第二十四章 相似三角形（50道壓軸題專練）

第二十四章相似三角形50題（5類壓軸題專練）壓軸題型一相似三角形的判定與性質(zhì)綜合1．（2023春·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，E、F為線段AB上兩動點，且，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．以下結(jié)論錯誤的是（

）

A． B．當(dāng)點E與點B重合時，C． D．2．（2023春·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知F是內(nèi)的一點，，，若四邊形的面積為2，，，則的面積是（）．A．6 B．8 C．10 D．123．（2023·福建·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，將沿的方向平移至，使得，其中E是與的交點，F(xiàn)是與的交點，則的長為（

）

A． B． C． D．4．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點是的中點，延長至點，使得，過點作于點，為的中點，給出結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）個．

A．4 B．3 C．2 D．15．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，為矩形的對角線，平分交于點，為邊的中點，連接分別交，于點，．若，，則線段的長為．6．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，點為上一點，過點作的垂線交的延長線于點，若，則線段的長為．

7．（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，為邊的中點，點在直線上（點不與點、重合），連接，過點作交直線于點．若，，，則線段的長為．

8．（2023春·重慶南岸·九年級重慶市珊瑚初級中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，點為的中點，點為上一點，連接、交于點，連接，當(dāng)時，線段的長度是．9．（2023春·山東日照·九年級?？计谥校┮阎冗吶切蔚倪呴L為4．(1)如圖，在邊上有一個動點，在邊上有一個動點，滿足，求證：；

(2)如圖，若點在射線上運(yùn)動，點在直線上，滿足，當(dāng)時，求的長；

(3)在（2）的條件下，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到點，求的面積．10．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖1，點O為矩形ABCD對角線BD的中點，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，．將矩形沿折疊，點A的對應(yīng)點為點H，點B的對應(yīng)點為點G，交于點N，交于點P，連接．

(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，連接交于點M，連接．判斷，和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．壓軸題型二函數(shù)中的相似三角形問題1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，，，，，，是線段上一動點，，交于點，將沿折疊得到，與四邊形重疊部分的面積為，則下列圖像能大致反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）．

A．

B．

C．

D．

2．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，點是上的一個動點，交四邊形另一邊于點．設(shè)，的面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系圖象可能是（）

A．

B．

C．

D．

3．（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點．若將線段繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)點恰好落在y軸正半軸上時，點的坐標(biāo)為（）

A．（，） B．（，） C．（2，） D．（3，5）4．（2023春·河南南陽·九年級淅川縣第一初級中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在菱形中，對角線，交于點，，，點沿從點勻速運(yùn)動到點．設(shè)點的運(yùn)動時間為，，圖是點運(yùn)動時隨變化的函數(shù)關(guān)系圖象，則圖中最低點的縱坐標(biāo)的值為（）A． B． C． D．5．（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點，點，軸于點，軸于點，是線段上的一點，連接，，若，則點的坐標(biāo)為．

6．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，頂點C，B分別在x軸的正、負(fù)半軸上，點A在第一象限，經(jīng)過點A的反比例函數(shù)的圖象交AC于點E，過點E作軸，垂足為點F．若點E為的中點，，，則k的值為．

7．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，已知中，，，，將的頂點O與平面直角坐標(biāo)系的原點重合，頂點B落在x軸上，另一頂點A在反比例函數(shù)在第一象限的圖象上．將通過旋轉(zhuǎn)和平移變換得到，若斜邊在x軸上，且直角頂點也在反比例函數(shù)的第一象限的圖象上，則．8．（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點坐標(biāo)為，點是線段上的一個動點（不運(yùn)動至，兩點）過點作軸，垂足為，以為邊在右側(cè)作正方形，連接并延長交軸的正半軸于點，連接，若以，，為頂點的三角形與相似，則的坐標(biāo)是．

9．（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖1，在中，，動點從點出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動至點停止．若點的運(yùn)動速度為，設(shè)點的運(yùn)動時間為．的長度為，與的函數(shù)圖象如圖2所示．

(1)當(dāng)恰好平分時，求的值；(2)滿足（1）的條件下，求證：．10．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點A、點，，過點作交于點，連結(jié)．(1)如圖1，求的度數(shù)．(2)如圖2，點在射線上（點不與點重合），過點作，垂足為點，若，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的取值范圍．(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時，連接，在射線上是否存在點，連結(jié)，使為等腰三角形．若存在，求出的長．壓軸題型三動點關(guān)系的相似三角形問題1．（2023秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，點從點出發(fā)以1個單位長度/秒的速度向點運(yùn)動，同時點從點出發(fā)以2個單位長度/秒的速度向點運(yùn)動，其中一點到達(dá)另一點即停．當(dāng)以，，為頂點的三角形與相似時，運(yùn)動時間為（

）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不對2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB＝4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，連接AF并延長交射線BM于點C．設(shè)BE＝x，BC＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣3．（2023春·重慶渝中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，D為的中點，若動點E以的速度從A點出發(fā)，沿著A→B的方向運(yùn)動，設(shè)E點的運(yùn)動時間為t秒（），連接，當(dāng)以B、D、E為頂點的三角形與相似時，t的值為（

）A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.54．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點坐標(biāo)分別為，，，．動點P從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿邊OA向終點A運(yùn)動；動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運(yùn)動．作于點G，則運(yùn)動過程中，AG的最大值為（

）A． B． C． D．85．（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級儀征市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點坐標(biāo)分別為，，，．動點P從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿邊向終點A運(yùn)動；動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊向終點C運(yùn)動，作于點G，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，則AG的最大值是．6．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，點E在邊上，且，動點P從點A出發(fā)，沿運(yùn)動到點B停止，過點E作交射線于點Q，設(shè)O是線段的中點，則在點P運(yùn)動的整個過程中，點O運(yùn)動路線的長為．7．（2023秋·河北保定·九年級校考期末）如圖，已知在中，，，點在邊上（點與點，不重合），，射線與邊交于點，過點作的平行線，交射線于點．（1）若，則的長為；（2）當(dāng)是等腰三角形時，的長為．8．（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點M，N分別在邊AD，BC上，沿著MN折疊矩形ABCD，使點A，B分別落在E，F(xiàn)處，且點F在線段CD上（不與兩端點重合），若，則折疊后重疊部分的面積為．9．（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點D、E分別為邊、的中點．動點P從點A出發(fā)，沿折線以每秒1個單位長度的速度向點A運(yùn)動，連結(jié)．作點A關(guān)于直線的對稱點，連接，．設(shè)點P運(yùn)動時間為t秒．

