新教材2023版高中數(shù)學(xué)第4章統(tǒng)計(jì)4.1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性學(xué)生用書湘教版選擇性必修第二冊(cè)

4．1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系1．散點(diǎn)圖：由坐標(biāo)系及散點(diǎn)形成的數(shù)據(jù)圖．2．相關(guān)關(guān)系：如果兩個(gè)變量之間的關(guān)系近似地表現(xiàn)為一條________，則稱它們有線性相關(guān)關(guān)系，簡(jiǎn)稱為相關(guān)關(guān)系．3．函數(shù)關(guān)系：如果一個(gè)變量的取值完全依賴于另一個(gè)變量，各觀測(cè)點(diǎn)落在一條直線上，則稱它們線性相關(guān)，這實(shí)際上就是函數(shù)關(guān)系．4．相關(guān)系數(shù)：一般地，對(duì)于n個(gè)成對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，當(dāng)數(shù)據(jù){xi}，{yi}(i＝1，2，…，n)的標(biāo)準(zhǔn)差都不為0?時(shí)，我們稱r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－x）（yi－y）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－x）2\i\su(i＝1,n,)（yi－y）2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\a\vs4\al(x)y,\r(（\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－nx2）（\i\su(i＝1,n,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－ny2）))為{xi}，{yi}的相關(guān)系數(shù)．批注?當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差為0時(shí)，數(shù)據(jù){xi}，{yi}(i＝1，2，…，n)全部相同，表明數(shù)據(jù)離散程度為0.5．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：(1)rxy值范圍是[－1，1].當(dāng)0<rxy<1時(shí)，稱{xi}和{yi}________；當(dāng)－1<rxy<0時(shí)，稱{xi}和{yi}________；當(dāng)rxy＝0時(shí)，稱{xi}和{yi}不相關(guān)．(2)|rxy|越接近于1時(shí)，變量x，y的線性相關(guān)程度越高?，這時(shí)數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)分散在一條直線附近．(3)|rxy|越接近于0時(shí)，變量x，y的線性相關(guān)程度________．(4)rxy具有對(duì)稱性，即rxy＝ryx.(5)rxy僅僅是變量x與y之間線性相關(guān)程度的一個(gè)度量．rxy＝0只表示兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，并不說明變量之間沒有關(guān)系，它們之間可能存在非線性關(guān)系．批注?統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)rxy>0.8時(shí)，y有隨著x的增加而增加的趨勢(shì)，這時(shí)我們認(rèn)為{xi}和{yi}是高度正相關(guān)的；當(dāng)rxy<0.8時(shí)，y有隨著x的增加而減少的趨勢(shì)，這時(shí)我們認(rèn)為{xi}和{yi}是高度負(fù)相關(guān)的．要點(diǎn)二相關(guān)系數(shù)與向量夾角把兩組成對(duì)數(shù)據(jù)分別看作n維空間的兩個(gè)向量(x1，x2，…，xn)，(y1，y2，…，yn)，向量夾角的大小可以用余弦來(lái)刻畫，我們就用余弦來(lái)刻畫兩個(gè)向量的相關(guān)關(guān)系．設(shè)a＝(x1－x，x2－x，…，xn－x)，b＝(y1－y，y2－y，…，yn－y)，從而有cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x）（yi－y）,\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x）2·\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－y）2)).?當(dāng)夾角在[0，π2)當(dāng)夾角在(π2，π]當(dāng)夾角為π2時(shí)，余弦值為0批注?用兩組成對(duì)數(shù)據(jù)表示的向量在原點(diǎn)處夾角的余弦值與相關(guān)系數(shù)公式本質(zhì)上是一致的．基礎(chǔ)自測(cè)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若兩個(gè)變量正相關(guān)，則樣本相關(guān)系數(shù)大于0小于1.()(2)相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的相關(guān)性就越強(qiáng)．()(3)若相關(guān)系數(shù)r＝0，則兩變量x，y之間沒有關(guān)系．()2．下列兩個(gè)量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是()A．勻速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與位移的關(guān)系B．學(xué)生的成績(jī)和身高C．兒童的年齡與體重D．物體的體積和質(zhì)量3．若變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)r＝－0.9832，則變量y與x之間()A．具有很弱的線性相關(guān)關(guān)系B．