高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1測(cè)評(píng)3-2第3課時(shí)利用向量求空間角

第三章空間向量與立體幾何3.2立體幾何中的向量方法第3課時(shí)利用向量求空間角課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.若平面α的一個(gè)法向量為n1=(1,0,1),平面β的一個(gè)法向量是n2=(3,1,3),則平面α與β所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°解析因?yàn)閚1·n2=(1,0,1)·(3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α與β所成的角等于90°.答案D2.已知A(0,1,1),B(2,1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),則直線AB和直線CD所成角的余弦值為()A.52266 BC.52222 D解析AB=(2,2,1),CD=(2,3,3),而cosAB,CD=AB·CD|AB||CD答案A3.如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,則AA1與平面AB1C1所成角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°解析取AB的中點(diǎn)D,連接CD,分別以AD,CD,DE所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故AA1=(0,0,3),而B(niǎo)1(1,0,3),C1(0,3,3),設(shè)平面AB1C1的法向量為m=(a,b,根據(jù)m·AB1=0,m·AC1=0,解得m=(3,3,2),cos<m,故AA1與平面AB1C1所成角的大小為30°,故選A.答案A4.已知二面角αlβ的大小為60°,b和c是兩條異面直線,且b⊥α,c⊥β,則直線b與c所成的角的大小為()A.120° B.90° C.60° D.30°解析設(shè)直線b,c的方向向量分別為b,c,因?yàn)閎⊥α,c⊥β,所以b,c分別是平面α,β的法向量,由二面角αlβ的大小為60°,可知b,c的夾角為60°或120°.因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為銳角或直角,所以直線b與c所成的角為60°.故選C.答案C5.在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為AD,C1D1的中點(diǎn),O為側(cè)面BCC1B1的中心,則異面直線MN與OD1所成角的余弦值為()A.16 B.14 C.16解析如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則M(1,0,0),N(0,1,2),O(1,2,1),D1(0,0,2),∴MN=(1,1,2),OD1=(1,2,1).則cos<MN,OD1>=MN·OD1|MN||答案A6.若兩個(gè)平面α,β的法向量分別是u=(1,0,1),v=(1,1,0),則這兩個(gè)平面所成的銳二面角的度數(shù)是.

解析設(shè)這兩個(gè)平面所成的銳二面角為θ,則|cosθ|=|u·v||答案60°7.已知在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是側(cè)棱CC1的中點(diǎn),則直線AE與平面A1ED所成角的正弦值為.

解析在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=4,E是側(cè)棱CC1的中點(diǎn),以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,A(2,0,0),E(0,1,2),A1(2,0,4),D(0,0,0),EA=(2,1,2),DA1=(2,0,4),DE=(0,1,2),設(shè)平面A1ED的法向量為n=(x,y,z),則n·DA1=2x+4z=0,n·DE=y+2z=0,取z=1,得n=(2,2,1),設(shè)直線AE與平面A1ED所成角為θ,則sinθ=|cos<AE,n>|=|EA·n||EA||答案48.在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的二面角的余弦值為.

