現(xiàn)代數(shù)字信號處理課件：時頻分析與小波變換

時頻分析與小波變換10.1引言10.2信號的時頻域分析10.3小波變換10.4小波反變換及小波容許條件10.5多分辨率分析10.6離散小波變換和數(shù)字濾波器組10.7WVD、STFTSpectrogram和Scalogram的關(guān)系

10.1引言

圖10.1顯示了一個語音信號的波形，圖下部是五歲男孩發(fā)“Hood”音時的時間波形，右部為標(biāo)準(zhǔn)功率譜，其中隱含了四個頻率分量。從圖10.1可知，單從頻譜或單從時域，我們都無法看出信號的頻率隨時間變化的變化規(guī)律。但其上方的時變譜圖，即一個時間和頻率函數(shù)則清楚地描述了信號頻率的變化情況。由此圖不僅可以看出頻率隨時間的變化規(guī)律，而且可以通過圖中所顯示的相對亮度辨別信號的頻率分布密度。圖10.1“Hood”音的時頻譜

10.2信號的時頻域分析

10.2.1短時傅立葉變換(STFT)

STFT可以克服傳統(tǒng)傅立葉變換的局限，用一個時頻域聚集性都較好的基本函數(shù)集{γt，ω(τ)=γ(τ－t)ejωτ}與信號比較，從而分析展開信號，這就是STFT的基本思想。即給定一個信號s(t)∈L2(R)，其STFT為

(10.2.1)這個內(nèi)積公式反映了信號s(t)與基本函數(shù)γ(τ－t)ejωτ之間的相似程度，γ(t)函數(shù)通常時間持續(xù)期較短，往往被稱為窗函數(shù)。所以式(10.2.1)稱為短時傅立葉變換(STFT)或窗口傅立葉變換。

STFT的含義可解釋為:在時域用窗函數(shù)γ(t)去截信號s(t)，對截下來的局部信號作傅立葉變換，即得到t時刻該段信號的傅立葉變換。由于窗函數(shù)γ(t)時間持續(xù)期較短，s(τ)γ*(τ－t)的傅立葉變換反映了信號的局部頻域特性。不斷地移動t，也即不斷地移動窗函數(shù)γ(t)的中心位置，即可得到不同時刻的傅立葉變換。這些傅立葉變換的集合，即是STFTx(t，ω)，如圖10.2所示。顯然，STFT(t，ω)是變量(t，ω)的二維函數(shù)。圖10.2短時傅立葉變換我們還可以從另外一個概念來理解STFT。STFT變換中將信號與在時頻域中都是有限支撐的基本函數(shù)序列γ(τ－t)ejωτ作內(nèi)積。若函數(shù)γ(t)集中于t=0處，它的傅立葉變換Γ(ω)集中于ω=0處，則基函數(shù)序列γt，ω(τ)的時間中心

τ0=t(注意，t是移位變量)，其時寬為(10.2.2)即γt，ω(τ)的時間中心由t決定，但時寬和t無關(guān)。同理，γt,ω(τ)的傅立葉變換Γt，ω(υ)的頻率中心υ0=ω,而頻寬(10.2.3)也和中心頻率ω?zé)o關(guān)。那么式(10.2.1)中的STFT(t，ω)就表示了信號在[t－Δt,t+Δt]×[ω－Δω，ω+Δω]鄰域內(nèi)的特性。

不確定性原理如果，當(dāng)|t|→∞時，有(10.2.4)則(10.2.5)其中，Δt、Δω分別是時寬和頻寬，要使等號成立，要求s(t)為高斯函數(shù)，即

(10.2.6)證明:由式(10.2.2)和式(10.2.3)有:(10.2.7)(10.2.8)那么有(10.2.9)令ωS(ω)=H(ω)，代入式(10.2.9)有(10.2.10)其中我們采用了Parseval關(guān)系。由傅立葉變換的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得(10.2.11)把式(10.2.11)代入式(10.2.10)可得(10.2.12)由Schwarz不等式可得(10.2.13)因為(10.2.14)把式(10.2.14)插入式(10.2.13)中，可以得到不確定不等式關(guān)系式(10.2.5)。如果式(10.2.5)為等式，那么式(10.2.13)必須是等式，僅當(dāng)s′(t)=kts(t)，也就是s(t)如式(10.2.6)所示時等號才成立。