(1)線段的長為；(2)當(dāng)點P在折線上時，用含t的代數(shù)式表示線段的長；(3)當(dāng)點在內(nèi)部時，求t的取值范圍；(4)當(dāng)與相等時，直接寫出t的值．10．（2023·湖南衡陽·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，為上一點，，動點從點出發(fā)沿射線方向以每秒個單位的速度運(yùn)動，連，，，過作的平行線交射線于點，設(shè)點的運(yùn)動時間為，（不考慮，，在同一直線的情況）

(1)當(dāng)時，試求出的長；(2)當(dāng)與相似時，求的值；(3)當(dāng)在線段上時，設(shè)面積為，周長為，①求與的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫出的最小值．壓軸題型四相似三角形中最值問題1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，點D，E分別是邊上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇宿遷·九年級沭陽縣懷文中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，點在邊上，，，，點是矩形內(nèi)一動點，滿足，連接繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．13．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，若點是邊上的一個動點．過點作且分別交對角線，直線于點O、F，則在點移動的過程中，的最小值為（

）

A． B． C．17 D．184．（2023·江蘇連云港·連云港市新海實驗中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點B是線段上任意一點，在射線上取一點C，使，在射線上取一點D，使．所在直線的關(guān)系式為，點F、G分別為線段的中點，則的最小值是（

）

A． B． C． D．4．85．（2023·河南信陽·校考三模）如圖，在中，，，點分別在邊上，且，連接，相交于點，則面積最大值為．

6．（2023·江蘇泰州·校考三模）如圖，在矩形中，，，點在直線上，從點出發(fā)向右運(yùn)動，速度為每秒，點在直線上，從點出發(fā)向右運(yùn)動，速度為每秒，相交于點，則的最小值為．7．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，點E、F分別是上的兩個動點，且，P是的中點，連接，若，則的最小值為．

8．（2023·廣東廣州·校考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，E，F(xiàn)分別為，邊的中點．動點P從點E出發(fā)沿向點A運(yùn)動，同時，動點Q從點F出發(fā)沿向點C運(yùn)動，連接，過點B作于點H，連接．若點P的速度是點Q的速度的2倍，在點P從點E運(yùn)動至點A的過程中，線段長度的最小值為．

9．（2023·江蘇泰州·?？既＃?一)感知：如圖，是的中位線，，、分別是、的中點，則；用字母表示與間有怎樣的相等關(guān)系：．二探索：如圖，在四邊形中，，其中，，是的中點，交于點，則．用字母，表示在上，在上，，且使四邊形四邊形，則用字母，表示在上，在上，，且平分四邊形的面積，求的長用字母，表示三猜想：、、間的大小關(guān)系：，用、的表達(dá)式表示并對與間的關(guān)系進(jìn)行證明；四應(yīng)用：如圖，在中，，，，點、分別在、上，平分的面積，求周長的最小值．10．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點E是從點A運(yùn)動D點，則點G的運(yùn)動路徑長度為______；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

壓軸題型五相似三角形中的綜合題型1．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，對角線交于點O，E是邊的中點，連接，分別交于點P，Q，過點P作交的延長線于點F．以下結(jié)論：①；②；③若四邊形的面積為2，則正方形的面積為24；④．其中結(jié)論正確的序號有（

）

A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是等腰三角形，．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于點，現(xiàn)在有如下五個結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（2023·黑龍江佳木斯·撫遠(yuǎn)市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）如圖，在正方形中，點在邊上，點在邊上，，交于點，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)是的中點時，；⑤當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的序號是（

）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤5．（2023春·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為4的正方形中，點E在邊上運(yùn)動，連接，在的左側(cè)作等腰直角三角形，，連接．

（1）當(dāng)?shù)拈L為時，的長為；（2）當(dāng)?shù)拈L為時，的長最短．6．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)拿出如圖所示的矩形紙片，其中，他們將紙片對折使、重合，展開后得折痕，又沿折疊使點C落在處，展開后又得到折痕，再沿折疊使點A落在上的處，大家發(fā)現(xiàn)了很多有趣的結(jié)論．就這個圖形，請你探究的值為．

7．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，分別是，的中點，動點在射線上，交于點，的平分線交于點，當(dāng)時，的值為．

8．（2023春·山西長治·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，邊長為8的正方形中，為邊的中點，將正方形沿折疊，使得點與點重合，點與點重合，連接交于點交于點，則的長為．

9．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在矩形中，點E是射線上一動點，連接，過點B作BF⊥AC于點G，交直線于點F．

(1)當(dāng)矩形是正方形時，以點F為直角頂點在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．如圖1，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)如圖2，若點E在線段上，以點F為直角頂點在矩形的外部作直角三角形，且，連接．判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明；(3)如圖3，若點E在線段的延長線上，F(xiàn)在線段的延長線上，且，，M是中點，連接，，求的值．10．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉(zhuǎn)三角尺時，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點M，N，連接，可得．探究一：如圖②，把繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，同時得到點H在直線上．求證：；探究二：在圖②中，連接，分別交，于點E，F(xiàn)．求證：；探究三：把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點E，F(xiàn)，連接交于點O，求的值．

第二十四章相似三角形50題（5類壓軸題專練）壓軸題型一相似三角形的判定與性質(zhì)綜合1．（2023春·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，E、F為線段AB上兩動點，且，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．以下結(jié)論錯誤的是（

）

A． B．當(dāng)點E與點B重合時，C． D．【答案】C【分析】A由題意知，是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷；B如圖1，當(dāng)點E與點B重合時，點H與點B重合，可得，四邊形是矩形，進(jìn)一步得到FG是的中位線，從而作出判斷；C如圖2所示，根據(jù)可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷；D易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由題意知四邊形是矩形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到，依此即可作出判斷.【詳解】解：由題意知，是等腰直角三角形，∴，故A正確；如圖1，當(dāng)點E與點B重合時，點H與點B重合，

∴，∵，∴，∴，四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴FG是的中位線，∴，故B正確；如圖2所示，