具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系C．它們的線性相關(guān)關(guān)系還需要進(jìn)一步確定D．不確定4．如圖所示的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是________(填序號(hào)).題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1線性相關(guān)關(guān)系例1某零售店近5個(gè)月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表所示：商店名稱ABCDE銷售額x/千萬(wàn)元35679利潤(rùn)額y/百萬(wàn)元23345(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖；(2)觀察散點(diǎn)判斷利潤(rùn)額y關(guān)于銷售額x是否具有線性相關(guān)關(guān)系．如果具有線性相關(guān)關(guān)系，那么是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？方法歸納兩個(gè)變量是否線性相關(guān)的判斷方法鞏固訓(xùn)練1某個(gè)男孩的年齡與身高的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示．年齡x(歲)123456身高y(cm)788798108115120(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系．題型2相關(guān)系數(shù)例2互聯(lián)網(wǎng)使我們的生活日益便捷，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一調(diào)查機(jī)構(gòu)針對(duì)該市市場(chǎng)占有率較高的甲、乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)(以下稱外賣甲、外賣乙)的經(jīng)營(yíng)情況進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：日期1日2日3日4日5日外賣甲日接單：x(百單)529811外賣乙日接單：y(百單)2310515據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)r對(duì)y與x之間的相關(guān)性強(qiáng)弱進(jìn)行判斷．(若|r|>0.8，則可認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系)方法歸納相關(guān)系數(shù)可以反映兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度，即散點(diǎn)集中于一條直線的程度，其符號(hào)反映了相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性．用相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確的判斷相關(guān)的程度．鞏固訓(xùn)練2科研人員在對(duì)人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如下表：x(年齡/歲)26563949615327584160y(脂肪含量/%)14.531.421.226.334.629.617.833.525.935.2根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并推斷它們的相關(guān)關(guān)系及相關(guān)程度．參考數(shù)據(jù)及公式：eq\i\su(i＝1,10,)xiyi＝13527.8，eq\i\su(i＝1,10,)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝23638，eq\i\su(i＝1,10,)yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝7759.6，eq\r(43)≈6.56，eq\r(2935)≈54.18，相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\a\vs4\al(x)y,\r(\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－nx2)·\r(\i\su(i＝1,n,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－ny2)).題型3多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性例3某電器銷售公司的管理人員認(rèn)為，月銷售收入是廣告費(fèi)用的函數(shù)．下面是該公司近8個(gè)月的月銷售收入與廣告費(fèi)用數(shù)據(jù)，試分析其月銷售收入與電視廣告費(fèi)用、月銷售收入與報(bào)紙廣告費(fèi)用之間的相關(guān)關(guān)系．月銷售收入x/萬(wàn)元電視廣告費(fèi)用y/萬(wàn)元報(bào)紙廣告費(fèi)用z/萬(wàn)元9651.590229541.5922.52.59533.3943.52.3942.54.29432.5題型4相關(guān)系數(shù)與向量夾角例4用向量夾角分析例3中月銷售收入與電視廣告費(fèi)用、月銷售收入與報(bào)紙廣告費(fèi)用之間的相關(guān)關(guān)系．4．1成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一2.直線5.(1)正相關(guān)負(fù)相關(guān)(3)越低[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)√(2)×(3)×2．解析：A、D是函數(shù)關(guān)系；B是不相關(guān)關(guān)系；C是相關(guān)關(guān)系，故選C.答案：C3．