由此可見，STFT的時域和頻域的性能是互相矛盾的。如果選擇γ(t)使得時域具有較高的分辨率(Δt變小)，那么頻率分辨率就會惡化(Δω變大)。反之，如果選擇γ(t)使得頻域分辨率變好(Δω變小)，不可避免地就會降低時域性的分辨率(Δt較大)。在給定γ(t)的情況下，STFT的基函數(shù)γt，ω(τ)具有時-頻平面上的一個如下的分辨“細(xì)胞”:其中心在(t，ω)處，大小為Δt·Δω，不管(t，ω)取何值(即移到何處)，該“細(xì)胞”的面積始終保持不變。該面積的大小即是STFT的時-頻分辨率，如圖10.3所示。圖10.3STFT的時-頻分辨率

STFT的平方即|STFT|2，被稱為STFTSpectrogram(短時傅立葉變換譜圖)。STFTSpectrogram是簡單和有用的時頻譜，它是信號的二次函數(shù)，粗略地描述了信號在聯(lián)合時頻域內(nèi)的能量分布。盡管一般STFT是復(fù)數(shù)的，但STFTSpectrogram是實函數(shù)。例10.1

設(shè)x(t)由兩個高斯幅度線性調(diào)頻信號組合而成，這兩個信號一個時間中心在t1=50處，時寬Δt1=32，另一個時間中心在t2=90處，時寬Δt2也是32，調(diào)制信號的歸一化頻率都是0.25，如圖10.4(a)和(b)的上部所示。選擇g(τ)為Hanning窗，取窗的寬度為55，其STFT如圖10.4(a)所示，這時頻率定位是準(zhǔn)確的，而在時間上分不出這兩個“原子”信號的時間中心。我們將窗函數(shù)的寬度減為13，所得STFT如圖10.4(b)所示，這時，在時間上也實現(xiàn)了兩個中心的定位?？梢钥吹?，由于受不定原理的制約，我們對時間分辨率和頻率分辨率只能取一個折中，一個提高了，另一個就必然要降低，反之亦然。圖10.4窗函數(shù)寬度對時－頻分辨率的影響為了可以應(yīng)用數(shù)字信號處理，必須將STFT推廣到離散時間信號。在實際處理中，STFT中的傅立葉變換被替換為離散傅立葉變換，其結(jié)果是STFT在時頻域內(nèi)均為離散，因而適用于數(shù)字處理，即(10.2.15)其中，Δt代表時域采樣間隔，γ[k]≡γ(kΔt)是L點窗函數(shù)。式(10.2.15)稱為離散STFT，以區(qū)別于在頻域內(nèi)連續(xù)的離散時間STFT。不難證明離散STFT在頻域內(nèi)的周期函數(shù)

STFT[k，n]=STFT[k，n+lL]，l=0，±1，±2，±3，…與連續(xù)時間STFT類似。需指出的是，任意二維離散函數(shù)一般不一定是有效的離散短時傅立葉變換。10.2.2Wigner分布(WVD)

描述信號頻域狀態(tài)的表示方法主要有兩種:一種是線性表達(dá)(如傅立葉變換)，另一種是二次表達(dá)(如功率譜)。前面我們討論了線性的聯(lián)合時頻表達(dá):STFT。本節(jié)我們將討論一種二次或雙線性聯(lián)合時頻表達(dá)Wigner分布(Wigner

VilleDistuibution)。

信號s(t)、g(t)的傅立葉變換分別是S(jω)、G(jω)，那么，s(t)、g(t)的聯(lián)合Wigner分布定義為

(10.2.16)信號s(t)的自Wigner分布定義為(10.2.17)定義瞬時自相關(guān)函數(shù)為(10.2.18)則式(10.2.16)又可表示為(10.2.19)可以證明(10.2.20)(10.2.21)而所以自Wigner分布是實的。式(10.2.16)和式(10.2.17)給出了如何利用信號s(t)和g(t)

來得到Wigner分布，我們同樣也可以從頻域來描述WVD。令:

則對應(yīng)的傅立葉變換是根據(jù)卷積理論，式(10.2.16)變形為令2α=ω+Ω/2，則

(10.2.22)其中，。則自Wigner分布Auto-WVD為(10.2.23)例10.2

求高斯函數(shù)的Wigner分布:(10.2.24)其中，s(t)是單位能量的歸一化高斯函數(shù)，對應(yīng)的WVD是(10.2.25)表明高斯函數(shù)的WVD集中在原點(0，0)處，即信號的時頻中心。參數(shù)α控制WVD在時頻域內(nèi)的擴(kuò)展。α越大，則WVD在時域內(nèi)展開越小，在頻域內(nèi)展開越大，反之亦然。WVD的等高線圖由一系列同心橢圓組成，等高線下降到

e－1的橢圓如圖10.5所示，其面積為π。與例10.1的STFTSpectrogram比較，WVD分解更穩(wěn)定，不受窗函數(shù)的影響。對于STFT，最小橢圓面積(即等高線降到峰值的e－1倍時)是A=2π，為WVD的最小橢圓面積的兩倍。換句話說，如果用面積A作為標(biāo)準(zhǔn)，WVD的分辨率比STFTSpectrogram高兩倍。很容易證明式(10.2.25)同時滿足時域、頻域邊緣條件。圖10.5聚集在(0，0)的高斯函數(shù)的WVD分布10.2.3Wigner分布的性質(zhì)

Wigner分布有一系列有用的性質(zhì)，這是它得到廣泛應(yīng)用的主要原因，現(xiàn)分別予以討論。

1.時移

s(t)→WVDs(t，ω)

則

(10.2.26)

2.頻率調(diào)制則(10.2.27)

3.邊緣條件

時間邊緣:(10.2.28)頻率邊緣:(10.2.29)

4.時間尺度

令x′(t)=x(αt)，此處α為大于零的常數(shù)，則

5.信號的相乘

令y(t)=x(t)h(t)，則可以看出，兩個信號積的自WVD等于這兩個信號各自的WVD在頻率軸上的卷積。我們可以對無限長的信號加窗截短，這樣只會影響其頻率分辨率，而不影響其時域分辨率。

6.信號的濾波

令y(t)=x(t)*h(t)，則

7.瞬時頻率性質(zhì)令s(t)=A(t)ejj(t)，幅度A(t)和相位j(t)都是實函數(shù)，j(t)是信號的瞬時頻率(均值瞬時頻率)。對于Wigner分布而言，可以證明(10.2.30)也就是說在t時刻，WVD的均值瞬時頻率等于原信號的均值瞬時頻率。這一性質(zhì)十分重要，以前我們討論的STFT和WT的譜圖都不具備這樣的性質(zhì)。

通常，我們利用瞬時頻率特性式(10.2.30)來衡量時變譜是否能反映信號頻率分量的變化。對于理想時變譜，我們總希望滿足

(10.2.31)值得注意的是，Spectrogram和Scalogram均不滿足式(10.2.31)。

8.群時延性質(zhì)

假設(shè)，則相位一階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式－2πj′(ω)被稱為群時延。對于Wigner-Ville分布，可以證明(10.2.32)上式表明WVD的條件均值時間等于群時延。盡管其他許多時變譜也擁有WVD的所有有用特性，但沒有一種譜能像WVD那樣給高斯包絡(luò)信號提供如式(10.2.25)般理想的表達(dá)形式。即使有的譜可能滿足邊緣條件和瞬時頻率特性，但它們存在負(fù)值，而且不像式(10.2.25)那樣集中。式(10.2.25)表明在任意時間都存在多個頻率分量。也就是說，瞬時頻率不是時間的單值函數(shù)。信號能量是以均值瞬時頻率為中心發(fā)散的，瞬時帶寬并不是零。實際上，這一結(jié)論不僅對上面的例子成立，而且對任何能量有限的信號均成立。那么，什么是瞬時帶寬，信號能量又是怎樣關(guān)于均值瞬時頻率j′(t)發(fā)散的呢？因為式(10.2.25)所示的WVD非負(fù)，所以我們可以用條件方差來衡量瞬時帶寬。例如:

不幸的是，除了少數(shù)情況外，一般WVD會產(chǎn)生負(fù)值。其結(jié)果是我們不能用傳統(tǒng)的方差概念來衡量瞬時帶寬。當(dāng)WVD是負(fù)值時，它的條件方差(或信號能量的發(fā)散)也會產(chǎn)生負(fù)值，這顯然是無意義的。所以計算瞬時帶寬時一定要小心。

最后，正如短時傅立葉變換一樣，并非所有時變函數(shù)P(t，ω)都是WVD分布。例如:(10.2.33)該式就不是一個有效的WVD分布，因為沒有信號會在時域和頻域內(nèi)同時集聚。10.2.4WVD的交叉項