∵，∴．將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至，則；∵，∴，∴．在和中，∴（），∴．∵，∴，∴，即，故C錯誤；∵，∵，∴，∴，∴，由題意知四邊形是矩形，∴，∴，即，∴，∴，故D正確．故選C．【點睛】此題是三角形綜合題，涉及的知識點有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．2．（2023春·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知F是內(nèi)的一點，，，若四邊形的面積為2，，，則的面積是（）．A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】延長、分別交于點M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求出之間的關(guān)系，從而得到三角形的面積關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖所示：延長、分別交于點M、N，∵，∴．∵，∴，，∴令，則，∴，∴，∴，∴，．∵,∴,,∴，．∴設(shè)，則，∴，∴．∵,∴,∴，解得，∴．故選D．【點睛】本題考查相似三角形，平行線分線段成比例．一定的難度，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解線段的長度；利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．3．（2023·福建·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，將沿的方向平移至，使得，其中E是與的交點，F(xiàn)是與的交點，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由平移的性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)易證四邊形為菱形，即得出．根據(jù)勾股定理可求出，又易證，即得出．設(shè)，則，代入，即可求出x的值，從而可求出，最后再次利用勾股定理即可求解．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可知，，，．∵四邊形為矩形，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形．∵，∴平行四邊形為菱形，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．設(shè)，則，∴，解得：，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．熟練掌握上述知識并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．4．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點是的中點，延長至點，使得，過點作于點，為的中點，給出結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）個．

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】延長交于M，作于N，由，可得，從而判斷①；由，，得出，從而判斷②；先證，可得，從而判斷③，由結(jié)合等角的轉(zhuǎn)化，得出，從而判斷④．【詳解】解：延長交于M，作于N，則，

∵，∴，故①不符合題意；∵，，∴，∴，∵，∴，故②符合題意；∵，∴，∴，∵，∴，故③符合題意；∵，∴，∵，∴，∵，∴，故④符合題意，故選：B．【點睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理的含義，平行線分線段成比例的應(yīng)用，關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識點．5．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，為矩形的對角線，平分交于點，為邊的中點，連接分別交，于點，．若，，則線段的長為．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)由勾股定理求出，的長，證明，求出，，過點作，于點，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后利用三角形的面積即可解決問題．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，為邊的中點，，，，，，，，，，，，如圖，過點作，于點，，平分，，，，，，，，線段的長為．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．6．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，點為上一點，過點作的垂線交的延長線于點，若，則線段的長為．

【答案】【分析】通過導(dǎo)角證明，過點D作于點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，證明，得出，設(shè)，，依次證明，，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求解．【詳解】解：，，又，，，，，，如圖，過點D作于點F，

，，，在和中，，，．，，．，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查角平分線性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是通過導(dǎo)角證明．7．（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，為邊的中點，點在直線上（點不與點、重合），連接，過點作交直線于點．若，，，則線段的長為．

【答案】或【分析】①當(dāng)在邊上時，取的中點為，的中點，連接，，可證四邊形是矩形，可得，可證，可得，即可求解；②當(dāng)點在的延長線上時，同理可求：，即可求解．【詳解】解：①當(dāng)在邊上時，如圖，取的中點為，的中點，連接，，

，，，為的中點，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，，，，，，；②如圖，當(dāng)點在的延長線上時，

同理可求：，，．故答案：或．【點睛】本題考查了三角形性中位線定理，相似三角形的判定及性質(zhì)等，找到點的不同位置，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·重慶南岸·九年級重慶市珊瑚初級中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，點為的中點，點為上一點，連接、交于點，連接，當(dāng)時，線段的長度是．【答案】/【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和中點的定義可得、、，再運(yùn)用勾股定理可得，，再由平行線等分線段定理可得，可求得，再運(yùn)用勾股定理求得再證，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵矩形中，，，點為的中點，∴、，、∴，∴∵，∴,即，解得：,∴，∵，∴，∵，∴，∴，即,解得：．故選：A．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線等分線段定理鞥知識點，理解題意、綜合運(yùn)用這些知識點是解題關(guān)鍵．9．（2023春·山東日照·九年級校考期中）已知等邊三角形的邊長為4．(1)如圖，在邊上有一個動點，在邊上有一個動點，滿足，求證：；

(2)如圖，若點在射線上運(yùn)動，點在直線上，滿足，當(dāng)時，求的長；

(3)在（2）的條件下，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到點，求的面積．【答案】(1)見詳解(2)7(3)【分析】（1）先利用三角形的內(nèi)角和得出，再用平角得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（2）過點作于，構(gòu)造出含角的直角三角形，求出的長度，再用勾股定理求出，進(jìn)而求出的值，再判斷出，得出比例式即可得出結(jié)論；（3）先求出的值，進(jìn)而得出的值，再構(gòu)造出直角三角形求出的長度，進(jìn)而得出的值，再求出的長度，最后用面積差即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴；（2）如下圖，過點作于，

∴，∵是等邊三角形，邊長為4，∴，，∴，在中，，，∴，根據(jù)勾股定理得，，在中，，根據(jù)勾股定理得，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）如下圖，

由（2）知，，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，，∵，∴，，過點作于，在中，，根據(jù)勾股定理得，，過點作于，∵，∴，∴，過點作于，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用．10．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖1，點O為矩形ABCD對角線BD的中點，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，．將矩形沿折疊，點A的對應(yīng)點為點H，點B的對應(yīng)點為點G，交于點N，交于點P，連接．

(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，連接交于點M，連接．判斷，和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（1）利用證明，推出，即可證明．（2）由對稱的性質(zhì)可得，，等量代換可得，進(jìn)而可得，．根據(jù)，，可得，進(jìn)而可得，，推出，即可證明；（3）首先證明，推出，進(jìn)而可得．再依次證，，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，變形可得，即．【詳解】（1）證明∵四邊形是矩形，∴，，∴，．∵點O為的中點，∴．∴，∴，∴．（2）證明：由對稱可得，．∵，∴．∴．∴．由（1）得，∴．∴．∴．∵，∴．∴．（3）解：數(shù)量關(guān)系是：．∵，∴．由對稱可得，∵，∴，由（2）知，即，在和中，，∴，∴．∵，∴．∴．∵，∴，∴，∴，∴，．∴，∴．∵，∴．同理可證，∴．∴．∴．即．∵，∴．

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識點，逐步進(jìn)行推導(dǎo)論證是解題的關(guān)鍵．壓軸題型二函數(shù)中的相似三角形問題1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，，，，，，是線段上一動點，，交于點，將沿折疊得到，與四邊形重疊部分的面積為，則下列圖像能大致反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】如圖：當(dāng)G在上時，可求得函數(shù)關(guān)系式為可排除B、D；當(dāng)G在的延長線上時，可求得函數(shù)關(guān)系式為，可排除A選項即可解答．【詳解】解：①當(dāng)G在上時，作于H，則四邊形為矩形，

，，,∵，，∴，即，解得：，∴，即，即以y軸為對稱軸開口向上，可排除B、D；②當(dāng)G在的延長線上時，作于H，則四邊形為矩形，作于H，

，，，∵∵，，∴，即，解得：，同理：；∴，，∴，即開口方向向下，可排除A選項．故選B．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)圖像的性質(zhì)等知識點，掌握分類討論思想以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，點是上的一個動點，交四邊形另一邊于點．設(shè)，的面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系圖象可能是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】過點作于點，過點作于點，由平行四邊形的判定推出四邊形是平行四邊形，從而得到，通過證明，得到，由勾股定理得出，再分，，三種情況討論即可．【詳解】解：過點作于點，過點作于點，則，

