變式】橢圓的右焦點(diǎn)為,其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.在橢圓上存在點(diǎn)滿足線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn),則橢圓離心率的取值范圍是(). A. B. C. D.【答案】【解析】1由題意,橢圓上存在點(diǎn),使得線段的垂直平分線過(guò)點(diǎn),即點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等,而|,,于是,即,所以.又,故.故選D.結(jié)論十、橢圓中的線段和差最值設(shè)橢圓方程為分別為構(gòu)圓的左、右焦,點(diǎn),為平面上一定點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn).1.若定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,則;2.若定點(diǎn)在橢圓外部,則.【例10】橢圓的左焦點(diǎn)為為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),是圓上的動(dòng)點(diǎn),則的最大值是_____________【答案】17【解析】圓的圓心為,半徑為.由橢圓方程可知,所以,左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為【變式】已知橢圓的方程為，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值和最小值分別是______________，_______________【答案】【解析】因?yàn)?因此有，又,所以,即的最大值和最小值分別是和.結(jié)論十一、焦點(diǎn)三角形面積若點(diǎn)在上，設(shè)，則△的面積.,即與短軸端點(diǎn)重合時(shí)面積最大.特別地，若,此三角形面積為.【例11】已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若△的面積為，則_____________________【答案】【解析】解法一依題意，有，可得，即，故有.解法二由橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式得,所以.【變式】已知是橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上且，則△的面積為_(kāi)___【答案】【解析】利用橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式得.結(jié)論十二、焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，△的內(nèi)切圓半徑為，則.【例12】點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且△的內(nèi)切圓半徑為，當(dāng)在第一象限時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_(kāi)_________________【答案】【解析】,,所以.【變式】已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若△的內(nèi)切圓的直徑為3，則此橢圓的離心率為（）. A. B. C. D.【答案】【解析】由橢圓的定義可知△的周長(zhǎng)為.設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，則△的面積，整理得，又，，故得，所以橢圓的離心率為.故選.結(jié)論十三、與焦點(diǎn)有關(guān)的三角形面積已知是過(guò)焦點(diǎn)的弦，則的面積.【例13】橢圓=1的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),則的周長(zhǎng)為_(kāi)_________；若兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，且的面積是1，則的值為_(kāi)_________.【答案】81【解析】因?yàn)椋?，所以的周長(zhǎng)為。因?yàn)?，所以,即c=1，所以=+=，即.故填“8”“1”.【變式】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),則的周長(zhǎng)是_______；若的內(nèi)切圓的面積為，兩點(diǎn)的坐標(biāo)別為和，則的值為_(kāi)________.【答案】16【解析】因?yàn)椋?，所以周長(zhǎng)為.因?yàn)閮?nèi)切圓面積為,所以半徑為1，即的面積為.又因?yàn)?，所以即，所?+=，即.故填“16”“”.結(jié)論十四、橢圓焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)已知橢圓，經(jīng)過(guò)其焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，橢圓的離心率，則焦點(diǎn)弦長(zhǎng).【例14】過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則為_(kāi)_________.【答案】【解析】由題知,所以.由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得.【變式】過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直橢圓于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),則的面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】由題知,所以.由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得.過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程，即,到的距離，所以.結(jié)論十五、橢圓離心率的幾何意義當(dāng)越趨近于1時(shí)，越接近于0,橢圓越扁;當(dāng)越趨近于0時(shí),越接近于1,橢圓越接近于圓.【例15】已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程,隨著的增大該橢圓的形狀(). A．越接近于圓 B.越扁 C.先接近于圓后越扁 D.先越扁后接近于圓

【答案】【解析】橢圓方程為焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程,所以,解得，

由于在不斷增大，即離心率不斷減小,所以橢圓的形狀越來(lái)越接近于圓.故選A.【變式】

如圖所示,“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球,在月球附近一點(diǎn)變軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛(wèi)星在點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的攤圓軌道Ⅱ繞月飛行,最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行,若用和,分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用和,分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸的長(zhǎng),給出下列式:

=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；其正確式子的序號(hào)是(

). =1\*GB3①=3\*GB3③ =2\*GB3②=3\*GB3③ =1\*GB3①=4\*GB3④ =2\*GB3②=4\*GB3④【答案】【解析】由題意知,故=2\*GB3②正確,又因?yàn)闄E圓由軌道Ⅱ變成軌道Ⅰ時(shí)越來(lái)越扁,設(shè)為軌道Ⅰ和軌道Ⅱ?qū)?yīng)的橢圓的離心率,所以，,故③正確.故選B

