西北工業(yè)大學(xué)矩陣論試題M2009A-解答

西北工業(yè)大學(xué)研究生課程考試答題紙矩陣論(M2009A)2010-01-05一、(18分)填空：1．設(shè)為3階實方陣，為數(shù)域上的線性空間中的元素，線性變換滿足，在什么條件下，元素組線性無關(guān)．〔線性無關(guān)，且可逆．〕2．是正交投影矩陣，且〔零矩陣〕，那么〔1〕．3.，問矩陣冪級數(shù)收斂還是發(fā)散？〔收斂〕其原因是〔〕．4．設(shè)為Givens矩陣，為Householder矩陣，為零矩陣，問是否有可能是Householder矩陣．〔有可能〕5．矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為．6．設(shè)的M-P逆為，為零矩陣，那么．二、(10分)設(shè)是上的向量范數(shù)，向量，對任意向量，定義實值函數(shù)，其中表示復(fù)數(shù)的模，證明：1．是上的向量范數(shù)；2．假設(shè)取〔向量的1-范數(shù)〕，那么〔向量的-范數(shù)〕．證1．任意．①：：②略．=3\*GB3③設(shè)，那么有故是上的向量范數(shù)．2．因為所以；設(shè)，那么有故．三、(15分)，，．1.求；2.用矩陣函數(shù)方法求微分方程滿足初始條件的解.解1．，2．，四、(10分)用Householder變換求矩陣的分解．解(1)，，，(2)，，令，那么有，，五、(10分)用Gerschgorin定理隔離矩陣〔〕的特征值．〔要求畫圖表示〕解①的4個蓋爾圓為；；；易見包含著．=2\*GB3②，：中心距為8，半徑和為6：中心距為，半徑和為9：中心距為，半徑和為7：中心距為11，半徑和為10的4個孤立蓋爾圓為；；；其中各含的一個特征值．注1：可取，注2：可取，六、(15分)的M-P逆為，．1.求矩陣；2.用廣義逆矩陣方法判斷線性方程組是否有解；3.求線性方程組的極小范數(shù)解，或者極小范數(shù)最小二乘解.〔要求指出所求的是哪種解〕解1.〔〕，：,；,2-3．，，有解；故是的極小范數(shù)解．七、(15分)多項式空間的子空間，其中，，，．1．求子空間的一個基；2．對于中的多項式，定義線性變換求的一個基，使在該基下的矩陣為對角矩陣．解1．子空間的一個基為，，．2．計算基象組：，，設(shè)，那么．求使得：，由可得，，在基下的矩陣為．注1：選取的基為時，有，，注2：選取的基為時，有，，注3：選取的基為時，有，，八、(7分)設(shè)線性空間的一個基為，線性變換在該基下的矩陣為，其中都是2階方陣，是2階零矩陣，證明：1．子空間是的不變子空間；2．假設(shè)，那么子空間不是的不變子空間．證1．記，由可得，任意，存在使得，于是有故是的不變子空間．2．記，，不妨設(shè)，因為，〔反證法〕所以不是的不變