，四邊形是平行四邊形，，在和中，，，，，，，①當(dāng)時，

，，，，，即，，；②當(dāng)，此時，

，；③當(dāng)時，

，，，，，，，，綜上，第一段為開口向上的二次函數(shù)，第二段為一次函數(shù)，第三段為開口向下的二次函數(shù)，故選：C．【點睛】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，相似三角形的判定與性質(zhì)等，全的三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，明確題意，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)等，全的三角形的判定與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點．若將線段繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)點恰好落在y軸正半軸上時，點的坐標(biāo)為（）

A．（，） B．（，） C．（2，） D．（3，5）【答案】A【分析】連接,過點作軸，過點作于，過點作軸，先求出，再證明得出，，，再證明，推出，，從而求出點的坐標(biāo)．【詳解】解：過點作軸，過點作于，過點作軸，，，點到軸的距離為4，，，，，，，，，即，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，故選：A．\

【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握這幾個知識點的綜合應(yīng)用，其中作出輔助線證明三角形全等是解題關(guān)鍵．4．（2023春·河南南陽·九年級淅川縣第一初級中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在菱形中，對角線，交于點，，，點沿從點勻速運(yùn)動到點．設(shè)點的運(yùn)動時間為，，圖是點運(yùn)動時隨變化的函數(shù)關(guān)系圖象，則圖中最低點的縱坐標(biāo)的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，連接，，，由菱形的性質(zhì)可知，點與點關(guān)于對稱，根據(jù)兩點之間線段最短可知，當(dāng)、、三點共線時，的最小值為，在中，解直角三角形可得，，于是，，易證，，由相似三角形的性質(zhì)分別求出和，易知，則為直角三角形．再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，連接，，，四邊形為菱形，點在上，，垂直平分，，，當(dāng)、、三點共線時，的最小值為在中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，的最小值為，即．故選：C．【點睛】本題主要考查動點函數(shù)問題、兩點之間線段最短、解直角三角形、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，正確理解題意，學(xué)會利用模型思想解決問題是解題關(guān)鍵．5．（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點，點，軸于點，軸于點，是線段上的一點，連接，，若，則點的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】聯(lián)立方程求得點與點的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得，，利用兩點間距離公式建立方程求解即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于點，點，令，整理得：解得：，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，，∴，，∵，∴，設(shè)，則，，故，解得：，（不符合題意，舍去）∴點．故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的性質(zhì)，兩點間距離公式等，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，頂點C，B分別在x軸的正、負(fù)半軸上，點A在第一象限，經(jīng)過點A的反比例函數(shù)的圖象交AC于點E，過點E作軸，垂足為點F．若點E為的中點，，，則k的值為．

【答案】4【分析】過點作軸于點，證明，得，再根據(jù)，可得，再證明，得到的長，設(shè)，，得到的坐標(biāo)，根據(jù)兩點在同一反比例函數(shù)上，可解得的值，從而可得，再利用勾股定理解得，從而求得的值．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，

軸，

，，，是的中點，，，，，即，同理可得，，，，設(shè)，則，，，都在反比例函數(shù)上，，解得，，在中，，，，故答案為：4．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，理解反比例函數(shù)圖像上的點橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積相同，是解題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，已知中，，，，將的頂點O與平面直角坐標(biāo)系的原點重合，頂點B落在x軸上，另一頂點A在反比例函數(shù)在第一象限的圖象上．將通過旋轉(zhuǎn)和平移變換得到，若斜邊在x軸上，且直角頂點也在反比例函數(shù)的第一象限的圖象上，則．【答案】【分析】利用勾股定理可得，即，即可得反比例函數(shù)為，根據(jù)旋轉(zhuǎn)、平移的性質(zhì)可得，，，，作軸于D，證明，即有，進(jìn)而可得，，可得點的縱坐標(biāo)為4.8，進(jìn)而有，問題隨之得解．【詳解】解：中，，，，∴，∴，∵點A在反比例函數(shù)在第一象限的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)為，由題意可知，，，，，作軸于D，∴，∵，∴，∴，即，∴，，∴點的縱坐標(biāo)為4.8，代入，得，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點坐標(biāo)為，點是線段上的一個動點（不運(yùn)動至，兩點）過點作軸，垂足為，以為邊在右側(cè)作正方形，連接并延長交軸的正半軸于點，連接，若以，，為頂點的三角形與相似，則的坐標(biāo)是．

【答案】或或【分析】根據(jù)點坐標(biāo)是可以確定，又四邊形是正方形，所以，即可證明的邊，再根據(jù)“以，，為頂點的三角形與相似”分：①，②兩種情況討論，根據(jù)與相似，相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列出比例式計算即可求出正方形的邊長，從而的長即可求出．【詳解】解：如圖當(dāng)點在點的右邊時，如圖，過點作于點，∵點坐標(biāo)是，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，設(shè)，∴，∴，∵以，，為頂點的三角形與相似，①當(dāng)時，可得：，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴點的坐標(biāo)為；②當(dāng)時，可得：，即，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴點的坐標(biāo)為；

如圖，當(dāng)點在點的左邊時，設(shè)正方形的邊長為，過點作于點，延長交于點，∴，∵點坐標(biāo)是，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，，在四邊形中，，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵以，，為頂點的三角形與相似，①當(dāng)，∴，則點，點與點重合，不符合題意；②當(dāng)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴點的坐標(biāo)為；綜上所述，點的坐標(biāo)是或或．故答案為：或或．

【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點坐標(biāo)確定出，注意要分情況討論，避免漏解．也考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)．9．（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖1，在中，，動點從點出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動至點停止．若點的運(yùn)動速度為，設(shè)點的運(yùn)動時間為．的長度為，與的函數(shù)圖象如圖2所示．

(1)當(dāng)恰好平分時，求的值；(2)滿足（1）的條件下，求證：．【答案】(1)(2)見詳解【分析】（1）由圖象可得，通過證明，可求的長，即可求解；（2）根據(jù)（1）中，，，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，連接，由圖2可得，，，，平分，，，，，，，，，，，（負(fù)值舍去），；（2）證明：由（1）知，，，，．