設(shè)信號s(t)=s1(t)+s2(t)，則有(10.2.34)例10.3

兩個復(fù)正弦信號和的Wigner分布。兩個復(fù)正弦信號的和s(t)=s1(t)+s2(t)=ejω1t+ejω2t，該信號的傳統(tǒng)功率譜為P(ω)=2πδ(ω－ω1)+2πδ(ω－ω2)(10.2.35)而其WVD為(10.2.36)WVDs(t,ω)=2πδ(ω－ω1)+2πδ(ω－ω2)+4πδ(ω－ωμ)cos(ωdt)其中，ωμ=(ω1+ω2)/2，ωd=ω1－ω2，分別表示兩復(fù)正弦信號在頻域內(nèi)的幾何中心和距離，如圖10.6所示。對于信號s1(t)=ejω1t，其Wigner分布為(10.2.37)圖10.6兩個正弦信號和的WVD分布這就是說，其WVD是聚集在頻率ω0處的，這正是我們所期望的結(jié)果。所以式(10.2.36)中的前兩項是信號在頻率ω1、ω2處的自項，而第三項則是在頻率ωμ處出現(xiàn)的一個強(qiáng)交叉項。與兩自項不同，交叉項不滿足非負(fù)性，而是以頻率ωd振蕩的。但交叉項的時間積分卻為零，即(10.2.38)交叉項的幅度是自項的兩倍，而ωd是交叉項振蕩的頻率，ω1與ω2相差越遠(yuǎn)，交叉項的振蕩頻率越高。因為式(10.2.36)所示的傳統(tǒng)功率譜在頻率ωμ處沒有信息，而且交叉項所含的能量為零，所以通常交叉項被認(rèn)為是干擾項。例10.4

兩個高斯函數(shù)和的WVD。

假設(shè)信號s(t)含有兩個調(diào)頻高斯信號，一個集中在(t1,ω1)，另一個集中在(t2,ω2)，即(10.2.39)則(10.2.40)如圖10.7所示，顯然可以看到信號的自項是非負(fù)的，交叉項位于兩個自項的中間(tμ，ωμ)，而且交叉項沿時間和頻率軸兩個方向都有振蕩，振蕩幅度是自項的兩倍，振蕩離開振蕩中心(tμ，ωμ)后就按指數(shù)衰減。振蕩頻率正比于td和ωd，其包絡(luò)也是高斯型的。

例10.4描述了交叉項的機(jī)理。實際上，交叉項反映了對應(yīng)自項對的互相關(guān)性，它的位置及振蕩頻率都由自項的時間、頻率中心決定。如果已知自項的位置，則可以準(zhǔn)確描述出對應(yīng)的交叉項。對于兩個高斯函數(shù)的和函數(shù)，其自項和交叉項都是對稱的，且在聯(lián)合時頻域內(nèi)聚集。為了研究交叉項對信號有用特性的影響，我們可以計算一些有用特性。圖10.7在兩自項之間(tμ，ωμ)處出現(xiàn)交叉項例如，利用式(10.2.40)，求出其時間邊緣條件:(10.2.41)第一項是對非負(fù)自項的求和，第二項是振蕩的交叉項，振蕩頻率ωd與兩自項在頻域內(nèi)的距離成正比。幅度A(t2d)隨著兩自項在時域內(nèi)的距離的增大而呈指數(shù)衰減，也就是說，兩自項相距越遠(yuǎn)，則交叉項所含能量越小。同樣可以證明其他性質(zhì)也成立，比如容易證明只有相距較近的自項產(chǎn)生的交叉項才對均值瞬時頻率有較大影響。10.2.5平滑的WVD和解析信號的WVD

在前面幾節(jié)我們已經(jīng)看到，多分量和信號的WVD是自項和交叉項的線性組合。其中通常自項是比較平滑的，而交叉項總有比較明顯的振蕩。因此，我們可以用一個低通濾波器H(t，ω)作用于WVD，以便減小交叉項的干擾:(10.2.42)由于低通濾波器的作用等價于“平滑”操作，因此式(10.2.42)被稱為平滑WVD(SmoothedWigner

