四川省瀘州市瀘縣第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

瀘縣四中高2023級(jí)高一上期期末考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知命題：，，則它的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知條件，利用命題否定的定義即可求解.【詳解】由全稱命題的否定的概念可知，命題的否定為：，.故選：D.2.設(shè)集合，若，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，而，，所以，所?故選：D.3.已知冪函數(shù)的圖象過，則下列求解正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用冪函數(shù)過的點(diǎn)求出冪函數(shù)的解析式即可逐項(xiàng)判斷正誤【詳解】∵冪函數(shù)y＝xα的圖象過點(diǎn)（2，），∴2α，解得α，故f（x），即，故選A【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的定義，是一道基礎(chǔ)題．4.不等式的解集是（）A.或 B.C或 D.【答案】A【解析】【分析】直接解分式不等式即可.【詳解】由或，所以不等式的解集為：或，故選：A.5.已知函數(shù)的最小正周期是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的最小正周期可求得的值，由當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，可求出的值，可得出函數(shù)的解析式，然后代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是，則，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則，所以，，所以，，其中，因此，.故選：B.6.若且，則的最小值是A.6 B.12 C.24 D.16【答案】D【解析】【詳解】試題分析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為16考點(diǎn)：均值不等式求最值7.中國茶文化博大精深．茶水口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．已知室內(nèi)的溫度為，設(shè)茶水溫度從開始，經(jīng)過x分鐘后的溫度為．y與x的函數(shù)關(guān)系式近似表示為，那么在室溫下，由此估計(jì)，剛泡好的茶水大約需要放置多少分鐘才能達(dá)到最佳口感（參考數(shù)據(jù)：）（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)，列出等量關(guān)系式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可求得.【詳解】由題意降至?xí)r口感最佳，即，帶入函數(shù)關(guān)系式即得，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，所以.故選：B8.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，若，則（）A.50 B.2 C.0 D.50【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件可判斷函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，從而求得．【詳解】解：是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，的圖象關(guān)于對(duì)稱，是以4為周期的周期函數(shù)，又，，，，，故選：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A.1 B. C. D.3【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，分別討論與，然后代入檢驗(yàn)，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，且，?dāng)時(shí)，即，此時(shí),，滿足；當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，，，滿足；當(dāng)時(shí)，，，滿足；綜上所述，實(shí)數(shù)的值可以是.故選：ABD10.關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立的充分不必要條件有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】先求二次不等式恒成立的充要條件，得解集，則充分不必要條件是集合的非空真子集，驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】當(dāng)不等式對(duì)任意恒成立時(shí)，有，解得，記.當(dāng)?shù)娜≈捣秶羌系姆强照孀蛹瘯r(shí)，即為不等式對(duì)任意恒成立的充分不必要條件，AB選項(xiàng)中的范圍滿足題意.故選：AB11.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.是圖象的一條對(duì)稱軸C.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 D.在上單調(diào)遞減【答案】BD【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換得出函數(shù)的解析式，利用整體代入法結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷B、C、D的正誤，計(jì)算的值可判斷A選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由題意知.所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以是函?shù)圖象的一條對(duì)稱軸，B項(xiàng)正確；因?yàn)?，故不是函?shù)圖象的對(duì)稱中心，C項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，D項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式，同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)對(duì)稱性與單調(diào)性的判斷，一般利用整體代入法結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.12.定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的值域?yàn)?D.的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為6【答案】BC【解析】【分析】利用可判斷A；根據(jù)函數(shù)滿足的性質(zhì)推得直線和皆為的圖象的對(duì)稱軸，可判斷B；數(shù)形結(jié)合判斷C；數(shù)形結(jié)合，將的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，判斷D.【詳解】對(duì)A，由題意可知當(dāng)時(shí)，，故，則，即的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)誤；由于函數(shù)滿足，故4為函數(shù)的周期；對(duì)B，函數(shù)為偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即有，則，故的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，由于4為函數(shù)的周期，故直線和皆為的圖象的對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)C，由函數(shù)性質(zhì)作出函數(shù)的圖象如圖，可知函數(shù)值域?yàn)?