【點睛】本題是動點問題的函數(shù)圖象，考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點A、點，，過點作交于點，連結(jié)．(1)如圖1，求的度數(shù)．(2)如圖2，點在射線上（點不與點重合），過點作，垂足為點，若，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的取值范圍．(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時，連接，在射線上是否存在點，連結(jié)，使為等腰三角形．若存在，求出的長．【答案】(1)(2)(3)的長為1或或【分析】（1）當(dāng)，，則，當(dāng)，，則，由，可知當(dāng)，，則，根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行求解即可；（2）當(dāng)在線段上，，如圖1，由題意知，，，，證明，則，即，整理得，，當(dāng)在點左側(cè)，，如圖2，同理求解即可；（3）由題意知，，如圖3，由題意知，為等腰三角形，分，，，三種情況求解求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，，則，當(dāng)，，則，∵，∴當(dāng)，，則，∴，，，∵，∴是直角三角形，；（2）解：當(dāng)在線段上，，如圖1，由題意知，，，，又∵，∴，∴，即，整理得，，當(dāng)在點左側(cè)，，如圖2，同理，，∴，即，整理得，，綜上所述，與的函數(shù)關(guān)系式為；（3）解：由題意知，，如圖3，由題意知，為等腰三角形，分，，，三種情況求解：①當(dāng)，則為底邊的高，∴，∴；②當(dāng)，由勾股定理得，，∴，∴；③當(dāng)，設(shè)，如圖3，過作于，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，當(dāng)，，則，∴，解得，，∴，∴；綜上所述，的長為1或或．【點睛】本題考查了勾股定理逆定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．壓軸題型三動點關(guān)系的相似三角形問題1．（2023秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，點從點出發(fā)以1個單位長度/秒的速度向點運(yùn)動，同時點從點出發(fā)以2個單位長度/秒的速度向點運(yùn)動，其中一點到達(dá)另一點即停．當(dāng)以，，為頂點的三角形與相似時，運(yùn)動時間為（

）A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．以上均不對【答案】C【分析】首先設(shè)秒鐘與以、、為頂點的三角形相似，則，，，然后分兩種情況當(dāng)和當(dāng)討論．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動時間為秒．，，，當(dāng)，，即，解得；當(dāng)，，即，解得，綜上所述，當(dāng)以，，為頂點的三角形與相似時，運(yùn)動時間為或，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB＝4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，連接AF并延長交射線BM于點C．設(shè)BE＝x，BC＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝﹣【答案】A【分析】作點F作FG⊥BC于G，依據(jù)已知條件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后證得△FGC∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】作點F作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°；∴∠BDE＝∠FEG，在△DBE與△EGF中，，∴△DBE≌△EGF（AAS），∴EG＝DB，F(xiàn)G＝BE＝x，∴EG＝DB＝2BE＝2x，∴GC＝y(tǒng)﹣3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，∴△FGC∽△ABC，∴CG：BC＝FG：AB，即＝，∴y＝﹣．故選A．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023春·重慶渝中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，D為的中點，若動點E以的速度從A點出發(fā)，沿著A→B的方向運(yùn)動，設(shè)E點的運(yùn)動時間為t秒（），連接，當(dāng)以B、D、E為頂點的三角形與相似時，t的值為（

）A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5【答案】C【分析】求出，分兩種情況：①當(dāng)時，，，得出，即可得出；②當(dāng)時，證出，得出，因此，得出，；即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，∴，分兩種情況：①當(dāng)時，，，∵D為的中點，∴，E為的中點，，∴；②當(dāng)時，∵，∴，∴，∴，∴，∴；綜上所述：當(dāng)以B、D、E為頂點的三角形與相似時，t的值為2或3.5；故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定、平行線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟記相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵，注意分類討論．4．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點坐標(biāo)分別為，，，．動點P從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿邊OA向終點A運(yùn)動；動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊BC向終點C運(yùn)動．作于點G，則運(yùn)動過程中，AG的最大值為（

）A． B． C． D．8【答案】A【分析】連接OB交PQ于F，過點F作FH⊥OC于H，連接AF，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則由已知易證明△BFQ∽△OFP，則可得PQ過定點F；再證明△OFH∽△OBC，則可求得點F的坐標(biāo)，進(jìn)而求得AF的長，則由垂線段最短可確定AG的最大值．【詳解】連接OB交PQ于F，過點F作FH⊥OC于H，連接AF，如圖．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則BQ=2t，OP=3t，∵B、C的縱坐標(biāo)相同，∴BC∥OA，∴△BFQ∽△OFP，∴，∴PQ恒過定點F．∵FH∥BC，∴△OFH∽△OBC，∴，即，∴，∴．∴由勾股定理得：．∵PQ恒過定點F，且AG⊥PQ，∴AG≤AF，∴AG的最大值為AF，即AG的最大值為．故選：A．【點睛】本題是動點問題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，確定PQ過定點是問題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級儀征市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點坐標(biāo)分別為，，，．動點P從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿邊向終點A運(yùn)動；動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊向終點C運(yùn)動，作于點G，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，則AG的最大值是．【答案】【分析】如圖，連接交于，由題意知，，證明，則，可得過定點，，，如圖，過作于，過作于，證明，則，即，解得，，，由，過定點，可知當(dāng)與重合時，有最大值，為，在中，由勾股定理求的值，進(jìn)而可得最大的值．【詳解】解：如圖，連接交于，由題意知，，∴，又∵，∴，∴，∴過定點，，，如圖，過作于，過作于，∴，，又∵，∴，∴，即，解得，，，∵，過定點，∴當(dāng)與重合時，有最大值，為，在中，由勾股定理得，∴最大值為故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于確定過定點．6．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，點E在邊上，且，動點P從點A出發(fā)，沿運(yùn)動到點B停止，過點E作交射線于點Q，設(shè)O是線段的中點，則在點P運(yùn)動的整個過程中，點O運(yùn)動路線的長為．【答案】4【分析】由題意知，如圖，過作于，過作于，證明，則，即，解得，如圖，過作于，當(dāng)運(yùn)動到點，連接，作，交于，連接、中點、，由題意知在上運(yùn)動，證明，則即，解得，由、分別為、中點，可知是的中位線，則，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵，，∴，如圖，過作于，過作于，∵，，∴，∴，即，解得，如圖，過作于，當(dāng)運(yùn)動到點，連接，作，交于，連接、中點、，∴由題意知，在上運(yùn)動，∵，，∴，又∵，∴，∴即，解得，∵、分別為、中點，∴是的中位線，∴，故答案為：4．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，中位線等知識．解題的關(guān)鍵在于確定的運(yùn)動軌跡．7．（2023秋·河北保定·九年級校考期末）如圖，已知在中，，，點在邊上（點與點，不重合），，射線與邊交于點，過點作的平行線，交射線于點．（1）若，則的長為；（2）當(dāng)是等腰三角形時，的長為．【答案】/2.45或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，利用外角的性質(zhì)及得出，根據(jù)相似三角形的判定得出，最后利用相似三角形的性質(zhì)建立等式求解可得．（2）設(shè)，分類討論，當(dāng)，時的兩種情況．由（1）已知，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合是等腰三角形，得出時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立等式關(guān)系求解；得出，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：（1）在中，，，．，，．．，．，即，．故答案為：．（2）如圖所示，若，設(shè)，，，．．是等腰三角形，，，是等腰三角形．．，，．，即，．如圖所示，若，設(shè)，，，．．是等腰三角形，，，是等腰三角形．，是等腰三角形．，，即．故答案為：5或．【點睛】本題考查三角形動點問題的綜合應(yīng)用能力．涉及平行線，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．兩直線平行，內(nèi)錯角相等．等腰三角形的兩個底角度數(shù)相等（等邊對等角）．相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．兩角分別相等的兩個三角形相似．注重分類思想，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．（2023春·湖北襄陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點M，N分別在邊AD，BC上，沿著MN折疊矩形ABCD，使點A，B分別落在E，F(xiàn)處，且點F在線段CD上（不與兩端點重合），若，則折疊后重疊部分的面積為．【答案】【分析】設(shè)BN=NF=x，則NC=（4-x），根據(jù)，AB=CD=3，確定DF=1，F(xiàn)C=2，在直角三角形NCF中，實施勾股定理確定x，利用△NCF∽△FDQ，計算DQ，F(xiàn)Q，得證△MEQ≌△FDQ，求得AM=ME，根據(jù)重疊面積等四邊形ABNM的面積與△MEQ面積的差計算即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，∵，∴DF=1，F(xiàn)C=2，∵沿著MN折疊矩形ABCD，使點A，B分別落在E，F(xiàn)處，∴設(shè)BN=NF=x，則NC=（4-x），∴在直角三角形NCF中，∴解得x=，4-x=，∵∠EFN=∠ABC=∠C=∠D=90°，∠NFC+∠FNC=90°，∴∠NFC+∠DFQ=90°，∴∠FNC=∠DFQ，∴△NCF∽△FDQ，∴FD：NC=FQ：NF=DQ：CF=1：，解得DQ=，F(xiàn)Q=，∴EQ=EF-FQ=AB-FQ=3-=，∴EQ=DQ，∵∠E=∠D=90°，∠EQM=∠DQF，∴△MEQ≌△FDQ，∴ME=FD=1，∴AM=ME=1，∴重疊面積=四邊形ABNM的面積-△MEQ面積==，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)，會證三角形的全等，三角形相似，會用勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點D、E分別為邊、的中點．動點P從點A出發(fā)，沿折線以每秒1個單位長度的速度向點A運(yùn)動，連結(jié)．作點A關(guān)于直線的對稱點，連接，．設(shè)點P運(yùn)動時間為t秒．