VilleDistribution，SWVD)。通常，低通濾波可以在很大程度上抑制交叉項；但另一方面，平滑又降低了分辨率。所以在平滑度與分別率之間存在一種折中。式(10.2.42)也可以用于其他雙線性變換Cs(t，ω)，即任何雙線性變換均可以表示為WVDs(t，ω)與某個二維濾波器H(t，ω)的卷積:(10.2.43)然而，只有H(t，ω)是一個低通濾波器時，該變換才有平滑的作用。反之，Wigner分布也可以表示為某個雙線性變換Cs(t，ω)與一個二維濾波器G(t，ω)的卷積，即(10.2.44)除非G(t，ω)是一個低通濾波器，否則這一操作不會對Cs(t，ω)有平滑作用。通常，我們遇到的大多數(shù)信號是實信號，而實信號的頻譜總是共軛對稱的，這時，功率譜僅有一半含有信息量，另一半是冗余分量。對于實信號，它的負(fù)頻分量不僅引起冗余，還會造成交叉項。為了減少交叉項干擾，Boashash提出使用解析信號的WVD。因為解析信號是單邊帶信號，對應(yīng)的WVDa(t，ω)避免了所有與負(fù)頻分量有關(guān)的交叉項。

由于解析信號沒有負(fù)頻譜，所以就沒有正負(fù)頻譜之間的交叉項。圖10.8和圖10.9分別描述了跳頻實信號的WVD和相應(yīng)解析信號的WVDa。顯然，解析信號的WVD的效果有明顯改善。圖10.8跳頻信號(實信號)的WVD變換圖10.9跳頻信號(解析信號)的WVD變換然而，解析信號與原信號在許多方面都不一樣。例如，時域有限的實信號，它的解析信號不再是時域有限的，因為解析信號在頻域內(nèi)是帶限的。因此，在應(yīng)用解析函數(shù)時要小心，雖然解析函數(shù)與對應(yīng)實信號的正功率譜相同，但它的瞬時特性與原信號截然不同。

WVDa和WVD的關(guān)系可描述為

等價于(10.2.45)其中，H(Ω)是一個理想的低通濾波器(是一維低通，在頻域內(nèi)的門函數(shù))，截止頻率為2ω。按卷積定理，有(10.2.46)即是WVD與理想頻率低通濾波函數(shù)sin(2ωt)/t的卷積。由此可見，解析過程會導(dǎo)致信號WVD在時間軸方向的彌散，而且WVD低頻部分比高頻部分?jǐn)U展得寬。所以WVD

s的所有時域特性都受到破壞，如時域邊緣條件和瞬時頻率特性，但是WVDa損失有用特性換來的好處是交叉項干擾的減少。

10.3小波變換

10.3.1連續(xù)小波變換的定義

給定一個基本函數(shù)ψ(t)，令窗函數(shù)

(10.3.1)式中a、b均為常數(shù)，且a>0。顯然，ψa,b(t)是基本函數(shù)ψ(t)先作移位再作伸縮以后得到的。若a、b不斷地變化，我們可得到一族函數(shù)ψa,b(t)。式(10.3.1)中，b的作用是確定對x(t)分析的時間位置，也即時間中心。尺度因子a的作用是把基本小波ψ(t)作伸縮，由ψ(t)變成ψ(t/a)。當(dāng)a>1時，若a越大，則ψ(t/a)的時域支撐范圍(即時域?qū)挾?較之ψ(t)變得越大；當(dāng)a<1時，a越小，則ψ(t/a)的寬度越窄。這樣，a和b聯(lián)合確定了窗函數(shù)的中心及時間寬度，如圖10.10所示。

給定平方可積的信號x(t)∈L2(R)，定義x(t)的連續(xù)小波變換為(10.3.2)圖10.10基本小波的伸縮及參數(shù)a和b對窗函數(shù)的控制根據(jù)Parseval定理，由式(10.3.2)可得小波變換的頻域表達(dá)式為(10.3.3)很顯然，并非所有函數(shù)都能保證式(10.3.2)中表示的變換對于所有x∈L2(R)均有意義；另外，在實際應(yīng)用，尤其是信號處理以及圖像處理的應(yīng)用中，變換只是一種簡化問題、處理問題的有效手段，最終目的需要回到原問題的求解，因此，還要保證連續(xù)小波變換存在逆變換。10.3.2小波變換的特點