結(jié)論十六、黃金橢圓

橢圓中，若成等比數(shù)列，即【例16】已知橢圓

(1)若長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率為_(kāi)_____________(2)若長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距成等比數(shù)列,則該橢圓的離心率為_(kāi)_______________【答案】(1)(2)【解析】(1)由題設(shè)可知,且,故,

即,即,所以(2)由題設(shè)可知,且，故，即，由，可得，解得或（舍去），所以【變式】

已知橢圓，A是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),B是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn),F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若,則該橢圓的離心率為（）。 【答案】

B【解析】由射影定理有.故選B.結(jié)論十七、離心率的定義表示【例17】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,線段的中點(diǎn)在y軸上,若,則橢圓的離心率為(）. 【答案】

A【解析】本題存在焦點(diǎn)三角形,由線段的中點(diǎn)在y軸上,0為的中點(diǎn),可得軸，從而,又因?yàn)?，則直角三角形中，,且,所以.故選A.【變式】在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC頂點(diǎn)B(?2,0)和C(2,0),頂點(diǎn)A在橢圓上，則____________【答案】2【解析】因?yàn)?.所以c2=4,即c=2.故B,.結(jié)論十八、離心率的正弦表示設(shè)為橢圓的左右焦點(diǎn),P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),若,,則橢圓的離心率為.【例18】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,P是C上的點(diǎn)，，,則C的離心率為(). A.36 B.13C.1【答案】D【解析】解法一設(shè),則,即故選D.解法二.故選D.【變式】已知是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若,且∠PF2F1=60°,則CA.B.C.D.【答案】D【解析】解法一設(shè),則,,.故選D.解法二.故選D..結(jié)論十九、離心率范圍與焦點(diǎn)三角形頂角關(guān)系設(shè)為橢圓的左、右焦點(diǎn),P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),若,則橢圓的離心率e的取值范圍為【例19】已知為橢圓的左、右焦點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn)P,使,則橢圓的離心率e的取值范圍為（）. A. B. C. D.【答案】B【解析】解法一由橢圓上存在點(diǎn),使,可得以原點(diǎn)為圓心，以c為半徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，所以c≥b,所以,所以,所以.又0<e<1,所以22≤e<1,即橢圓離心率e的取值范圍為.解法二由得sin45°≤e<1,所以22≤【變式】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,若橢圓上存在點(diǎn)P使得是鈍角,則橢圓離心率的取值范圍是(). A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè),由得,所以22<e<1.故選B.結(jié)論二十、離心率的焦半徑比值表示若橢圓上存在點(diǎn)P使得，則.【例20】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是.若P為其上一點(diǎn).且=2，則此橢圓離心率的取值范圍是_________________.【答案】【解析】解法一由+=,=,得=,=.又-，即，得<.故離心率的取值范圍為解法二因?yàn)?隨著點(diǎn)P的左移，增大，故減小，因此隨點(diǎn)的左移遞減。故點(diǎn)在右頂點(diǎn)時(shí)，<故離心率的取值范圍為.解法三由題知<.故離心率的取值范圍為.【變式】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是.若為其上一點(diǎn)，且=，則此橢圓離心率的取值范圍是_________________.【答案】【解析】解法一由+=,=,得==.又得，故離心率的取值范圍為.解法二由題知，故離心率的取值范圍為.結(jié)論二十一、橢圓焦半徑比例模型1.已知橢圓，經(jīng)過(guò)其焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，橢圓的離心率滿足：或.2.已知橢圓，經(jīng)過(guò)其焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線的傾斜角為,橢圓的離心率滿足：或.【例21】已知橢圓：的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，若，則（） .1 . . .2【答案】【解析】由題知，帶入結(jié)論得解得.故選.【變式】已知橢圓：，過(guò)上焦點(diǎn)且斜率為3的直線與相交于兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率（） . . . .【答案】【解析】由題知，帶入結(jié)論得，解得.故選.結(jié)論二十二、橢圓焦半徑乘積范圍橢圓，，分別為其左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，有以下重要結(jié)論：①；②；③（當(dāng)且僅當(dāng)，即P為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最小值，且此時(shí)點(diǎn)P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角最大）.【例22】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1），又，故當(dāng)或時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以，即.（2）解法一 即.又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.所以