(1)線段的長為；(2)當(dāng)點P在折線上時，用含t的代數(shù)式表示線段的長；(3)當(dāng)點在內(nèi)部時，求t的取值范圍；(4)當(dāng)與相等時，直接寫出t的值．【答案】(1)2(2)(3)，(4)或【分析】（1）利用勾股定理求出，可得結(jié)論；（2）分兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，分別求解即可；（3）分三種情況求出特殊位置的值，①當(dāng)P在A上，在線段上時，如圖1，延長交于點F，根據(jù)，，得，，在以為圓心，為直徑的圓上，證，根據(jù)平行線分線段成比例求得，從而得解；②當(dāng)P在上時，點在外部；③當(dāng)P在上，在線段上時，如圖2，DP交于點G，同①求得，從而得解（4）由，推得A，，E三點共線，過D作，得點P在上或點P在上，分兩種情況根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出的值，從而可得答案．【詳解】（1）解：，，，，為中點，．故答案為：2．（2）為的中點，，當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上所述，（3）①當(dāng)P在上，在線段上時，如圖1，延長交于點F，

與關(guān)于對稱，，，為的中點，又，，，，在以為圓心，為直徑的圓上，，即，，，，當(dāng)時，點在內(nèi)部；②當(dāng)P在EB上時，點在外部；③當(dāng)P在AB上，在線段上時，如圖2，交于點G，

與關(guān)于對稱，，，為的中點，又，，，，在以為圓心，為直徑的圓上，，即，，，，當(dāng)時，點在內(nèi)部；綜上所述，當(dāng)或時，點在內(nèi)部．（4）當(dāng)時，，，與關(guān)于對稱，A，，E三點共線，過D作，點P在上或點P在上，如圖3，當(dāng)點P在上時，

，，，即如圖4，當(dāng)點P在上時，DP交于H點，

，，，，，在中，，，，，，，綜上所述，或．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論的思想解決問題．10．（2023·湖南衡陽·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，為上一點，，動點從點出發(fā)沿射線方向以每秒個單位的速度運(yùn)動，連，，，過作的平行線交射線于點，設(shè)點的運(yùn)動時間為，（不考慮，，在同一直線的情況）

(1)當(dāng)時，試求出的長；(2)當(dāng)與相似時，求的值；(3)當(dāng)在線段上時，設(shè)面積為，周長為，①求與的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫出的最小值．【答案】(1)(2)或或(3)①；②【分析】（1）證明，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）由，推出

即推出，分三種情形當(dāng)點在點的左邊時，即時，，當(dāng)時，當(dāng)，當(dāng)點在點的右邊時，即時，，時，分別構(gòu)建方程求解即可；（3）利用三角形面積公式計算即可；當(dāng)周長為最小時最小，作點關(guān)于的對稱點點，連接交于點，此時最小為，根據(jù)勾股定理求出長即可得出結(jié)論．【詳解】（1），，，，，，又，，，即：，解得：；當(dāng)，此時；（2），，又，，，即，，當(dāng)點在點的左邊時，即時，，當(dāng)時：，即，解得：；當(dāng)時：有，即，解得：；當(dāng)點在點的右邊時，即時，，當(dāng)時：，即，解得：，（不合題意，舍去）；綜上，或或；（3）連接，