比較式(10.3.2)和式(10.3.3)對小波變換的兩個定義可以看出，如果ψa,b(t)在時域是有限支撐的，那么它和x(t)作內(nèi)積后將保證WTx(a,b)在時域也是有限支撐的，從而實現(xiàn)我們所希望的時域定位功能，也即使WTx(a,b)反映的是x(t)在b附近的性質(zhì)。同樣，若Ψa,b(Ω)具有帶通性質(zhì),即Ψa,b(Ω)圍繞著中心頻率是有限支撐的，那么Ψa,b(Ω)和X(Ω)作內(nèi)積后也將反映X(Ω)在中心頻率處的局部性質(zhì),從而實現(xiàn)好的頻率定位性質(zhì)。顯然，這些性能正是我們所希望的。問題是如何找到這樣的母小波ψ(t),使其在時域和頻域都是有限支撐的。有關(guān)小波的種類及小波設(shè)計的問題,我們將在后面作適當(dāng)討論。若ψ(t)的時間中心是t0，時寬是Δt，Ψ(Ω)的頻率中心是Ω0，帶寬是ΔΩ，那么ψ(t/a)的時間中心仍是t0，但時寬變成aΔt，ψ(t/a)的頻譜aΨ(aΩ)的頻率中心變?yōu)棣?/a，帶寬變成ΔΩ/a。這樣，ψ(t/a)的時寬－帶寬積仍是ΔtΔΩ，與a無關(guān)。這一方面說明小波變換的時－頻關(guān)系也受到不確定原理的制約，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波變換的一個性質(zhì)，也即恒Q性質(zhì)。定義(10.3.4)為母小波ψ(t)的品質(zhì)因數(shù)，對ψ(t/a)，其品質(zhì)因素為不論a為何值(a>0)，ψ(t/a)始終保持了和ψ(t)具有相同的品質(zhì)因數(shù)。恒Q性質(zhì)是小波變換的一個重要性質(zhì)，也是區(qū)別于其他類型的變換且被廣泛應(yīng)用的重要原因。圖10.11說明了Ψ(Ω)和Ψ(aΩ)的帶寬及中心頻率隨a變化的情況。

由圖10.10和圖10.11，我們可看到小波變換在對信號分析時有如下特點:當(dāng)a變小時，對x(t)的時域觀察范圍變窄，但對X(Ω)在頻率觀察的范圍變寬，且觀察的中心頻率向高頻處移動。反之，當(dāng)a變大時，對x(t)的時域觀察范圍變寬，頻域的觀察范圍變窄，且分析的中心頻率向低頻處移動。將圖10.10和圖10.11所反映的時－頻關(guān)系結(jié)合在一起，我們可得到在不同尺度下小波變換所分析的時寬、帶寬、時間中心和頻率中心的關(guān)系，如圖10.12所示。圖10.11Ψ(aΩ)隨a變化的說明圖10.12a取不同值時小波變換對信號分析的時-頻區(qū)間由式(10.3.2)，定義(10.3.5)為信號的“尺度圖(scalogram)”。它也是一種能量分布，但它是隨位移b和尺度a的能量分布，而不是簡單地隨(t，Ω)的能量分布的，即我們在前面所討論的時－頻分布。但由于尺度a間接對應(yīng)頻率(a小對應(yīng)高頻，a大對應(yīng)低頻)，因此，尺度圖實質(zhì)上也是一種時－頻分布。由于小波變換具有恒Q性質(zhì)及自動調(diào)節(jié)對信號分析的時寬/帶寬等一系列突出優(yōu)點，因此也被人們稱為信號分析的“數(shù)學(xué)顯微鏡”。10.3.3幾種小波基函數(shù)

1.Haar小波

Haar小波來自于數(shù)學(xué)家Haar于1910年提出的Haar正交函數(shù)集，其定義是(10.3.6)其波形如圖10.13所示。ψ(t)的傅立葉變換是(10.3.7)圖10.13Harr小波

2.Morlet小波

Morlet小波定義為(10.3.8)其傅立葉變換為(10.3.9)它是一個具有高斯包絡(luò)的單頻率復(fù)正弦函數(shù)?？紤]到待分析的信號一般是實信號，所以在MATLAB中將式(10.3.9)改造為

(10.3.10)并取Ω0=5。該小波不是緊支撐的，理論上講，可取－∞~+∞。但是當(dāng)Ω0=5，或再取更大的值時，ψ(t)和Ψ(Ω)在時域和頻域都具有很好的集中，如圖10.14所示。