解析建立空間直角坐標(biāo)系如圖,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則D(2,0,0),A1(0,0,2),E(0,2,1),則A1D=(2,0,2),A1E設(shè)平面A1ED的法向量為n=(x,y,z),則n則2x-2z=0,2y易知平面ABCD的法向量為m=(0,0,1),則cos<n,m>=n·答案29.如圖所示,四邊形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC與平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD所成角的余弦值.解(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),SC=(2,2,2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一個(gè)法向量為AB=(0,2,0),設(shè)SC與平面ASD所成的角為θ,則sinθ=|cos<SC,AB>|=|SC·AB||SC||AB|=33(2)平面SAB的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),∵SC=(2,2,2),SD=(1,0,2),設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),由SC令z=1可得平面SCD的一個(gè)法向量為n=(2,1,1),顯然,平面SAB和平面SCD所成角為銳角,不妨設(shè)為α,則cosα=m·n|m||n|=10.(選做題)如圖,在四棱錐PABCD中,BC⊥CD,AD=CD,PA=32,△ABC和△PBC均為邊長(zhǎng)為23的等邊三角形.(1)求證:平面PBC⊥平面ABCD;(2)求二面角CPBD的余弦值.解(1)取BC的中點(diǎn)O,連接OP,OA,因?yàn)椤鰽BC,△PBC均為邊長(zhǎng)為23的等邊三角形,所以AO⊥BC,OP⊥BC,且OA=OP=3.因?yàn)锳P=32,所以O(shè)P2+OA2=AP2,所以O(shè)P⊥OA,又因?yàn)镺A∩BC=O,OA?平面ABCD,BC?平面ABCD,所以O(shè)P⊥平面ABCD.又因?yàn)镺P?平面PBC,所以平面PBC⊥平面ABCD.(2)因?yàn)锽C⊥CD,△ABC為等邊三角形,所以∠ACD=π6,又因?yàn)锳D=CD,所以∠CAD=π6,∠ADC=2π3,在△ADC中,由正弦定理,得:ACsin以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)A,OB,OP為x,y,z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,3),B(0,3,0),D(2,3,0),BP=(0,3,3),BD=設(shè)平面PBD的法向量為n=(x,y,z),則n令z=1,則平面PBD的一個(gè)法向量為n=(3,3,1),依題意,平面PBC的一個(gè)法向量m=(1,0,0),所以cos<m,n>=m·故二面角CPBD的余弦值為313能力提升1.在正方體ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則sin<DB1,CM>A.12 B.21015 C.23解析如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M1,12,0,∴DB1=(1,1,1),CM=1,-12,0,答案B2.如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB,A1D1的中點(diǎn)分別為E,F,則直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值為()A.55 B.306 C.66解析以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則E(2,1,0),F(1,0,2),EF=(1,1,2),取平面AA1D1D的法向量為n=(0,1,0),設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為θ,則sinθ=|cos<EF,n>|=|EF·n||EF||n|=66,∴直線EF答案C3.二面角的棱上有A,B兩點(diǎn),直線AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,則該二面角的大小為()A.150° B.45° C.60° D.120°解析由條件,知CA·AB=0,AB·BD則|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2AB·BD+2CA·BD=62+42+82+2×6×8cos<CA,BD>=(217)2即<CA,BD>=120°,二面角的大小為60答案C4.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱CD上的一動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論不正確的是()A.D1E∥平面A1B1BAB.EB1⊥AD1C.直線AE與B1D1所成角的范圍為πD.二面角EA1B1A的大小為π解析對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)槠矫鍯DD1C1∥平面A1B1BA,D1E?平面CDD1C1,所以D1E∥平面A1B1BA,故選項(xiàng)A正確;如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A(1,0,0),E(0,m,0),0≤m≤1,B1(1,1,1),D1(0,0,1),A1(1,0,1).對(duì)于選項(xiàng)B,EB1=(1,1m,1),AD1=(1,0,1),因?yàn)镋B1·AD1=(1,1m,1)·(1,0,1)=0,所以EB1對(duì)于選項(xiàng)C,AE=(1,m,0),B1D1=(1,1,0),設(shè)直線AE與B1D1則cosθ=|cos<AE,B1當(dāng)m=0時(shí),cosθ最大等于22,此時(shí)θ最小為π當(dāng)m=1時(shí),cosθ最小等于0,此時(shí)θ最大為π2,所以θ∈π即直線AE與B1D1所成角的范圍為π4,π2,對(duì)于選項(xiàng)D,二面角EA1B1A即二面角DA1B1A,因?yàn)锳1D1⊥平面AA1B1,AD1⊥平面A1B1D,則平面AA1B1的一個(gè)法向量A1D1=(1,0,0),平面A1B1D的一個(gè)法向量A所以cos<A1D1又二面角EA1B1A為銳角,所以二面角EA1B1A的大小為π4,故選項(xiàng)D正確故選C.答案C5.正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等,則AC1與平面BB1C1C的夾角的余弦值為.

解析設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為1,以B為原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,則C1(0,1,1),A32,12,0,AC1=設(shè)AC1與平面BB1C1C的夾角為θ.則sinθ=|cos<n,AC1>|=故cosθ=1-答案106.如圖,三棱柱OABO1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且∠O1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO1=2,OA=3,求異面直線A1B與O1A所成角的余弦值.解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB所在直線分別為x軸、y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(3,0,0),B(0,2,0),A1(3,1,3),O1(0,1,3),所以A1B=(3,1,3),O1A=(3,設(shè)所求的角為α,則cosα=|A即異面直線A1B與O1A所成角的余弦值為177.如圖,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的2倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).(1)求證:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACS的大小;(3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SC∶SE的值;若不存在,試說(shuō)明理由.(1)證明連接BD交AC于O,由題意SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.(2)解由題設(shè)知,連接BD,設(shè)AC交BD于O,由題意知SO⊥平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC,OS分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立坐標(biāo)系Oxyz如圖.設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則S0,0,62a,D22a,0,0,C0,22a,0.又SD⊥平面PAC,則平面PAC的一個(gè)法向量DS=22