的面積的面積，即；如圖，

，，根據(jù)勾股定理得，，是定值，所以當(dāng)周長為最小時最小，作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，此時最小為，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，的最小值．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．壓軸題型四相似三角形中最值問題1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，點D，E分別是邊上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，作A關(guān)于的對稱點，連接，交于F，過作于E，交于D，則，此時的值最小，就是的長，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比可得結(jié)論．【詳解】解：作A關(guān)于的對稱點，連接，交于F，過作于E，交于D，則，此時的值最小，就是的長，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的最小值是；故選：B．【點睛】本題考查軸對稱—最短問題、三角形相似的性質(zhì)和判定、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．2．（2023春·江蘇宿遷·九年級沭陽縣懷文中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，點在邊上，，，，點是矩形內(nèi)一動點，滿足，連接繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】取的中點O，再把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至,連接，則有，即可求出，然后過點作于點G，連接，利用勾股定理可以得到再根據(jù)求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，取的中點O，再把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至,連接，∵，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：，∴，，∴，∴，∴，∴，∴點在以為圓心，為半徑的圓上移動，

過點作于點G，連接，

則是矩形，∴，，∴，∴∴，故選C．【點睛】本題考查相似三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，作輔助線構(gòu)造相似三角形確定點點的運(yùn)動路線是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，若點是邊上的一個動點．過點作且分別交對角線，直線于點O、F，則在點移動的過程中，的最小值為（

）

A． B． C．17 D．18【答案】B【分析】過C作，取，連接，根據(jù)勾股定理得到，易得，即可得到，根據(jù)兩點間線段最短得到當(dāng)、、三點共線時最短即可得到答案；【詳解】解：如圖過C作，取，過點E作于點H，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴當(dāng)、、三點共線時最短，∴，∴，故選B；

【點睛】本題考查軸對稱最短問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．4．（2023·江蘇連云港·連云港市新海實驗中學(xué)校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點B是線段上任意一點，在射線上取一點C，使，在射線上取一點D，使．所在直線的關(guān)系式為，點F、G分別為線段的中點，則的最小值是（

）

A． B． C． D．4．8【答案】A【分析】如圖所示，連接，設(shè)射線交射線于H，過點H作于M，連接，先根據(jù)三線合一定理得到，，進(jìn)而證明四邊形是矩形，得到，，故當(dāng)點B與點M重合時，最小，即最小，最小值為，設(shè)，則，求出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出或（舍去），則的最小值為．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)射線交射線于H，過點H作于M，連接，∵，，點F、G分別為線段的中點，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是矩形，∴，，∴當(dāng)最小時，最小，∴當(dāng)點B與點M重合時，最小，即最小，最小值為，∵點H在直線上，∴可設(shè)，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴或（舍去），經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴的最小值為，故選A．

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，證明四邊形是矩形是解題的關(guān)鍵．5．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，在中，，，點分別在邊上，且，連接，相交于點，則面積最大值為．

【答案】【分析】過點作，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得則，根據(jù)已知，可得，在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為，當(dāng)時，的面積最大為：，即可求出此時的最大面積．【詳解】解：，，，如圖，過點作，

則，，，，，，，，，在以為直徑的圓上，設(shè)圓心為，當(dāng)時，的面積最大為：，此時的面積最大為：，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形面積公式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理．6．（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D，在矩形中，，，點在直線上，從點出發(fā)向右運(yùn)動，速度為每秒，點在直線上，從點出發(fā)向右運(yùn)動，速度為每秒，相交于點，則的最小值為．【答案】10【分析】過點作直線，分別交、于點，過點作直線，分別交、于點，易知四邊形、、為矩形，證明，由相似三角形的性質(zhì)可得；設(shè)兩點運(yùn)動時間為，則，，易得，；作點關(guān)于直線的對稱點，由軸對稱的性質(zhì)可得，故當(dāng)三點共線時，的值最小，即取最小值，此時，在中，由勾股定理求得的值，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，過點作直線，分別交、于點，過點作直線，分別交、于點，易知四邊形、、為矩形，，∵四邊形為矩形，∴，∴，，∴，∴，設(shè)兩點運(yùn)動時間為，則，，則有，即，∵，∴，，∵四邊形為矩形，∴，作點關(guān)于直線的對稱點，如圖，則，，由軸對稱的性質(zhì)可得，當(dāng)三點共線時，的值最小，即取最小值，此時，在中，，∴的最小值為．故答案為：10．【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．7．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，點E、F分別是上的兩個動點，且，P是的中點，連接，若，則的最小值為．

【答案】/【分析】在上取一點G，使得連接．根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，則，結(jié)合，可得，利用相似三角形的性質(zhì)證得根據(jù)可知的長即為的最小值，利用勾股定理求出便可解決問題．【詳解】解：如圖，在上取一點G，使得，連接．

∵四邊形為菱形，，∴，，∵，P是的中點，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∵，∴當(dāng)點G、P、C在同一直線上時，取得最小值，此時，故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“胡不歸”問題模型，正確畫出輔助線，構(gòu)造相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求解．8．（2023·廣東廣州·?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形中，，E，F(xiàn)分別為，邊的中點．動點P從點E出發(fā)沿向點A運(yùn)動，同時，動點Q從點F出發(fā)沿向點C運(yùn)動，連接，過點B作于點H，連接．若點P的速度是點Q的速度的2倍，在點P從點E運(yùn)動至點A的過程中，線段長度的最小值為．

【答案】【分析】連接交于M，連接，取的中點O，連接，過點O作于N，易得四邊形為矩形，，推出和的長，根據(jù)，得到當(dāng)O，H，D共線時，最小，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接交于M，連接，取的中點O，連接，過點O作于N．

則：，∵矩形，，E，F(xiàn)分別為，邊的中點，∴，，，，∴四邊形為矩形，，，∴，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，由于M和B點都是定點，所以其中點O也是定點，當(dāng)O，H，D共線時，此時最小，∴DH的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，斜邊上的中線．解題的關(guān)鍵是條件輔助線，構(gòu)造相似三角形和直角三角形，利用兩點之間線段最短得到線段的最小值．9．（2023·江蘇泰州·?？既＃?一)感知：如圖，是的中位線，，、分別是、的中點，則；用字母表示與間有怎樣的相等關(guān)系：．二探索：如圖，在四邊形中，，其中，，是的中點，交于點，則．用字母，表示在上，在上，，且使四邊形四邊形，則用字母，表示在上，在上，，且平分四邊形的面積，求的長用字母，表示三猜想：、、間的大小關(guān)系：，用、的表達(dá)式表示并對與間的關(guān)系進(jìn)行證明；四應(yīng)用：如圖，在中，，，，點、分別在、上，平分的面積，求周長的最小值．【答案】(一)；；(二)（1）；（2）；（3）；(三)，證明見解析；(四)【分析】(一)由三角形的中位線定理可得出結(jié)論；連接交于點，分別在和，利用三角形中位線定理可得出結(jié)論；(二)（1）由(一)中的結(jié)論可直接解答；（2）利用相似圖得出線段比例關(guān)系，進(jìn)而可得出結(jié)論；（3）延長交的延長線于點，過點作于點，交于點，交于點，設(shè)，，；由平行可得出，得出比例式用表示和，再根據(jù)平分四邊形的面積列出等式，整理即可得出結(jié)論；三利用作差法可得出結(jié)論；四由的面積的面積的一半可得出的值，再根據(jù)三角形周長，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】解：(一)是的中位線，，，，；、分別是、的中點，：：，，，如圖，連接交于點，則是的中位線，是的中位線，，；由上可得，，整理得；故答案為：；；二（1）由一中的結(jié)論可得，故答案為：．（2）四邊形四邊形，：：，，故答案為：；（3）如圖，延長交的延長線于點，過點作于點，交于點，交于點，由題意可知，，，：：；：：，設(shè)則，；平分四邊形的面積，，即，，，整理得，即；三由上可知，，，，，，，即，故答案為：；四平分的面積，，即，，，，的周長．【點睛】本題主要考查三角形的中位線定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，勾股定理等相關(guān)知識，根據(jù)面積相等建立合適的等式是解題關(guān)鍵．10．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，四邊形是正方形，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，四邊形是矩形，，，點E是邊上的一個動點，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，．判斷線段與，有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，點E是從點A運(yùn)動D點，則點G的運(yùn)動路徑長度為______；（4）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則的最小值為______．