，C正確；對(duì)D，方程的根即與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以與的圖象共有7個(gè)交點(diǎn)，即方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為7，故D錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）抽象函數(shù)的奇偶性以對(duì)稱性結(jié)合問題，往往要采用賦值法，推得函數(shù)周期性；（2）方程根的個(gè)數(shù)問題，往往采用數(shù)形結(jié)合，將根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題.第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.扇形的圓心角為，它所對(duì)的弧長是，則此扇形的面積為__________．【答案】【解析】【詳解】14.函數(shù)的值域?yàn)開_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式分段求出函數(shù)的值域，即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，綜上可得，故答案為：．15.已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則__________．【答案】【解析】【分析】由得函數(shù)的周期為2，然后利用周期和對(duì)化簡可得，從而可求得結(jié)果【詳解】解：由題意，函數(shù)滿足，化簡可得，所以函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，又由時(shí)，函數(shù)，且，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的周期性有關(guān)問題的求解策略：（1）求解與函數(shù)的周期性有關(guān)問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期；（2）解決函數(shù)周期性、奇偶性和單調(diào)性結(jié)合問題，通常先利用周期性中為自變量所在區(qū)間，再利用奇偶性和單調(diào)性求解．16.已知函數(shù)且在上單調(diào)遞增，且關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】由題意可知在兩段上均為增函數(shù)，且在上的最小值大于或等于，作出和的圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷與3的大小關(guān)系，以及直線和拋物線相切的條件，列出不等式組解出．【詳解】是上的單調(diào)遞增函數(shù)，在，上單調(diào)遞增，可得，且，即，作出和的函數(shù)草圖如圖所示：由圖象可知在上有且只有一解，可得，或，即有△，即有或；由，解得，即時(shí)，有且只有一解．則的范圍是，．故答案為，．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，結(jié)合函數(shù)圖象判斷端點(diǎn)值的大小是關(guān)鍵，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.求值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（2）利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】【小問2詳解】18.已知.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）上下同除，將正余弦化成正切即可計(jì)算；（2）借助，將原式化為齊次分式后上下同除，將正余弦化成正切后借助的值即可計(jì)算.【小問1詳解】，，解得；【小問2詳解】19.已知集合A＝，．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求AB，(A)B；（2）若AB＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．試從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問題中，并完成解答．①函數(shù)的定義域?yàn)榧螧；②不等式的解集為B．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用集合的運(yùn)算求解即可.（2）通過AB＝A得出，計(jì)算時(shí)注意討論A為空集的情況.【小問1詳解】選條件①：（1）當(dāng)時(shí)，，選條件②：此時(shí)集合與①相同，其余答案與①一致；【小問2詳解】若，則當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，即，解得綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為20.定義在上的函數(shù)，滿足，，當(dāng)時(shí)，（1）求的值；（2）證明在上單調(diào)遞減；（3）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）0（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）取，計(jì)算即可.（2）取任意且，則，得到，得到證明.（3）計(jì)算，不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合定義域得到答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則.【小問2詳解】取任意且，則，則所以.又因?yàn)闀r(shí)，所以，所以在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】因?yàn)椋?，故?不等式可化為，即，因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，故，解得，故不等式的解集為.21.已知某工廠要設(shè)計(jì)一個(gè)部件（如圖陰影部分所示），要求從圓形鐵片上進(jìn)行裁剪，部件由三個(gè)全等的矩形和一個(gè)等邊三角形構(gòu)成，設(shè)矩形的兩邊長分別為,（單位：cm），且要求，部件的面積是．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求定義域；（2）為了節(jié)省材料，請(qǐng)問x取何值時(shí)，所用到的圓形鐵片面積最小，并求出最小值．【答案】（1），；（2）時(shí)，面積最小，.【解析】【分析】（1）利用已知條件求出，然后求解函數(shù)的定義域即可．（2）設(shè)圓形鐵片半徑為R，則面積S=πR2，過圓心O作CD的垂線，垂足為E，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)OD，求出R的表達(dá)式，然后利用基本不等式求解最小值即可．【詳解】（1）由題意，利用矩形面積和正三角形的面積公式，可得，整理得，又由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，．?）設(shè)圓形鐵片半徑為R，則面積S=πR2，過圓心O作CD垂線，垂足為E，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)OD，則，所以=，因?yàn)閤2＞0，由基本不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以圓形鐵片的最小面積為（cm2），答：當(dāng)x=2時(shí)，所用圓形貼片的面積最小，最小面積為（cm2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，列出函數(shù)的解析式，通過基本不等式求解最小值是解題的關(guān)鍵，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．22.設(shè)函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）證明函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）若是否存在常數(shù)，，使函數(shù)在上的值域?yàn)?，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）偶函數(shù)，理由見解析（2）證明見解析（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】(1)利用偶函數(shù)的定義判斷即可；(2)證明內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)