Morlet小波不是正交的，也不是雙正交的，可用于連續(xù)小波變換。但該小波是對稱的，是應(yīng)用較為廣泛的一種小波。圖10.14Morlet小波

3.Mexicanhat小波

該小波的中文名字為“墨西哥草帽”，又稱Marr小波。它定義為

(10.3.11)式中，，其傅立葉變換為(10.3.12)該小波是由一高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所得到的，它沿著中心軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的三維圖形猶如一頂草帽，故由此而得名。其波形和其頻譜如圖10.15所示。該小波不是緊支撐的，不是正交的，也不是雙正交的，但它是對稱的，可用于連續(xù)小波變換。由于該小波在Ω=0處有二階零點，因此它滿足容許條件，且該小波比較接近人眼視覺的空間響應(yīng)特征，因此它在1983年即被用于計算機(jī)視覺中的圖像邊緣檢測[14]。圖10.15墨西哥草帽小波

4.Gaussian小波

高斯小波是由一基本高斯函數(shù)分別求導(dǎo)而得到的，定義為(10.3.13)式中定標(biāo)常數(shù)是保證||ψ(t)||2=1。該小波不是正交的，也不是雙正交的，也不是緊支撐的。當(dāng)k取偶數(shù)時，ψ(t)正對稱；當(dāng)k取奇數(shù)時，ψ(t)反對稱。圖10.16給出了k=4時ψ(t)的時域波形及對應(yīng)的頻譜。圖10.16高斯小波，取k=4

10.4小波反變換及小波容許條件

定理1

設(shè)x1(t)、x2(t)和ψ(t)∈L2(R)，x1(t)、x2(t)的小波變換分別是和，則(10.4.1)式中Ψ(Ω)為ψ(t)的傅立葉變換。證明：由小波變換的頻域定義，式(10.4.1)的左邊有

假定積分存在，再由Parseval定理，上述的推導(dǎo)最后為定理2

設(shè)x(t)，ψ(t)∈L2(R)，記Ψ(Ω)為ψ(t)的傅立葉變換，若(10.4.2)則x(t)可由其小波變換WTx(a，b)來恢復(fù)，即(10.4.3)證明:

設(shè)x2(t)=δ(t－t′)，則〈x1(t)，x2(t)〉=x(t′)將它們分別代入式(10.4.1)的兩邊，再令t′=t，于是有得證。定理3

設(shè)(a0，b0)是(a，b)平面上的任一點，建立在(a，b)上的二維函數(shù)WTx(a，b)是某一函數(shù)的小波變換的充要條件是它必須滿足如下的重建核方程，即(10.4.5)式中，WTx(a0，b0)是WTx(a，b)在(a0，b0)處的值。

(10.4.6)稱為重建核。證明:

由式(10.3.2)小波變換的定義，有將式(10.4.3)代入該式，有

此即式(10.4.5)和式(10.4.6)。

10.5多分辨率分析

設(shè){Vm}，m∈Z是L2(R)空間中的一系列閉合子空間，如果它們滿足如下六個性質(zhì)，則稱{Vm}，m∈Z是一個多分辨率分析：

(1)

(m，k)∈Z2，若x(t)∈Vm則x(t－2mk)∈Vm;

(2)

m∈Z，Vm

Vm+1，即…V0

V1

V2…Vm

Vm+1…；

(3)

m∈Z，若x(t)∈Vm，則x(2t)∈Vm+1;(4)(5)

(6)存在一個函數(shù)φ(t)∈V0，其時移φ(t－n)，n∈Z就構(gòu)成了V0中一組正交基底，即性質(zhì)(2)說明，在尺度2m+1(或m+1)時，對x(t)做分辨率為2－m－1的近似，其結(jié)果將包含較低一級分辨率2－m時對x(t)近似的所有信息，此即空間的包含。性質(zhì)(4)說明當(dāng)m→∞時，分辨率2－m→0，這時我們將會失去x(t)的所有信息，也即從空間上講，所有Vm(m=－∞~+∞)的交集為零空間。由性質(zhì)(3)，如果φ(t/2)∈V0，則φ(t)∈V1。根據(jù)性質(zhì)(6)，有常數(shù)hn滿足：(10.5.1)對式(10.5.1)兩邊取傅立葉變換得(10.5.2)其中，Φ(ω)表示φ(t)的傅立葉變換；H(ω)表示hn的離散傅立葉變換，它在頻域是周期的。只要Φ(0)≠0，那么H(0)=1。這說明H(ω)是一個低通濾波器。如果我們繼續(xù)進(jìn)行這樣的分解，則有(10.5.3)通常令Φ(0)=1，也就是說Φ(0)=∫φ(t)dt=1，φ(t)是歸一化尺度函數(shù)。將式(10.5.3)代入式(10.5.2)有(10.5.4)到目前為止我們已經(jīng)證明正交尺度函數(shù)φ(t)可以通過一個低通濾波器H(ω)來產(chǎn)生，其中H(0)=1，H(π)=0。為了計算母小波，我們這里引入另一個函數(shù)G(ω)，且有