【答案】（1）；（2）．理由見解析；（3）2；（4）【分析】（1）通過證明全等，得到；（2）通過證明得到，，延長相交于點H．可以證明；（3）作于點N，交的延長線于點M，交的延長線于點J，證明，得出，求出，得出點G的運(yùn)動軌跡是直線，當(dāng)點E從點A運(yùn)動到點D的過程中，點G從點J運(yùn)動到點M，求出結(jié)果即可；（4）作點D關(guān)于直線的對稱點，連接交于G，根據(jù)兩點之間線段最短，得出此時的值最小，最小值為，根據(jù)，得出，即，從而得出的最小值就是的最小值．【詳解】（1）解：∵正方形，∴，∵正方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；故答案為：；（2）解：．理由如下：延長相交于點H．

∵矩形、矩形，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵矩形，∴，∴，，∴，∴；（3）解：作于點N，交的延長線于點M，交的延長線于點J，如圖所示：

則，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴點G的運(yùn)動軌跡是直線，當(dāng)點E從點A運(yùn)動到點D的過程中，點G從點J運(yùn)動到點M，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴點G的運(yùn)動路徑長度為2，故答案為：2．（4）解：作點D關(guān)于直線的對稱點，連接交于G，如圖所示：

根據(jù)解析（3）可知，點G的運(yùn)動軌跡是直線，∵，∴，∵兩點之間線段最短，∴此時的值最小，最小值為，由（2）知，，∴，∴，∴的最小值就是的最小值，∵，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關(guān)系來轉(zhuǎn)化線段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．壓軸題型五相似三角形中的綜合題型1．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，對角線交于點O，E是邊的中點，連接，分別交于點P，Q，過點P作交的延長線于點F．以下結(jié)論：①；②；③若四邊形的面積為2，則正方形的面積為24；④．其中結(jié)論正確的序號有（

）

A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④【答案】A【分析】過點P作，根據(jù)條件證明即可證明①；設(shè)正方形邊長為1，結(jié)合E是邊的中點，即可證明②；連接，可得，根據(jù)條件證明和即可證明③；結(jié)合，即可證明④．【詳解】解：過點P作，如圖

∴，∵是正方形，∴，，∴是矩形，，∴是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故①正確；設(shè)正方形邊長為1，∵E是邊的中點，∴，∴，，∴，∴，故②正確；連接，如圖，

∵E是邊的中點，∴，∵是正方形，∴，，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∵四邊形的面積為2，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴，故③正確；∵是正方形，∴，∵，∴，由③得：，∴，∴，∴，由③得：∴，∴，即，故④正確，故選：A．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是等腰三角形，．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等與，得到，根據(jù)角平分線定義得到，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到，得到，推出，得到，推出，①正確；根據(jù)等角對等邊得到，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到，得到，推出，②正確；根據(jù)，得到，推出，③錯誤；根據(jù)時，，得到,推出，④正確．【詳解】∵中，，，∴，由作圖知，平分，垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∴，①正確；，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，②正確；設(shè)，，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，③錯誤；當(dāng)時，，∵，∴,∴，④正確∴正確的有①②④，共3個．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和線段垂直平分線的性質(zhì)．3．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于點，現(xiàn)在有如下五個結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】如圖1中，證明，，可得，可得，，可得①②正確，如圖2中，當(dāng)M與C重合時，設(shè)．則，證明，可得，即，可得，可得③正確，如圖3中，當(dāng)點F與點D重合時，顯然直線不平分正方形的面積，可得④錯誤，如圖1中，于H，，同理可得：，可得，結(jié)合，可得⑤正確．【詳解】解：如圖1中，

∵四邊形是正方形，∴，∵E為的中點，∴，由翻折可知：，，，∵，，，∴，∴，∵，∴，故①②正確，如圖2中，當(dāng)M與C重合時，設(shè)．則，

∵，∴，∴，∴，∴，即，可得，∴，∴，故③正確，如圖3中，當(dāng)點F與點D重合時，顯然直線不平分正方形的面積，故④錯誤，

如圖1中，∵于H，，同理可得：，∴，∴，∵，∴．故⑤正確，故選：C．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．4．（2023·黑龍江佳木斯·撫遠(yuǎn)市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）如圖，在正方形中，點在邊上，點在邊上，，交于點，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)是的中點時，；⑤當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的序號是（

）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤【答案】A【分析】通過證明≌推出，即可判斷①；再證明，即可判斷②；利用角平分的性質(zhì)可證中邊的高與中邊的高相等，通過“等底等高”證明，即可判斷③；證明∽，∽，求出相關(guān)線段長度，可知當(dāng)E是的中點時，，即可判斷④；利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，兩個等高的三角形面積比等于底長的比，可證，即可判斷⑤．【詳解】解：四邊形是正方形，，．∵，≌，，故①正確；由①得，∵，∴，∴，∴，故②正確；

四邊形是正方形，，即是的角平分線，點G到邊與邊的距離相等，即中邊的高與中邊的高相等，又，，故③正確；設(shè)正方形的邊長為，當(dāng)E是的中點時，，，由勾股定理得：，，，，∽，，．，，∽，，即，，，，，，當(dāng)E是的中點時，，故④正確；當(dāng)時，，，，∽，，中邊的高與中邊的高相等，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，故⑤錯誤．故選A．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是