解析：變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)r＝－0.9832，|r|＝0.9832，接近1，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，相關(guān)性越強(qiáng)，∴變量y與x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，故選B.答案：B4．解析：①是確定的函數(shù)關(guān)系；②中的點(diǎn)大都分布在一條曲線周圍；③中的點(diǎn)大都分布在一條直線周圍；④中點(diǎn)的分布沒有任何規(guī)律可言，x，y不具有相關(guān)關(guān)系．答案：②③題型探究·課堂解透例1解析：(1)散點(diǎn)圖如圖所示：(2)由散點(diǎn)圖可知，所有散點(diǎn)接近一條直線排列，所以利潤(rùn)額與銷售額是線性相關(guān)關(guān)系，由圖可知當(dāng)銷售額增加時(shí)，利潤(rùn)額呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，所以是正相關(guān)．鞏固訓(xùn)練1解析：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由圖知，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)接近一條直線排列，因此，認(rèn)為y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．例2解析：由題意知，x＝eq\f(5＋2＋9＋8＋11,5)＝7,y＝eq\f(2＋3＋10＋5＋15,5)＝7，樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)（xi－x）（yi－y）,\r(\i\su(i＝1,5,)（xi－x）2\i\su(i＝1,5,)（yi－y）2))＝eq\f(66,77)≈0.857>0.8.故可認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．鞏固訓(xùn)練2解析：x＝eq\f(1,10)(26＋56＋39＋49＋61＋53＋27＋58＋41＋60)＝47，y＝eq\f(1,10)(14.5＋31.4＋21.2＋26.3＋34.6＋29.6＋17.8＋33.5＋25.9＋35.2)＝27，r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\a\vs4\al(x)y,\r(\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－10x2)·\r(\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－10y2))＝eq\f(13527.8－10×47×27,\r(23638－10×472)×\r(7759.6－10×272))＝eq\f(8378,6\r(43)×4\r(2935))，因?yàn)閑q\r(43)≈6.56，eq\r(2935)≈54.18，所以r＝eq\f(8378,6×6.56×4×54.18)≈0.98，由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.98，可以推斷人體脂肪含量和年齡的相關(guān)程度很強(qiáng)．例3解析：由題意可得x≈93.75，y≈3.1875，z≈2.475，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(x))＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－x)2＝eq\f(1,8)[(96－93.75)2＋(90－93.75)2＋…＋(94－93.75)2]≈3.188，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(y))＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(yi－y)2＝eq\f(1,8)[(5－3.1875)2＋(2－3.1875)2＋…＋(3－3.1875)2]≈0.809，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(z))＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(zi－z)2＝eq\f(1,8)[(1.5－2.475)2＋(2－2.475)2＋…＋(2.5－2.475)2]≈0.727，sxy＝eq\f(x1y1＋x2y2＋…＋x8y8,8)－eq\a\vs4\al(x)y＝eq\f(1,8)(96×5＋90×2＋…＋94×3)－93.75×3.1875≈1.297，sxz＝eq\f(x1z1＋x2z2＋…＋x8z8,8)－eq\a\vs4\al(x)z＝eq\f(1,8)(96×1.5＋90×2＋…＋94×2.5)－93.75×2.475≈－0.031，所以rxy＝eq\f(sxy,sxsy)＝eq\f(1.297,\r(3.188)×\r(0.809))≈0.808，rxz＝eq\f(sxz,sxsz)＝eq\f(－0.031,\r(3.188)×\r(0.727))≈－0.020.上述結(jié)果表明月銷售收入與電視廣告費(fèi)用之間正相關(guān)程度高，月銷售收入與報(bào)紙廣告費(fèi)用之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系．例4解析：由于x≈93.75，y≈3.1875，z≈2.475，將例3表中的三組數(shù)據(jù)分別減去x，y，z．記x＝(x1－x，x2－x，…，x8－x)，y＝(y1－y，y2－y，…，y8－y)，z＝(z1－z，z2－z，…，z8－z).則可得x＝(2.25，－3.75，1.25，－1.75，1.25，0.25，0.25，0.25)，y＝(1.8125，－1.1875，0.8125，－0.6875，－0.1875，0.3125，－0.6875，－0.1875)，z＝(－0.975，－0.475，－0.975，0.025，0.825，－0.175，1.725，0.025)，于是有cos〈x，y〉＝eq\f(2.25×1.8125＋（－3.75）×（－1.1875）＋…＋0.25×（－0.1875）,\