H(ω)G*(ω)+H(ω+π)G*(ω+π)=0，ω

(10.5.5)

H(ω)和G(ω)對就被稱為多分辨率分析中的正交鏡像濾波器。式(10.5.5)的一個解是

G(ω)=－e－jωH*(ω+π)

(10.5.6)

將H(0)=1，H(π)=0代入式(10.5.6)得到G(0)=0和G(π)=1。這說明G(ω)是一個高通濾波器。從式(10.5.6)可以算得G(ω)的傅立葉反變換為

gk=(－1)kh1－k (10.5.7)設(shè)φ(t)是一個函數(shù)，它的傅立葉變換Ψ(ω)滿足(10.5.8)于是相應(yīng)的時間關(guān)系是(10.5.9)

10.6離散小波變換和數(shù)字濾波器組

在前面討論的基礎(chǔ)上，我們可以推論出如果對有限的k有

，則s(t)可以完全用下式來表示:

(10.6.1)因為，式(10.6.1)可以寫作:(10.6.2)利用Parseval等式，我們可得到(10.6.3)對一個歸一化的φ(t)，也就是Φ(0)=1，當(dāng)k很大時，式(10.6.3)可以簡化為(10.6.4)這意味著ck，n近似等于信號s(t)在t=2－kn時的采樣值加上一個2－k/2的幅度變化。k值越大，分辨率越高，則誤差越小。不失一般性，令(10.6.5)因為(10.6.6)通過交換求和與積分的次序，式(10.6.6)變?yōu)?10.6.7)這意味著，一旦ck，n已知，我們就能通過一個低通濾波器H(ω)遞歸地計算cm，n，其中m<k。圖10.17圖解了式(10.6.7)中的操作。圖中低通濾波器后緊跟的模塊表示的是2倍的下采樣。圖10.17通過一個低通濾波器可以由高分辨率系數(shù)ck，n

遞歸地計算出低分辨率系數(shù)ck－1，n類似地，我們能證明:(10.6.8)其中g(shù)k是正交鏡像濾波器中的高通濾波器，而dm，n是小波序列系數(shù)。式(10.6.7)和式(10.6.8)說明我們可以按圖10.18所示那樣利用數(shù)字濾波器組來得到dm，n。有趣的是，對離散采樣信號，小波變換可以直接通過利用濾波器組來完成，而不需要計算母小波函數(shù)φ(t)。圖10.18通過數(shù)字濾波器實現(xiàn)離散小波變換式(10.6.7)和式(10.6.8)告訴我們，如果給定了高分辨率的系數(shù)，我們就可以直接計算低分辨率的系數(shù)。反之，我們也可以基于低分辨率系數(shù)計算高分辨率系數(shù):(10.6.9)證明由式(10.6.7)和式(10.6.8)，式(10.6.9)的右邊可以寫作:

(10.6.10)為了得到式(10.6.10)，我們不得不證明：(10.6.11)存在兩種情況:n+k是奇數(shù)和n+k是偶數(shù)。當(dāng)n+k是奇數(shù)，也就是n+k=2p+1,p是一個整數(shù)，式(10.6.11)的左邊可以簡化為

(10.6.12)當(dāng)n+k是偶數(shù)時，也就是說，n+k=2p，p是一個整數(shù)，式(10.6.12)的左邊可以簡化為(10.6.13)因為2i是偶數(shù)，2i+1是奇數(shù)，我們能將式(10.6.12)與式(10.6.13)合成一個:

(10.6.14)因為低通濾波器H(ω)滿足H(ω)H*(ω)+H(ω+π)